1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

+ ( — 1)"+1+... расходится, что видно и по последовательности 1, О, 1, О,... его частичных сумм, и по тому, что члены ряда не стремятся к нулю. Если расставить скобки и рассмотреть новый ряд (1 — 1) + (1 — 1) + ..., членами которого являются суммы, заключенные в скобки, то этот новый ряд уже сходится, причем его сумма, очевидно, равна нулю. Если скобки расставить иначе и рассмотреть ряд 1+ ( — 1+ 1) + ( — 1+ 1) +..., то получится сходящийся ряд с суммой, равной 1. Если в исходном ряде переставить все члены, равные — 1, на две позиции вправо, то получим ряд 1+1 — 1+1 — 1+1 —..., расставив в котором скобки, придем к ряду (1+ 1) + ( — 1+ 1) + ( — 1+ 1) +..., сумма которого равна двум. Эти наблюдения показывают, что привычные законы обращения с конечными суммами, вообще говоря, не распространяются на ряды.

И все-таки есть важный тип рядов, с которыми, как это потом выяснится, можно обращаться так же, как с конечными суммами. Это так называемые абсолютно сходящиеся ряды. Именно с ними мы главным образом и будем работать. Ь. Абсолютнал сходимость; теорема сравнения и ее следствия Определение 21. Ряд ,'> а„называется абсолютно сходящимся, СО а=1 если сходится ряд ~ ~а„~. а=1 Поскольку )а„+...+а ! < ~а„(+...+(а ), из критерия Коши следует, что если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

То, что обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места, т. е. что абсолютная сходимость есть требование более сильное, чем просто сходимость ряда, можно продемонстрировать на примере. ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ Пример 23. Ряд 1 — 1+ — — — + — — — +... частичные суммы 1 1 1 1 2 2 3 3 которого равны либо „-, либо О, сходится к нулю. 1 Вместе с тем ряд из абсолютных величин его членов 1 1 1 1 1+1+ — + — + — + — +...

2 2 3 3 расходится, что, как и для гармонического ряда, следует из критерия Коши: ! 1 1 1 1 + +...+ + п+1 и+1 и+и и+п 1 1 1 =2 +...+ >2п ° =1. и+1 и+и/ и+и Для того чтобы научиться отвечать на вопрос, сходится ли ряд абсолютно или нет, достаточно научиться исследовать на сходимость ряды с неотрицательными членами. Имеет место Теорема 7 <критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Ряда!+...+а„+..., члены которого — неотрицательные числа, сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху. ~ Это следует из определения сходимости ряда и критерия сходимости неубывающей последовательности, каковой в данном случае является последовательность в! < в2 «...

в„<... частичных сумм нашего ряда. ~ Иэ этого критерия вытекает следующая простая, но на практике очень полезная Теорема 8 <теорема сравнения). Пусть 2 а„, 2 6„— два ряда п=! н=! с неотрицательными членами. Если суи1ествует номер Х Е 1Ч такой, что при любом и > Л! имеет место неравенство а„< Ь„, то из сходимости ряда 2 Ь„вытекает сходимость ряда 2 а„, а из расхои=! и=! димости ряда ~', а„вытекает расходимость ряда 2 Ь„.

в=1 и=! ~ Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость ряда, можно без ограничения общности считать, что а„< Ь„для любого 11. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Пример 24. Поскольку 1 1 п(п+ 1) пз « — теореме сравнения заключаем, что ряды ~, -— 1 п=1 и при и > 2, по 1 и — 1 и и ~ — — — — — — сходятся 1 п(п+ 1) или расходятся одновременно. Но последний ряд можно просуммировать непосредственно, заме- 1 1 1 ч 1 1 тив, что „= ~ — „и поэтому ~ = 1 — —. Значит, = 1.

Следовательно, ряд ',1 , '—. также является сходящимся. 1 1 вь 1 2 Любопытно, что ~ — = "в . В дальнейшем это будет доказано. 1п Пример 25. Следует обратить внимание на то, что теорема сравнения относится только к рядам с неотрицательными членами. Действительно, положим, например, ап = — п, а 6п = О, тогда ап < 6п, ряд Ьп сходится, но ряд ~ ап расходится. п=1 в=1 Следствие 1 (мажорантный признак Вейерштрасса абсолютной сходимости ряда).

Пусть ~ ап и ~; Ьп — два ряда. Пусть существуп=1 п=1 ет номер Х й «' «такой, что ири любом п > д«имеет место соотношение ~а„~ < 6п. При этих условиях для абсолютной сходимости ряда ап достаточно, чтобы ряд ~ Ьп сходился. п=1 п=1 ~ Действительно, по теореме сравнения тогда ряд ~ ')а„') будет п=1 сходиться, что и означает абсолютную сходимость ряда ~ ап. ~ п=1 п е М.

Тогда А„= ~ аь < ~; Ьь = Вп. Если ряд ~ Ь„сходится, й=1 я=1 п=1 то последовательность 1В„), не убывая, стремится к пределу В. Тогда Ап < Вп < В при любом п Е М и, следовательно, последовательность 1А„1 частичных сумм ряда ~„а„ограничена. В силу критерия п=1 сходимости ряда с неотрицательными членами (теорема 7) ряд ~„а„ п=1 сходится. Второе утверждение теоремы, рассуждая от противного, немедленно получаем из уже доказанного. > ГЛ. П1.

ПРЕДЕЛ 116 Этот важный достаточный признак абсолютной сходимости часто формулируют кратко: если члены ряда (по абсолютной величине) мажорируются членами сходящегося числового ряда, то исходный ряд сходится абсолютно. Пример 26. Ряд ~', ''ип абсолютно сходится, так как в— '""~ < п=! п < —, а ряд 2 , '—, как мы выяснили в примере 24, сходится. 1 1 и' п 1и Следствие 2 (пРизнак Коши). ПУсть 2 ап — данный Рлд и о = п=1 = 1пп Яа„~. Тогда справедливы следующие утверждения: а) если о < 1, то РЯд 2, 'аи абсолютно сходитсм; Ь) если о > 1, то ряд ~ ап расходится; п=1 с) существуют как абсолютно сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых о = 1.

~ а) Если о < 1, то можно выбрать число о е й так, что о < о < 1. Фиксирован число о, в соответствии с определением верхнего предела найдем номер Х Е 1Ч такой, что прин > %выполнено фа„~ < о. Таким образом, при и > Х будем иметь ~ап~ < оп и, поскольку ряд ~; оп п=1 при ~д~ < 1 сходится, ряд 2'а„(по теореме сравнения или признаку п=1 Вейерштрасса) сходится абсолютно.

Ь) Поскольку о является частичным пределом последовательности 1а„) (см. утверждение 1), то найдется подпоследовательность 1а„,) такая, что 1пп "~/а„„= сь. Если о > 1, то найдется номер К Е М такой, я — ~со что при любом к > К будет ~а„„~ > 1, тем самым необходимое условие сходимости (а„-+ 0) для ряда ~ ап не выполнено и он расходится. п=1 с) Мы уже знаем, что ряд 2 „— расходится, а ряд 2 — сходится 1 1 п=1 п=1 п ( -~=-) абсолютно, так как ~ — ~ = — ~.

Вместе с тем 1пп ~ „- = 1пп -~- — — 1 1! 1~ †.г и и 0 п — ~ьэ п-~по 11. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 117 Пример 27. Исследуем, при каких значениях х Е й ряд ~ (2 + ( — 1)" )" и" сходится. пз. =зз Ь1Ггз-г-зз рЧ~=~ЕБ ~гзг-зз ~=з~ ~. Таким образом, при ~х~ < — ряд сходится и даже абсолютно, а при 1 (х! > — ряд расходится.

Случай )х! = — требует специального рассмо- 1 1 3 3 трения. В нашем примере оно элементарно, ибо при ~х~ = — для четных 1 ,,гь значений и имеем (2+ ( — 1)~ь) х2" = 32~ (Ц = 1 и ряд расходится, поскольку для него не выполнено необходимое условие сходимости. Следствие 3 (признак Двламбера1)). Пусть для ряда 2 а„суп=1 ществует предел 111п ~ — "~' ~ = сз. Тоеда справедливы следующие ути — ео ( верждения: а) если сг < 1, то ряд ,'г а„сходится абсолютно; о=1 Ь) если сз > 1, то ряд 2 а„расходится; о=1 с) существуют как абсолютно сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых о = 1.

< а) Если сз < 1, то найдется такое число з), что сз < з7 < 1; фиксировал з) и учитывая свойства предела, найдем номер г"з7 Е )Ч такой, что при любом п > Х будет — ""' ~ < з7. Поскольку конечное число членов не влияет на характер сходимости ряда, без ограничения общности будем считать, что ~ — "+' ~ < з7 при любом и Е И. Поскольку мы получаем, что )а„+1! < (а1) з7".

Но ряд 2', )а1(з7" сходится (его о=1 сумма, очевидно, равна -~~ — ')-~, поэтому ряд ~„а„абсолютно сходится. 1 уг о=1 '1Ж.Л. Деяамбер (д'Аламбер) (1717 — 1783) — фраицуэский ученый, прежде всего мегэиик, входивший в группу фияософов-эицикяопедистов. 118 ГЛ. Ш.

ПРЕДЕЛ Ь) Если о > 1, то, начиная с некоторого номера Х е Ы, при любом и > М будем иметь ~ — "е' ~ > 1, т. е. (ап( < )ап+1(, и, следовательно, для ряда ~; ап не выполнено условие а„— 1 О, необходимое для сходимости. и=1 с) Примерами в данном случае, как и в признаке Коши, могут служить ряды ,'1 — и 1 1 п=1 п=1 п Пример 28.

Выясним, при каких значениях х Е К сходится ряд п —,х". п=1 При х =- О он, очевидно, сходится и даже абсолютно. ПрихфОимеем 1пп ~ "+ ~= 1пп — 1=О. п — ~со о" ~ п-~оо "+ Таким образом, этот ряд абсолютно сходится при любом значении х б 2. Рассмотрим, наконец, еще один более специальный, но часто встречающийся класс рядов: ряды, члены которых образуют монотонную последовательность. Для таких рядов имеет место следующий необходимый и достаточный признак сходимости. Утверждение 2 1Коши).

Если а1 > а2 » ... О, то ряд ~', ап п=1 сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд 2 2"агь = а1+ й=о + 2а2 + 4а4+ 8аг +... < Поскольку а2 ~ <а2 ~< а1 2а4 < аз + а4 < 2а2, 4ав < аз + ае + от + ав < 4а4, 2па2 +~ < а2 +1+... + а2 .н < 2па2, то, складывая эти неравенства, получим 1 2 — (Я +1 — а1) < Агс М вЂ” а1 < ЯП, 1 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 119 где Аь = а1+...+аь, Я„= а1+2аз+...+2"а9 — частичные суммы рассматриваемых рядов. Последовательности (Аь~ и (Я„'1 неубывающие, и потому из полученных неравенств можно заключить, что они либо одновременно ограничены, либо одновременно не ограничены сверху.

Но по критерию сходимости рядов с неотрицательными членами отсюда следует, что рассматриваемые два ряда действительно сходятся или расходятся одновременно. > Отсюда вытекает полезное Следствие. Ряд 2; — сходится при р > 1 и расходится при 1 1п р р<1.Н м Если р > О, то по доказанному наш ряд сходится или расходится вместе с рядом ~~) 2", р — — ~) (21 Р) я=о ( ~ я=о а для сходимости последнего ряда необходимо и достаточно, чтобы было о = 2' Р < 1, т.

е. р > 1. Если р < О, то расходимость ряда ~; — очевидна, поскольку в этом 1 п=1 и случае все члены ряда больше 1. 1» Важность этого следствия состоит в том, что ряд 2 — часто слу- 1 =1 пР жит основой для сравнения при исследовании сходимости рядов. с. -1исло е как сумма ряда. Заканчивая рассмотрение рядов, вернемся еще раз к числу е и получим ряд, доставляющий уже довольно удобный способ вычисления е.

Характеристики

Список файлов книги