1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Не следует распространять это правило на суммы и разности функций. Пример 42. 1Й~+х х при х — 1 +ос, но 1пп (1/хг+х — х1 ~ 1пп (х — х) = О. х — ~-~-со ' / х-~Л.со Мы сделали замену х = 1п(1 + 1), ех — 1 = 1 и воспользовались тем, что ех -+ ео = 1 при х — ~ О, причем ех ф 1 при х ф О. Таким образом, на основании теоремы о пределе композиции и результата предыдущего примера утверждение доказано. ь Итак, ех — 1 х при х -+ О. ГЛ.
П1. ПРЕДЕЛ 168 В самом деле, х 1 1 Вш (~/~г+ х х) 1;и, 1пп «-««-сь ~ к «е ~/юг+ х+х * — ««-'ь 1+ 4+1 2 х Отметим еще следующие широко используемые в анализе правила обращения с символами о(.), 0( ). утверждение 4. При данной базе а) о(1') + о(1) = о(1); Ь) о(1) есть также 0(1); с) о(у) + 0(у) = 0(у); «1) О(1) + О(1) = О(1); е) если д(х) ф О, то -УЯ)" = о (Уф) и ~(Щ~) = 0 (Уф) . Обратите внимание на особенности действий с символами о( ), 0( ), вытекающие из смысла этих символов. Например, 2о(у) = о(у), или о(1 ) + 0(1) = 0(1 ) (хотя, вообще говоря, о(1) ~ О), или о(у) = 0(у), но 0(1') ф о(1).
Здесь знак равенства всюду имеет значение слова «естьв. Сами символы о( ), 0( ) обозначают не столько функцию, сколько указание на характер ее асимптотического поведения, которым, кстати, обладают сразу многие функции, например, и у, и 2у', и т. п. ~ а) После сделанного уточнения утверждение а) перестает выглядеть неожиданным. Первый символ о(у) в нем означает некоторую функцию вида а«(хЩх), где 1пп а«(х) = О. Второй символ о(у), который можно (или нужно) было бы снабдить пометкой, отличающей его от первого, означает некоторую функцию вида аг(х)у(х), где 1пп аг(х) = = О.
тогда а1(хЩх) + аг(хЩх) = (а1(х) + аг(х))г (х) = аз(хЩх), где 1ппаз(х) = О. 6 Ь) Следует из того, что всякая функция, имеющая предел, является финально ограниченной. с) Следует из Ь) и с1). е1) Следует из того, что сумма финально ограниченных функций финально ограничена. е) ~ф~)) — — ~~Я-*-) = а(х) — (--) = о ®) . Аналогично проверяется и вторая часть утверждения е). ~ 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 169 (И" -)= — 1 = 1пп — +х о 1пп (~/х~ + х — х) = 1пп х 1пп х 1+ — — +о /1 1 1 1пп ~ — + о(1)) = — .
*-~+ ~,2 ) 2 Несколько позже мы докажем следующие важные соотношения, которые уже сейчас стоит запомнить как таблицу умножения: 2 1 а е* = 1 + — х+ — х +... + — х'" +... 1! 2! и! при х ей, созх=1 — — х + — х +...+ х +... при хеК, 2 1 4 ( 1) гь 2! 4! (2й) ! з ( 1) гь--1 я1пх= — х — — х +...+ х "~'+... при хЕК, 1! 3! " ' (2й+ 1)! ( 1)а-1 1п(1+х) =х — — хг+ — хз+...+ х +... при )х) < 1, 2 3 и 2 (1+ )а 1+ + ( ) 2+ + 1! 2! 1)''' ~~ и+1 а ( "( х" +...
при !х! < 1. Эти соотношения, с одной стороны, уже могут служить вычислитель- ными формулами, а с другой стороны, как будет видно, содержат в себе следующие асимптотические формулы, обобщающие формулы, по- лученные в примерах 37 — 40: 2 1 и Е=1+ —,х+ —,х +...+ —, "+О( "+ ) при х+О, 2 1 4 1) гь созх=1 — — х + — х +...+ х +О х +~ при х-+О, 2! 4! (2й)! Пользуясь этими правилами и эквивалентностями, полученными в примере 40, теперь можно следующим прямым методом искать предел из примера 42: ГЛ.
П1. ПРЕДЕЛ 170 3 1) 2ь.~-1 31пх = — х — — хз+... + хз"+'+0(х2""31 при х-+О, 1! 3! (2?с + 1)! ( 1)п — 1 (1 + ) , 2 + 3 + + п + 0 ( 77-~-1) 2 3 ''' и и(и 1 2 (1+х)" = 1+ — х-!- ( )х2+ .. + + ( 1) ( +1)х" +0( "+ ) р О. и.' Эти формулы обычно являются наиболее эффективным средством при отыскании пределов элементарных функций. При этом полезно иметь ввиду, что 0 (х + ) = х +' 0(1) = х~.х О(1) = х~ о(1) = о(х~) при х -1 О. Рассмотрим в заключение несколько примеров, показывающих эти формулы в работе.
Пример 43. з 5 х — зшх, (х зх + (х)/ ~1 2 1 1пп = 1пп — 1пп ~ — + 0 (хз)) = —. 2-70 ХЗ х-~0 .з .~о ~3! ) -3! 2(7 *'+* Пример 44. 1пп х2 ~(* +* — соз ~~~ =? Имеем при х -+ оо: 1+ 1 — +~ + + 1+ +0 — + — ° + 7'1'1 сов — = 1 — — — + 0 ~ — /, 21 х2 1х4/' откуда получаем хз+х 1 О 1 / ' — соз — = — — +О ! — ) при х + оо. хз х 14 х2 ~хз) 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 171 Таким образом, искомый предел равен 1пп х2 +О Пример 45.
1пп — 1+ — = 1пп ехр х 1п 1+ — — 1 = 1пп ехр х21п 1+ — — х = 1ш1 ехр х2 — — —,+Π— — х = 1ш1 ехр — -+Π— =е Задачи и упражнения 1. а) Докажите, что существует и притом единственная определенная на К функция, удовлетворяющая требованиям ,1'(1) = а (а > О, а ф 1), ,7(х1) 1(Х2) = 1(х1 + Х2), 1(х) -+ 1(хс) при х — 1 хо. Ь) Докажите, что существует и притом единственная определенная на Кь функция, удовлетворяющая требованиям 7'(а)=1 (а>0, аф1), 1(Х1) + 1(Х2) = 1(Х1 Х2), ~(х) — 1,((хо) при хе с Кь и И, Э х -+ хе. У к а з а н не.
Просмотрите еще раз конструкцию показательной и логарифмической функций, разобранную в примере 10. 2. а) Установите взаимно оДнозначное соответствие 22: И -+ Кь так, чтобы для любых х,у Е И было ~р(х+ у) = ~р(х) . ~р(у), т.е. чтобы операции сложения в прообразе (в И) отвечала операция умножения в образе (в И+). Наличие такого отображения означает, что группы (И, +) и (Кь, ) как алгебраические объекты одинаковы, или, как говорят, изаиору1ны.
Ь) Докажите, что гРУппы (И, +) и (К 10<ь, ) не изомоРфны. 172 ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 3. Найдите пределы а) !пп х*; а — ~+0 Ь) !пп х11а; ж-~.р оп 1оа (1-Ь х) с) 1!1п а — ~0 а* — 1 и — ~0 4. Покажите, что 1 1 1+ — +... + — = 1пп+ с+ о(1) при п -+ оо, 2 п где с — постоянная. (Число с = 0,57721... называется постоянной Эйлера.) Указание. Можно воспользоваться тем, что п+1 7' 11 1 7' 1 ! !и — = !и ~1+ — у! = — + О ( — ) при п + оо.
И ~, И( П ~,ПЗ1) 5. Покажите, что а) если два РЯда 2 ап, 2 Ьп с положительными членами таковы, что п=1 и=1 ап бп при п -+ оо, то эти ряды сходятся или расходятся одновременно; Ь) ряд 2, вш — сходится только при р > 1. 1 п=1 р 6. Покажите, что а) ЕСЛИ ап > оп+1 > 0 Прн ЛЮбОМ И 6 !1! И ряд 2 Оп СХОднтея, тО Оп = п=1 = о Ы при и -+ оо; Ь) если Ьп = о Ы, то всегда можно построить сходящийся ряд 2 ап /11 п=1 такой,что Ьп = о(ап)при п -р оо; с) если РЯд 2 ап с положительными членами сходитсЯ, то РЯд 2 Ап, где и=1 п=1 Ап =, 2 аь — 2 аь, тоже сходится, причем оп = о(Ап) при п -+ со; )1 ь=п О=и-~-1 1!) если ряд 2 оп с положительными членами расходится, то ряд 2 Ап, и=1 пая ) и где Ап = ~( ~', аь — ~( 2 аы тоже расходится, причем Ап = о(ап) при п — ~ со.
1=1 1=1 Из с) и д) следует, что никакой сходящийся (расходящийся) ряд не может служить универсальным зталоном для установления сходимости (расходимости) других рядов путем сравнения с ним. 3 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 173 7. Покажите, что а) ряд 2 1поп, где ап > О, и б Ы, сходится тогда и только тогда, когда п=1 последовательность (Пп = аю .. ап) имеет отличный от нуля предел; Ь) ряд 2 ,'!п(1 + ап), где ~а„! ( 1, абсолютно сходится тогда и только п=1 тогда, когда сходитсЯ абсолютно РЯд 2, ап. п=1 У к а з а н и е. С м.
задачу ба) . 8. Говорят, что бесконечное произведение П ев сходится, если последов=1 вательность чисел Пп = П ел имеет конечный, отличный от нуля предел П. ь=с Тогда полагают П = П еы Кп1 Покажите,что а) если бесконечное произведение П еп сходится,то е„ вЂ > 1 при п -+ оо; п=1 Ь) если еп Е М (еп > 0), то бесконечное произведение П еп сходится п=1 тогда и только тогда, когда сходится ряд 2 1п е„; п=1 с) если еп = 1 + ап и все ап одного знака, то бесконечное произведение П (1+ ап) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ~" ап.
п=1 п=1 9. а) Найдите П (1 + хзп '). пп1 Ь) Найдите П сов — *п и докажите следующую формулу ВиетаО: п=1 с) Найдите функцию 1(х), если 1(0) = 1, д2х) = сове х дх), 1(х) — > 1(О) при х — > О. ОФ. Виет (1540 — 1603) — французский математик, один из создателей современной алгебраической символики. 174 ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ Указание: х = 2 2' 10. Покажите, что 1>п пп а) если "' = 1+До, и = 1,2,..., и ряд 2' )зп абсолютно сходится, то 6 и-1 п=1 сушествует предел 1пп Ьп = Ь е Я; п-~сО 1>) если — пз — ' = 1+ Я+ оп, и = 1,2,..., пРичем РЯд 2 оп абсолютно ап.1.1 п п=1 сходится, то ап — при и — З оо; с) если РЯД 2 ап таков, что оп = 1+ ~+оп и РЯД 2 оп абсолютно п=1 оп-1-1 п=1 схоДитсл, то РЯД 2 ап абсолютно сходитсЯ пРи Р ) 1 и РасходитсЯ пРи Р < 1 п=1 (признак Гаусса абсолютной сходимостн ряда).
11. Покажите, что для любой последовательности 1а„) с положительными члснами — 1+ апз.з н вта оценка неулучшаема. ГЛАВА 1ьь' НЕПРЕРЫВНЫЕ сФУНКЦИИ ~ 1. Основные определения н примеры 1. Непрерывность функции в точке. Пусть у — вещественнозначная функция, определенная в некоторой окрестности точки а Е З. Описательно говоря, функция ~ непрерывка в точке а, если ее значения Дх) по мере приближения аргумента х к точке а приближаются к значению ~(а) функции в самой точке а. Уточним теперь это описание понятия непрерывности функции в точке. Определение О.
Функция ~ называется непрерььвноа в точке а, если для любой окрестности $'®а)) значения Да) функции в точке а найдется такая окрестность 1'(а) точки а, образ которой при отображении ~ содержится в р'®а)). Приведем формально-логическую запись этого определения вместе с двумя его вариациями, часто используемыми в анализе: (~ непрерывна в точке а):= (ЧЪ'(~(а)) Люсь(а) (~(У(а)) С Р (~(а)))), 'й > 0 51'(а) ьььх е ьЛа) (~Дх) — ца) ~ < в), Ж > 0 Зв > 0 ььх Е К ()х — а( < Б =~ ~~(х) — Да)) < е).
Эквивалентность этих формулировок для веще ственнозначных функций следует из того, что (как уже неоднократно отмечалось) любая окрестность точки содержит некоторую симметричную окрестность этой точки. ГЛ. 1Ъ'. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 11б Например, если по любой е-окрестности Ъ'Ща)) точки 1'(а) можно подобрать окрестность 11(а) точки а так, что Чх Е 11(а) Я(х) — 1(а)~ < < е), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
