1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Мы будем использовать формулу бинома Ньютона при разложении выражения (1+ „— ) . Те, кто не знаком с этой формулой из школы или не решил задачу 1Е) из гл. П, 9 2, могут, без потери связности изложения, опустить настоящее добавление о числе е и вернуться к нему после формулы Тейлора, частным случаем которой можно считать формулу бинома Ньютона. ПФормально в нашей книге мы пока определили пр только для рациональных значений р, поэтому читатель тоже пока вправе понимать это утверждение только для тех р, для которых определено и".
гл. ш. предел !2о Нам известно, что е = 1пп ! 1+ -) И,ОО( По формуле бинома Ньютона 11" п 1 п(п — 1) 1 1+-/ =1+--+ + ° ° ° + Пи п(п — 1)... (п — а+1) 1 1 + +...+ — = к! и" п" =1+1+ — ~ 1 — — + ... + — ~ 1 — — 1 — — х...х х 1 — +...+ —, 1 — — ... 1— Полагая (1+ ц = е„и 1+ 1+ —, +... + —, = я„, таким образом, 1 1 имеем е < я„!и =1,2,...).
С другой стороны, при любом фиксированном к и и ) к, как видно из того же разложения, имеем 1+1+ —, 1 — — +...+ —, 1 — — ... 1 — <е„. При и -+ со левая часть этого неравенства стремится к яь, а правая — к е, поэтому мы теперь можем заключить, что еь < е для любого Й е г!. Но тогда из соотношения е„< я„< е при п -+ со получаем, что 1пп я„= е. В соответствии с определением суммы ряда мы теперь можем записать Это уже вполне пригодное для вычисления представление числа е. Оценим разность е — я„: 1 1 0 < е — я„= + — +...= (и+ 1)! (и+ 2)! 121 11.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1 1+ + +... < (и+1)! 1 и+2 (и+2Ип+3) < (и+1)! ! и+2 !и+2)г 1+ + + ...~ = 1 1 и+2 1 (и+ 1)! 1 — 1, п)(п+ 1)2 п!п Таким образом, чтобы абсолютная погрешность приближения числа е числом я„не превосходила, например, 10 з, достаточно, чтобы было — < —. Этому условию удовлетворяет уже зе. 1 1 и! и 1000 ' Выпишем несколько первых десятичных знаков числа е: е = 2,7182818284590.. Полученную оценку разности е — е„можно записать в виде равенства О„ е=з„+ —, где 0<д„<1. и! и Из такого представления числа е немедленно следует его иррациональность. В самом деле, если предположить, что е = Е, где р,д Е г!, то число д! е должно быть целым, а вместе с тем 0!е = д! ее+ — ! = о!+ — + — +... + — +— В, ~ 0! Д! 0! В, о!д,~ 1! 2! д! д и тогда число -~ тоже должно быть целым, что невозможно.
Для сведения читателя отметим, что число е не только иррационально, но даже трансцендентно. Задачи и упражнения 1. Покажите,что число з Е К рационально тогда и только тогда, когда его запись в любой е-ичной системе счисления периодична, т.е., начиная с некоторого разряда, состоит из периодически повторяющейся группы цифр. 2. Мяч, упав с высоты Ь, подскакивает на высоту дй, где е — постоянный коэффициент, 0 < е < 1. Найти время, за которое он окажется покоящимся на земле, и путь, который он к этому моменту пролетит. 3. На окружности отмечаются точки, получающиеся из некоторой фиксированной ее точки поворотами окружности на всевозможные углы в п Е Е радиан. Укажите все предельные точки построенного множества. ГЛ.
П1. ПРЕДЕЛ 122 4. Выражение п1+ 1 пз+ пз+ 1 1 пь-1 +— пь где п, Е 1ч', называется конечной цепной или непрерывной дробью, а выражение 1 и] + 1 пз + пз+ — бесконечной цепной дробью. Дроби, получающиеся из цепной дроби при отбрасывании всех ее звеньев, начиная с некоторого звена, называют подзодязцими дробями. Бесконечной цепной дроби в качестве значения сопоставляется предел последовательности ее подходящих дробей.
Покажите, что: а) Каждое рациональное число ™„, где тп, и Е 1ч, может быть разложено и притом единственным способом в конечную цепную дробь т 1 — =Ф+ и аз+ 1 Я -1+— чь считая, что й„ф 1 при и > 1. Указание. Числа ом...,о„, называемые неполными частными, получаются из алгоритма Евклида т=п ° о1+ты п=тз дз+тз, т1 =тз'чз+тз, если его записать в виде т 1 1 =чз+ =й+ п п!т, дз+, 1 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 123 Ь) Подходящие дроби В1 — — д1, Нг = с11 + —, ... удовлетворяют неравен- 1 сгг ' ствам %<йз«... Пгй с« Дгй<1122 — г«...П2. с) Числители Рй и знаменатели Яй подходящих дробей Вй формируются по закону Рй = Рй 19с + Рй — 2 Яй — Юй-сс1й + сс'й-г с 1 2 = с11с12, Р1 = с11 с Ог ~?2 сей = 1.
с!) Разность соседних подходящих дробей вычисляется по формуле Вй — Пй 1 —— (Ь > 1). ( Цй й сй1яй-1 е) Каждая бесконечная цепная дробь имеет определенное значение. Г) Значение бесконечной цепной дроби иррационально. 1+ йГ5 1 2 1 1+ 1+, Ь) Числа Фибоначчи 1, 1,2 3 5 8,... (т е, и„= и„с+и„г и и1 = иг = 1), получающиеся как знаменатели подходящих дробей в я), задаются формулой 1 1+ йГ5 1 — 1(5 !) Подходящие дроби Вй = — "- в 8) таковы, что ~ — — "-~ ) — 2 —. Р !1-ййс5 Р ! 12й г Е ~ вайа.
Сравните этот результат с утверждениями задачи 11, 2 2, гл. П. 5. Покажите, что а) при и > 2 справедливо равенство 1 1 1 1 1 1 1+ — + — +...+ — + — =3— 1! 2! п! и!п 1 2 2! ''' (и — 1)п п!' 1 Ь) е=3 — 7 (и + 1)(п + 2)(п + 2)!! Яр(а,Ь) = с) для приближенного вычисления числа е значительно лучше формула е а 1+ —, +... + —, + —,, а не исходная формула е а 1+ —, +... + —, (оцените 1 1 1 1 1 погрешности, посчитайте и сравните результат со значением е, приведенным на с. 121). 6.
Если а и Ь вЂ” положительные числа, а р — произвольное отличное от нуля вещественное число, то средним порядка р чисел а и Ь называется величина ГЛ. 111. ПРЕДЕЛ 124 В частности, получаем при р = 1 среднее арифметическое, при р = 2— среднее квадратическое, при р = -1 †средн гармоническое чисел а, Ь. а) Покажите,что среднее Яр(а,Ь) любого порядка заключено между числами а и Ь.
Ь) Найдите пределы последовательностей (Я„(а, Ь)), (Я „(а, Ь)). 7. Покажите, что если а > О то последовательность х„ч.1 — — — ~х„+ ~ ) 1/ 21' х„ при любом х1 > О сходится к арифметическому квадратному корню из а. Оцените скорость сходимости, т.е. величину абсолютной погрешности ~х„— ~/а~ = )Ь„) в зависимости от п. 8. Покажите, что а) Яо(п) = 1е + ... + и = и, 2 2 2 Ю ( ) = 1' -.-...;-" = ПЬ-ЯЬО~ = -' '.~ 1.*+ 1 б 3 2 б 2(п+ цг и вообще Яь(п) = аьып +'+... +а1п+ае — миогочлеи от и степени Ь + 1. Ь) 1пп + 8 2. Предел функции 1.
Определения и примеры. Пусть Š— некоторое подмножество множества Ж действительных чисел и а — предельная точка множества Е. Пусть 1': Е -+ К вЂ” вещественнозначная функция, определенная на Е. Мы хотим записать, что значит, что при приближении точки х Е Е к а значения 1(х) функции )' приближаются к некоторому числу А, которое естественно назвать пределом значений функции 1 или пределом функции у при х, стремящемся к а. Определение 1. Будем (следуя Коши) говорить, что функция 1: Е + К стремится к А при х, стремли1емсл к а, или что А является пределом функции 1" при х, стремли1емсл к а, если для любого числа б > О существует число б > О такое, что для любой точки х Е Е такой, что О < ~х — а! < д, выполнено соотношение ~ ('(х) — А~ < б.
12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 12а В логической символике сформулированные условия запишутся в виде 1й>0 Лд>0 ЧхеЕ (0<)х — а)<Б~)Дх) — А)<е). Если А — предел функции 1(х) при х, стремящемся по множеству Е к точке а, то пишут 1(х) — 1 А при х — 1 а, х Е Е, или 1пп у(х) = А. х-оа,хеЕ Вместо символа х -+ а, х Е Е, мы, как правило, будем испольэовать более короткое обозначение Е Э х — + а и вместо 1пп 1'(х) будем хоа,хЕЕ писать 1пп 1 (х) = А. Евхоа Пример 1.
Пусть Е = И'10, у(х) = хв1п —. Проверим, что 1 1 1пп хв1п — = О. Е ах о о Х Действительно, при заданном е > 0 возьмем б = е, тогда при 0 < < )х! < о = е, учитывая, что ~х в1п — ~ < (х), будем иметь ~х в1п -~ < е. Из этого примера, кстати, видно, что функция 1: Е -+ К может иметь предел при Е Э х -+ а, даже не будучи определенной в самой точке а. Как раэ эта ситуация чаще всего имеет место при вычислении пределов и, если вы обратили внимание, это обстоятельство учтено в определении предела в виде неравенства 0 < ~х — а~.
Напомним, что окрестностью точки а Е К мы назвали любой интервал, содержащий эту точку. Определение 2. Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, иэ которой исключена сама эта точка. Если 11(а) — обозначение окрестности точки а, то проколотую око рестность этой точки будем обозначать символом 11(а). Множества Ое(а):= Е П У(а), ('е(а):= Е П У(а) будем называть соответственно окрестностью и проколотой окрестностью точки а в множестве Е. о Если а — предельная точка Е, то Уе(а) ~ О, какова бы ни была окрестность П(а).
126 ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ Если на минуту принять громоздкие символы 11е(а) и $Я(А) для обозначения проколотой б-окрестности точки а в множестве Е и е-окрестности точки А в К, то приведенное выше так называемое ае-о-определение» Коши предела функции можно переписать в виде ~ ~ ~ ~ е о б Е о б Е 1пп 1'<х) = А:= ИЯ<А) М1е<а) ~(11е(а)) С $щ<А) Еэх — »а Эта запись говорит, что А является пределом функции 1: Е -+ К при х, стремящемся к а по множеству Е, если для любой е-окрестноаа сти Я<А) точки А найдется проколотая д-окрестность Ге<а) точки а в множестве Е, образ которой у<У <а)) при отображении у: Е -+ К полностью содержится в окрестности Ув<А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
