1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Учитывая, что в любой окрестности точки числовой оси содержится также некоторая симметричная окрестность <б-окрестность) этой же точки, мы теперь приходим к следующей форме записи определения предела, которую и будем считать основной. Определение 3. < а / а 1пп 1<х) = А:= Ч$щ<А) ЛУЕ<а) ~ 1<11е<а)) С Ц1(А) ь'Эх»а Итак, число А называется пределом функции у: Е -+ К при х, стремящемся по множеству Е к точке а (предельной для Е), если для любой окрестности точки А найдется проколотая окрестность точки а в множестве Е, образ которой при отображении ~: Е + К содержится в заданной окрестности точки А. Мы привели несколько формулировок определения предела функции. Для числовых функций, когда а, А е К, как мы видели, эти формулировки эквивалентны. Вместе с тем для разных целей бывает удобна то одна, то другая из них.
Например, при численных оценках удобна исходная форма, указывающая допустимую величину отклонения х от а, при которой уклонение 1 (х) от А не превысит заданной величины. А вот с точки зрения распространения понятия предела на более общие функции, определенные не на числовом множестве, наиболее удобной является последняя формулировка, которую мы и выделили. Из нее, кстати, видно, что мы сможем определить понятие предела отображения у: Х -+ У, если нам будет сказано, что такое окрестность точки в Х и в У, или, как говорят, если в Х и У будет задана топология.
12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 127 Рассмотрим еще некоторые, поясняющие основное определение примеры. Пример 2. Функция 1 при х)0, 0 при х=О, — 1 при х(0 (читается «снгнум х«1)) определена на всей числовой оси. Покажем, что у нее нет предела при х, стремящемся к О. Это значит, что ЧА е К йк'(А) о(7(0) Лх е 17(0) (7(х) ~ $'(А)), т. е., какое бы А (претендующее на то, чтобы быть пределом зяпх при х -+ 0) мы ни взяли, найдется такая окрестность Г(А) точки А, что, а какую бы (малую) проколотую окрестность (7(0) точки 0 ни взять, в о ней есть по крайней мере одна точка х Е 17(0), значение функции в которой не лежит в Г(А). Поскольку функция зяпх принимает только значения — 1, О, 1, то ясно, что никакое число А, отличное от них, не может быть пределом функции, ибо оно имеет окрестность Ъ'(А), не содержащую ни одно из этих трех чисел.
Если же А Е ( — 1,0, Ц, то возьмем в качестве Ъ'(А) е-окрестность точки А при е = 1/2. В такую окрестность заведомо не могут попасть одновременно обе точки — 1 и 1. По, какую бы проколотую окрестность а 17(0) точки 0 нн взять, в ней есть как положительные, так и отрицательные числа, т. е. есть и точки х, где 1'(х) = 1, и точки, где у (х) = — 1. о Значит, найдется точка х е 17(0) такая, что у(х) ф $" (А). Условимся, если функция 7": Е -+ К определена во всей проколотой о о а окрестности некоторой точки а Е Я, т.е. когда (7е(а) = 17н(а) = Ца), вместо записи Е Э х -+ а употреблять более короткую запись х -+ а.
Ойяпиш (лаш.) — знак. ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 128 Пример 3. Покажем, что 1пп ~ 83пх~ = 1. я-+О Действительно, при х Е К'1 0 имеем ~ зяпх~ = 1, т. е. функция постоо янна и равна 1 в любой проколотой окрестности У(0) точки О. Значит, О для любой окрестности 1г(1) получим у(У(0)) = 1 Е 1г(1). Обратите внимание, что хотя в данном случае функция ~ зяпх~ и определена в самой точке 0 и (збпО! = О, но это значение не имеет никакого влияния на величину рассматриваемого предела.
Таким образом, не следует смешивать значение г" (а) функции в точке а с пределом 1пп г" (х) функции при х, стремящемся к а. х->а Пусть К и К+ — множества отрицательных и положительных чисел соответственно. Пример 4. В примере 2 мы видели, что предел 1пп збпх не суиэ -~о ществует.
Замечая, однако, что ограничение збп ~ функции збп на К есть постоянная функция, равная — 1, а зипун есть постоянная, равная 1, можно, как и в примере 3, показать, что 1пп зяпх = — 1, и э-ю 1пп зяпх = 1, и+э*-ю т.е. ограничение одной и той же функции на различные множества может иметь различные пределы в одной и той же точке или даже не иметь его, как это было в примере 2. Пример 6. Если Г =(.ЯЕ~.=, .ЯИ) 1 — я/2+ 2яп' Пример 5. Развивая идею примера 2, можно аналогично показать, что функция зш — не имеет предела при х — > О. 1 о Действительно, в любой проколотой окрестности У(0) точки 0 всегда есть ~очи~ вида 2 2 и -72 —,2 —, где и Е И, в ко~ар~~ 1 1 — я 2+ 2~тп функция принимает значения — 1 и 1 соответственно.
Но оба эти числа не могут одновременно содержаться в з-окрестности $'(А) точки А е е К, если з ( 1. Значит, ни одно число А Е К не может быть пределом этой функции при х -+ О. 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 129 и 1 х,=(.оа~.=, .оя), я/2+ 2яп' то, подобно рассмотренному в примере 4, получаем, что 1 1 1пп в)п- = -1 и 1пп 81п- = 1.
Е Эх-ос Х Етых — ов Х Между изученным в предыдущем параграфе понятием предела последовательности и введенным здесь понятием предела произвольной числовой функции имеется тесная связь, которую выражает следующее о'тверждение 11). Соотношение 1пп )'(х) = А имеет место Еэхоа тогда и только тогда, когда для любой последовательности 1х„) точек хо Е Е )а, сходлщейсЯ к а, последовательность ()'(х„)) сходитсЯ к А.
м То, что ( 1пп )'(х) = А~) =ь ( 1пп у(ха) = А), сразу следует из ~ЕЭх->а ) ~о-+со определений. Действительно, если 1пп ('(х) = А, то для любой окрестЕэх-оа ности 1'(А) точки А найдется проколотая окрестность Се(а) точки а о в Ь' такая, что для х Е Уе(а) имеем у(х) Е 1'(А). Если последовательность (ха) точек множества Е 1 а сходится к а, то найдется номер М о такой, что пРи п ) )т' бУДет ха Е (Уе(а) и, значит, )'(хо) Е $'(А). На основании определения предела последовательности, таким образом, заключаем, что 1пп ((х„) = А. Перейдем к доказательству обратного утверждения.
Если А не является пределом у(х) при Е Э х -+ а, то найдется окрестность к'(А) такая, что при любом и Е )ч в — окрестности точки а наидется точка 1 х„Е Ь' 1 а такая, что )'(х„) ф 1'(А). Но зто означает, что последовательность 1((хн)) не сходитсЯ к А, хотЯ последовательность (хв1 стремится к а. ° ОЕго иногда наэывшот утверждением о равносильности определений предела по Коши (через окрестности) и по Гейне (через последовательности).
Э. Гейне (Хайне) (1821 в 1881) †немецк математик. ГЛ. 1П. ПРЕДЕЛ 130 2. Свойства предела функции. Теперь установим ряд постоянно используемых свойств предела функции, многие из которых аналогичны уже доказанным свойствам предела последовательности и потому, в сущности, нам уже знакомы. Более того, на основании только что доказанного утверждения 1 многие важные свойства предела функции, очевидно, немедленно следуют из соответствующих свойств предела последовательности: единственность предела, арифметические свойства предела, предельный переход в неравенствах.
Тем не менее мы вновь проведем все доказательства. В этом, как выяснится, есть определенный смысл. Мы хотим обратить внимание читателя на то, что для установления всех свойств предела функции требуются всего два свойства проколоо тых окрестностей предельной точки множества: В1) Ук(а) ф И, т.е. о о о О проколотая окрестность непуста, и Вх) УУ~(а) УЩа) Же(а) Яе(а) С о О С У~~(а) Г1 У~(а)), т.
е. в пересечении любой пары проколотых окрестностей содержится проколотая окрестность. Это наблюдение приведет нас к общему понятию предела функции и возможности в будущем использовать теорию предела уже не только для функций, определенных на числовых множествах. Чтобы изложение не было простым повторением сказанного в 0 1, мы используем здесь некоторые новые полезные приемы и понятия, которые не демонстрировались в ~ 1. а.
Общие свойства предела функции. Сначала несколько определений. Определение 4. Функцию ~: Е -+ К, принимающую только одно значение, будем, как и прежде, называть постоянной. Функция ~: Е -+ -+ К называется финально постоянной при Е Э х — > о, если она постоо янна в некоторой проколотой окрестности Уе(а) точки а,предельной для множества Е. Определение 5. Функция 1': Е -+ К называется ограниченной, ограниченной сверху, ограниченной снизу, если найдется число С Е К такое, что для любого х Е Е выполнено соответственно ~)(х)~ < С, у(х) < С, С < Дх). В случае, если первое, второе или третье из этих соотношений вью полнено лишь в некоторой проколотой окрестности Уе(а) точки а, $ 2.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пример 8. То же самое относится к функции 1(х) = х на К. Теорема 1. а) (1': Š— 1 и при Е Э х — + а есть финальпо посто- янная А) =ь ( 1пп 1'(х) = А 1 Евх-оа Ь) В 1пп Дх) =ь (~:Е -+ К Эх — >а). с) ( 1пп 1".(х) = А1~( Д ( 1пп 1'(х) ~,ЕВх-оа / ~,ЕВх — >а финально ограничена при Е Э = Аг =ь (А1 = Аг). м Утверждение а) о наличии предела у финально постоянной функции и утверждение Ь) о финальной ограниченности функции, имеющей предел, вытекают прямо иэ соответствующих определений. Обратимся к доказательству единственности предела. Предположим, что А1 Ф Аг.
Возьмем тогда окрестности Ъ'(А1), Ъ'(Аг) так, чтобы они не имели общих точек, т.е. У'(А1) П $'(Аг) = И. По определению предела имеем о / о 1пп )(х) = А1 =ь 3Ща) 1,1'(П~е(а)) с $'(А1) Еэхоа 1пп з'(х) = Аг =ь 30е(а) з(Пе(о)) С $'(Аг) Еэх->а Возьмем теперь проколотую окрестность Пе(а) точки о (предельо о о ной для Е) такую, что Пе(а) С 1Ре(о) П Пе(о) (например, можно взять о о о Пе(а) = П~е(а) П П~е(о), поскольку это пересечение тоже есть проколотая окрестность). о о поскольку пе(а) ф и, берем х е юе(а). тогда 1" (х) е ъ'(А1) ГЩАг), что невозможно, так как окрестности 1'(А1), 1'(Аг) по построению не имеют общих точек. ь функция 1: Е + К называется соответственно фипальпо ограниченной при Е Э х -+ а, фипальпо ограниченной сеерху при Е Э х — + о, финально ограниченной снизу при Е Э х — + а.
Пример 7. Функция 1 (х) = г1п — +х сог —, определенная этои фор- 1 1 мулой при х ~ О, не является ограниченной на области определения, но она финально ограничена при х -+ О. ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 132 Ь. Предельный переход и арифметические операции Определение 6. Если две числовые функции 1: Е -+ И, д: Š— > -+ 1к имеют общую область определения Е, то их суммой, произеедением и частным называются соответственно функции, определенные на том же множестве следующими формулами: <,1 + д)(х):= 1'<х) + д<х), У д)<: ) пх У<х) д<х), — ~ (х):= †, если д<х) ф О при х е Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
