1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 28
Текст из файла (страница 28)
~ Ь) Из а) следует, что ) зшх! < )х) при любом х Е Я, причем равенство имеет место только для х = О. ~ При О < ~х) < я/2, как показано в а), имеем )япх) < )х!. Но ! зшх) < 1, поэтому для )х) > я/2 > 1 также выполнено последнее неравенство. И только при х = О имеем япх = х = О. ~ с) Из Ь) следует, что 1пп зш х = О. х-~0 м Поскольку О < )зшх) < )х) и поскольку 1пп)х! = О, на основа- Х->0 нии теоремы о связи предела функции с неравенствами получаем, что 1пп ~япх! = О, следовательно, 1пп япх = О. ь х — ~0 х — ~0 11) Теперь докажем, что 1пп "~* = 1.
х — ~0 В свое время мы это сделаем и обоснуем те рассуждения, которые сейчас будут опираться на наглядность. а) Покажем, что В = (созх,апх) 2 01ПХ и соз х « — 1 при О < ~х! < —. х 2 А = (1,0) ГЛ. 1П. ПРЕДЕЛ 138 м Считая, что ~х~ < я/2, в силу полученного в а) неравенства имеем 81пх 1 — яп х« — 1. х Но 11ш11 — яп~х) = 1 — 1ппяпх 1ппвшх = 1 — О = 1, значит, по х-~0 х->0 х-~0 теореме о предельном переходе в неравенствах можем заключить, что йп ~'~* — 1 х — ~0 Пример 10. Определение показательной, лозарифмической и степенной 4ункиий на основе теории предела. Мы продемонстрируем сейчас, чем и как можно было бы дополнить школьное определение показательной и логарифмической функций, если располагать теорией действительного числа и теорией предела.
Для удобства ссылок и полноты картины проделаем все с самого начала. а) Показательная 4ункиия. Пусть а > 1. 1' Для п е г1 полагаем по индукции а:= а, а"+:= а" ° а. Таким образом, на 1ч возникает функция а", которая, как видно из определения, обладает свойством 01 а — =а а" если т, п Е 1ч и т > п. 2' Это свойство приводит к естественным определениям 1 а:=1, а ":= — при пЕМ, а" после которых функция а" оказывается распространенной на множест- во У, целых чисел и для любых т, п е Ж ат а" = а~+".
3' В теории действительньпс чисел мы отметили, что для а > О и и Е Ы существует единственный арифметический корень и-й степени из а, т. е. число х > О такое, что х" = а. Для него принято обозначение а1/". Оно удобно, если мы желаем сохранить закон сложения показателей: а=а =(а~") =а~" .
а~"=ач"+'"~ ~" 92. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 139 ПО тай жЕ ПРИЧИНЕ ЕСтЕСтВЕННО ПОЛОжИтЬ ат/и:= 1а1/и)™ И а 1/п:= = 1а'/") дЛя П Е Гг И т Е Ж. ЕСЛИ ОКажЕтея, Чта а1 "И""/ = а™/п для Й Е Ж, то можно считать, что мы определили а' для г Е Я. 4' Для чисел О < т, О < у по индукции проверяем, что для п Е И 1я < у) Е1 1я" < уп), поэтому, в частности, («г = у) С~ (яи = уп). 5' Это позволяет доказать правила действий с рациональными показателями, в частности,что а~ ~/1" ~=а /" и и /ген а"и'/и', атг/иг ат'/и'+тг/пг < Действительно, а«т~)/«п~/ > О и ат/п > О.
Далее, поскольку /,«ю.~«)"' (~, ««.~«)~) = (, л ««) = (~, ««~«)~) (ат/и) ((а1/и) ) а™ то первое из проверяемых равенств в соответствии с 4' установлено. Аналогично, (ат~/и' а г/««г)п' ' = (ат~/и~) ' '. (а г/пг) ((а1/и«) ) ((а1/иг) ) атгиг, атгп«ат«иге«пгп« а«п«/и«+п«г/пг а/т«пг+тгп«)/««п«пг) (. л и«пг / ли«иг поэтому второе равенство также доказано. > ГЛ. П1, ПРЕДЕЛ Таким образом, мы определили а" для т Е Я, причем а' > О и для любых т1,тз Е Я т! то тт»то 6' Из 4' следует, что для т1,то Е Я (т1 < тз) ~ (а" < а") . < Поскольку (1 < а) «=» (1 < а'l") для п е )Ч, что сразу следует из 4', то (а~7")™ = а 7" > 1 при п,т е И, что опять-таки следует из 4'.
Таким образом, при 1 < а для т > О, т Е Я имеем а' > 1. Тогда при т1 < то на основе 5о получаем ато ат о ато — то > ато 1 ато 7' Покажем, что для то Е Я 1пп а" = ато Сзт-~то м Проверим, что ар -+ 1 при Я Э р — » О. Это следует из того, что при ~р~ < 1 имеем в силу 6' а 7" < а~ < а 7". Мы знаем, что а17" -+ 1 (и а 17" -+ 1 ) при п -» оо. Тогда стандартным рассуждением проверяем, что для е > О найдется б > О такое, что при )р! < д будет 1 — е<аг<1+с.
В качестве б можно взять 1, если 1 — с < а ~7" и а~7" < 1+ е. Теперь докажем основное утверждение. По е > О подберем 5 так, что при ~р~ < б 1 — та "о < ар < 1 «- еа "о Если теперь |т — то~ < б, то ато(1 еа-"о) < ат ато . а" — то < ато(1 «са-то) или ато с<от<ото 141 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Итак, на Я определена функция а" со свойствами: а =а>1; 11. 22 а11+12. ат' < а" Прн тг < т2,' а"' — г а"' при г4~ э тг — г тг. Продолжим ее на всю числовую ось следующим образом. 8' Пусть х б й, з тх япр а' и г хх 1пГ а'.
Ясно, что в, г е Н, так тгвт( Оэт>х КаК ПРИ тг < Х < тг ИМЕЕМ а" < ат'. Покажем, что на самом деле в = г 1и тогда эту величину мы обозначим через ах). М По определению в и г, при тг < х < тг имеем (, тг Тогда б(2з(а12атгатггатгт11)(з1а32211)Ноав при 24 З р + О, поэтому для любого з > 0 найдется д > 0 такое, что при 0 < тг — тг < б будет атг "' — 1 < в/в. Тогда получим, что 0 < г — в < е, и, поскольку в > 0 произвольно, заключаем, что г = з. > Положим ах:= з = г. 9' Покажем, что ах = 1пп а".
К~У т — 1 х ~ Учитывая 8', для з > 0 найдем т' < х так, что з — в < а" < з = = а*, и тв так, что ах = г < а" < г + в. Поскольку т' < т < тв влечет х ат < а' < а', для всех т Е 241, лежащих в интервале ]г', тв~, будем тогда иметь ах — з < ат < ах + з. Займемся теперь свойствами построенной функции ах на Р 10' Для хг, хг Е Ь при а > 1 1хг < хг) =~ (а*1 < ах'). ~ На интервале ]хг, хз~ найдутся два рациональных числа тг < тг.
Если хг < тг < тз < хг, то по определению а*, данному в 8', и свойствам ФУНКЦИИ ах На 2,З ИМЕЕМ х1 ( тг ( т2 ( хг 11' Для любых хг, х2 с К верно ах' ° ах' = ах'+хг. ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 14г М В силу известных нам оценок абсолютной погрешности произведения и свойства 9' можно утверждать, что для любого е > О найдется число д' > О такое, что при (х1 — г1~ < бг, ~хг — тг~ < б' будет е е оХ1 аХ2 ( н21 пт2 ( оХ1 аХ2 + 2 2 Уменьшая, если нужно, бг, можно подобрать б < б' так, что при ~х1 — г1! < б, ~хг — тг~ < б, т.е. при )(х1+ хг) — 1г1 + гг)) < 2б, будем иметь также П21 +22 ( Ох1+хг ( 121'1+1'2 е Е 2 2 НО ах1 ахг = ах1+" дЛя Г1, Гг Е Я, ЗпаЧИт, ИЗ ПОЛУЧЕННЫХ НЕраВЕНСтВ вытекает, что оХ1 . огг е ( оХ1+Х2 ( аХ1, огг Поскольку е > О произвольно, заключаем, что оХ1 огг оХ1+Хг 12' 1пп ах = а*о.
(Напомним, что «х -+ хе» вЂ” принятое сокращение Х вЂ” 1ХО для 211 Э х -+ х02.) < Проверим сначала, что 1пп ах = 1. По е > О найдем 22 Е М так, х — 10 что 1 — е< а 1" <а1 <1+е. Тогда в силу 10' при ~х~ < 1/и будем иметь 1 — е < а 1" < ах < а 1" < 1+ е, т. е. проверено, что 1пп ох = 1. х — 10 Если теперь взять 6 > О, чтобы при )х — хо) < б было )а* хо — Ц < < еа *', то получим охо е ( ох охо (ох — хо 1) ( охо и тем самым проверено, что 1пп ах = ах'.
ь Х-1Хо 13' Покажем, что множеством значений построенной функции х 1-+ ах является множество 24+ всех положительных действительных чисел. 143 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ~ Пусть уо Е 2~ . Если а > 1, то, как нам известно, найдется число ие1Чтакое,чтоа "<уо<а". В силу этого оба множества А = (х Е К ) а* < уо) и В = (х Е К ! уо < а'1 непусты. Но поскольку 1х1 < х2) 4о (а~' < а*') 1при а > 1), то для любых чисел х1, х2 Е К таких, что х1 Е А и х2 Е В, имеем х1 < х2.
Следовательно, к множествам А и В применима аксиома полноты, из которой следует существование числа хо такого, что х1 < хо < х2 для любых элементов х1 е А и х2 е В. Покажем, что а*ь = уо. Если бы было а" < уо, то, поскольку а*о+~~" — ь а ' при и — > со, нашлось бы число и Е г1 такое, что а '+1~" < уо. Получилось бы, что ( =) хо + ц Е А, в то время как точка хо разделяет А и В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
