1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Значит, предположение а*ь < уо неверно. Аналогично проверяем, что неравенство а*о > уо тоже невозможно. По свойствам действительных чисел отсюда заключаем, что а*' = уо. ь 14' Мы пока считали, что а > 1. Но все построения можно было бы повторить и для 0 < а < 1. При этом условии 0 < а" < 1, если и > 0; поэтому в 6', а затем окончательно в 10' теперь получим, что приО<а <1 (х1<х2) ~(а ' >а*').
Итак, при а > О, а ф 1 на множестве К действительных чисел мы построили действительнозначную функцию х ~-+ а* со следующими свойствами: 1) а1=а; 2) ах! ах2 аж+хи 3) а' — ь а*' при х — ь хо, 4) (а*' < а ') <=ь (х1 < х2), если а > 1, (а*' > а*') оо (х1 < х2), если 0 < а < 1; 5) множеством значений функции х ~-ь а* является множество 2+ —— = (у е 14 ~ 0 < у) всех положительных чисел. Определение 7. Отображение х ~-ь а* называется ионаэательной или энсионенциальной функцией при основании а. Особенно часто встречается функция х + е*, когда а = е, которую нередко обозначают через ехрх. В связи с этим для обозначения функции х 1 ах также иногда используется символ ехр, х.
144 ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ Ь) Логарифмическая функция. Поскольку отображение ехр: К -+ -1 Кь, как виДно из свойств показательной фУнкции, биективно, оно имеет обратное отображение. Определение 8. Отображение, обратное к ехр,: 2 — 1 2+, называется логарифмической функцией при основании а (О < а, а ~ 1) и обозначается символом 1оК,: Кь -+ 2. Определение 9. При основании а = е логарифмическая функция, или логарифм, называется натуральным логарифмом и обозначается 1п: Кь -+ 2. Причина такой терминологии прояснится при другом, во многом даже более естественном и прозрачном подходе к логарифмам, который мы изложим после построения основ дифференциального и интегрального исчисления. По определению логарифма как функции, обратной экспоненциальной, имеем Чт 6 2 (1оК,(а*) = т), ЧУ Е Кь (а ек " = У) .
Из этого определения и свойств показательной функции, в частно- сти, получается, что в области 2~ своего определения логарифм обла- дает следующими свойствами: 1') 1оК,а = 1; 2 ) 1ОКь(у1 ' у2) = 1ОКь у1 + 10Ко у21 3 ) 10Кь у -+ 1ОКь уо при Кь Э у — 1 ув Е Кь,' 4') (1оК у1 < 1оК уг) <=> (у1 < уг), если а > 1, (1ок у1 > 1ок уг) 1 (у1 < уг), если 0 < а < 1; 5') множество значений функции 1оК,: 2 -+ К совпадает с множе- ством 2 всех действительных чисел. м Из свойства 1) показательной функции и определения логарифма получаем 1').
Из свойства 2) показательной функции получаем 2'). Действительно, пусть т1 = 1оК, у1 и тг = 1оК, уг. Тогда у1 = а ', уг = а*' и по 2) у1 уг = — а*1 . а*г — а*1 *г Откуда 1ОКа(у1 ' у2) = х1 + хг. Аналогично, свойство 4) показательной функции влечет свойство 4') логарифмической. 12.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 145 Очевидно, 5) =~ 5'). Осталось доказать 3'). В силу свойства 2') логарифма 1оК,У вЂ” 1оК,уо = 1оК, /у'1 о поэтому неравенства -я < 1ОК.У вЂ” 1ОКауо ( е равносильны соотношению 1ОКа(а ) е< 1ОКа ( ) <С 1ОКа(а )~ Мо/ которое по свойству 4') логарифма равносильно — а < — (а при а>1, е У о Уо а'« — а ' при 0(а<1. Уо В любом случае мы получаем, что если уоа '<у<уоа' при а>1 уоа'<у<уоа 'приО<а(1, то е < 1ОКау 1ОКауо < е.
Таким образом, проверено, что 1пп 1оК,У = 1оКауо ~ н-~- э о->оо еже На рис. 9 изображены графики функций е*, 10, 1пх, 1оК1о х =: 1оК х, а на рис. 10 — графики функций (-,), 0,1*, 1ОК1~о х, 1оКо 1х. Остановимся еще на одном свойстве логарифма, которым тоже часто приходится пользоваться. Покажем, что для любого Ь > 0 и любого О Е К справедливо равенство 6 ) 1ОК 1Ь ) = О1ОК 1' Равенство справедливо при а = п Е 1ч, ибо из свойства 2') логарифма по индукции получаем 1оК 1У1... У„) = 1оК, у1+...
+ 1оК, у„, значит, 10Ка1Ь ) = 1оКа Ь+... + 1оКа Ь = и1оК Ь, ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 146 Рис. 9. 2' 1о3,1Ь ') = — 1оя, Ь, ибо если 13 = 1оЕ,Ь, то Ь '=а л и 1од,(Ь ')= — 13. Ь=а~, 3' Из 1' и 2' теперь заключаем, что для а Е Ж равенство 1об„(Ь ) = = о1о3 Ь справедливо. 4' 1о3,1Ь'~") = — „1од, Ъ при и Е У,. Действительно, 1о3, Ь = 1о3, (Ь'~") = п1о3, (Ь'~") .
5' Теперь можно проверить, что для любого рационального числа а = — „Е Я утверждение справедливо. В самом деле, — 1оя Ь = т1од (Ь~~") = 1о3 (Ьь~") = 1о3 (Ь ~") . 1пп 1од, Ь' = 1од, Ь . Щт — ~а 6' Но если равенство 1од, Ь' = г 1од, Ь справедливо для любого г Е Е Я, то, устремляя г по Я к о, на основании свойства 3) показательной и свойства 3') логарифмической функций получаем, что если г достаточно близко к а, то Ь" близко к Ь и 1оЕ, Ь' близко к 1о3, Ь .
Это означает, что 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 147 (1/е)* Рис. 10. Но 1оя,6" = г1оя, Ь, поэтому 1оя„Ъ" = 1пп 1он„Ь" = 1пп т 1оя„Ь = о 1о6„6. Овт — ~а Оз~ — ~а Из доказанного свойства логарифма можно сделать вывод, что для любых о, )1 Е К и а > 0 имеет место равенство 6) (а )о = а о. < При а = 1 считаем, по определению, 1 = 1 для о Е К. Таким образом, в этом случае равенство тривиально. Если же а ф 1, то по доказанному 1оя,((а )о) =,31о6 (а") = )У о1оя а = )1 о = 1од,(а о), что в силу свойства 4') логарифма доказывает справедливость указанного равенства. ~ с) Степенная функция.
Если считать 1о = 1, то при любом х > 0 и а Е К мы определили величину х~ (читается ех в степени ое). Определение 10. Функция х ~-1 х, определенная на множестве К+ положительных чисел, называется степенной функцией, а число о называется показателем степени. 148 ГЛ. 1П. ПРЕДЕЛ Степенная функция, очевидно, является композицией показательной и логарифмической функций, точнее, тв — аия (* ) = аа1вяал На рис.11 изображены графики функции у = х при различных значениях показателя степени. О 1 Рис.
11. 3. Общее определение предела функции (предел по базе). Доказывая свойства предела функции, мы убедились, что от проколотых окрестностей, в которых были определены наши функции и которые возникали в процессе доказательств, кроме свойств В1), Вэ), указанных во введении к предыдущему пункту 2, действительно ничего не потребовалось. Это обстоятельство служит оправданием для выделения следующего математического объекта. а.
База; определение и основные примеры Определение 11. Совокупность В подмножеств В С Х множества Х будем называть базой в множестве Х, если выполнены два условия: В1) ЧВ Е В (В Ф а); В,) УВ1 ~ 8 УВ, ~ В ЭВ ~ В (В С В1 Г1 В,). Иными словами, элементы совокупности В суть непустые множества и в пересечении любых двух иэ них содержится некоторый элемент из той же совокупности. Укажем некоторые наиболее употребительные в анализе базы. 149 в 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Определение и обозна чение элементов базы Обозначение базы Из каких множеств (элементов) состоит база Чтение обозначения П(а) гк =(хе и~а — б1 < < х < а+бздх ~ а), гдеб1 >О,бз >О База проколотых окрестностей точ- ки а Е И х стремится ка База окрестностей бесконечности П(оо):= =(хай)б<(хЦ, гдебб И х стремится к бесконечности к о Пя(а):= Е й П(а) Базай проколотых окрестностей точ- ки а в множестве Е х-+а,хбЕ х стремится к а по множест- ву Е или Е э х + а или х — >а ея База О окрестнос- тей бесконечности в множестве Е Пя(оо) зж Е и П(оо) х-~со,хЕ Е х стремится к бесконечности нли Е Э х -+ со по множест- ву Е или х — Ф со ее ОПредполагается, что а — предельная точка множества Е.
*ОПредпелагается, что множество Е не ограничено. Е = Ь',+ = (х Е К ~ с < х) (Е = Е,„= (х Е ль' ! х < с)), то вместо х -+ оо, х Б Е пишут х -+ +оо (х -+ — оо) и говорят, что Если Е = Елч = (х Е И ! х > а) (Е = Е„= (х с И ! х < < а)), то вместо х -+ а, х Н Е пишут х -+ а + 0 (х -+ а — 0) и говорят, что х стремится к а справа или со стороны больших значений (соответственно, слева или со стороны меньших значений). При а = 0 принятакраткая запись х -+ +О (х -+ — 0) вместо х -+ О+О (х -+ 0 — 0). Запись Е э х -+ а + 0 (Е э х -+ а — 0) будет употребляться вместо х -+ а, х Б Е ПЕ+ (х + а, х Е Ей Е, ).
Она означает, что х стремится по множеству Е к а, оставаясь больше (меньше), чем а. Если 150 ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ х стремится к плюс бесконечности (соответственно, к минус бесконечности). Запись Е Э х -+ +со (Е Э х -+ — оо) будет употребляться вместо х -+ оо, х Е Е Г) Е, +(х -+ со, х е Е П Е, ). При Е = 1>1 вместо х — » оо, х Е 1>1 мы (если это не ведет к недоразумению) будем, как это принято в теории предела последовательности, писать и — > сс. Заметим, что все перечисленные базы обладают той особенностью, что пересечение любых двух элементов базы само является элементом этой базы, а не только содержит некоторый элемент базы. С другими базами мы встретимся при изучении функций, заданных не на числовой оси').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
