1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пример 8. Функция 1'(х) = 88пх постоянна и, значит, непрерывна в окрестности любой точки а Е К, отличной от нуля. В любой же окрестности нуля ее колебание равно 2. Значит, Π— точка разрыва функции 88пх. Заметим, что функция имеет в точке О и предел слева 1пп 88пх = — 1, и предел справа 11ш аяпх = 1, но, во-первых, они -а я — ~~-0 не совпадают между собой, а во-вторых, ни один из них не совпадает 182 ГЛ.
1Н. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ со значением вяпО = 0 функции в точке О. Это прямая проверка того, что 0 — точка разрыва функции. Пример 9. Функция Дх) = (88пт~ имеет предел 1пп )вбил) = 1 0 при я — ь О, но ДО) = (вдпО) = О, поэтому 1пп Дх) ~ ДО) и 0 — точка х — ~0 разрыва функции. Заметим, однако, что в данном случае, изменяя значение функции в точке 0 и полагая его равным 1, мы получим функцию, непрерывную в точке О, т. е.
устраним разрыв. Определение 5. Если точка разрыва а Е Е функции (: Е + К такова, что существует непрерывная функция (: Е -+ Й такая, что Де1 = Де1о, то а называетсЯ точкой УстРанимоео РаэРыва фУнкуии у': Š— + лс. Таким образом, точка устранимого разрыва характеризуется тем, что существует предел 1пп ((т) = А, но А ф 11а), и достаточно Еэх — ~а ПОЛОЖИ ГЬ ( Дя) при АТЕЕ, я~а, П.) =~ ~ А при я=а, как мы уже получим непрерывную в точке а функцию у: Š— 1 л1. Пример 10.
Функция вш1 при я~О, П')= 0 при я=О разрывна в точке О. При этом она даже не имеет предела при х -+ — ь О, ибо, как было показано в гл. 1П, 8 2, п. 1, пример 5, не существует предела 1пп 81п —. График функции 81п — изображен на рис. 12. 1 1 х — 0 х Примеры 8, 9 и 10 поясняют следующую терминологию. 1пп ((т) =: Да — 0), Евх-~а-0 1пп ~(х) =: ((а+ 0), Езх — ~а-ЬО ОЕсли а — точка разрыва, то о — предельная точка множества Е. Однако может случиться, что все точки множества Е в некоторой окрестности точки о лежат по одну сторону от точки о.
В этом случае рассматривается только один из укаэанных в определении пределов. Определение 6. Точка а Н Е называется точкой разрыва первого рода для функции (: Е + К, если существуют пределы1) 183 81. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ Рис. 12. по по крайней мере один иэ этих пределов ие совпадает со значением у (а) функции в точке а. Определение 7. Если а ŠŠ— точка разрыва функции 1: .Е -+ — > 1с и в этой точке ие существует по меньшей мере один иэ пределов, указанных в определении б, то а называется точкой разрыва епзорого рода.
Таким образом, имеется в виду, что всякая точка разрыва, ие являющаяся точкой разрыва первого рода, является точкой разрыва второго рода. Приведем еще два классических примера. Пример 11. Функция 1, если хЕЯ, Ю(х) = О, если х ЕЙ~Я, называется 4ункциеб Дирихле'). Эта функция раэрывиа во всех точках, причем, очевидно, все ее точки разрыва — второго рода, так как па любом интервале есть как рациональные, так и иррациональные числа. о П. Г. Дирихле (1805 — 1859) — крупный немецкий математик-аналитик, занявший пост ординарного профессора Геттингенского университета после смерти К. Гаусса (1855).
ГЛ. 1Ъ', НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 184 Пример 12. Рассмотрим функцию Римана1) — если х = — „Е Я, где — „— несократимая дробь, и Е И, 1 т гв Л(х) = О, если х е )к~Я. Заметим, что, каковы бы ни были точка а Е )й и ее ограниченная окрестность с:(а) и каково бы ни было число И е И, в У(а) имеется только конечное число рациональных чисел — „, т Е,'Е, и Е И, таких, что и < И.
Уменьшая окрестность, можно, таким образом, считать, что знаменатели всех рациональных чисел, попадающих в нее (кроме, быть может, числа а, если а Е Я), уже больше чем Х. Таким образом, в о любой точке х Е У(а) ~Я.(х) ~ < 1/И. Мы показали тем самым, что в любой точке а Е Ж '1 Я 1пп Я(х) = О. х — ~а Значит, функция Римана непрерывна в любой иррациональной точке. В остальных точках, т. е. в точках х б Ц, функция разрывна, и все зти точки являются точками разрыва первого рода. у 2.
Свойства непрерывных функций 1. Локальные свойства. Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения. Таким образом, сами локальные свойства характеризуют поведение функции в каком-то предельном отношении, когда аргумент функции стремится к исследуемой точке.
Например, непрерывность функции в некоторой точке области определения, очевидно, есть локальное свойство функции. Укажем основные локальные свойства непрерывных функций. Теорема 1. Пусть 1': Е + )й — функция, непрерывная в точке а Е Е. Тогда справедливы следующие утверждения: ОБ.
Ф. Риман (1826 — 1866) — выдаюцщйся немецкий математик, фундаментальные работы которого легли в основу целых областей современной геометрии и анализа. 1 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 185 1' функция )' ограничена в некоторой окрестности 11е(а) точки а; 2' если 1'(а) ф О, то в некоторой окрестности Бе(а) точки а все значения функции положительны или отрицательны вместе с ~(а); 3' если функция д: БЕ(а) -+ К определена в некоторой окрестности точки а и, как и 1: Š— ~ 2, непрерывна в самой точке а, то функции: а) У+ дКх):= Ьх)+ Ях), )э) ()' дИх):= )'(х) д(х), с) ® 1х):= — ~-) 1при условии, что д1х) ~ О) определены в некоторой окрестности точки а и непрерывны в точке а; 4' если функция д: У вЂ” + К непрерывна в точке Ь Н У, а функиия ~ такова, что 1: Š— + У, 1(а) = 6 и 1' непрерывна в точке а, то композиция (д о 1") определена на Е и также непрерывна в точке а.
~ Для доказательства теоремы достаточно вспомнить (см. 8 1), что непрерывность функции 1' или д в некоторой точке а области определения равносильна тому, что предел этой функции по базе Е, окрестностей точки а существует и равен значению функции в самой точке а: 11ш11х) = Да), 11шд(х) = д1а). и 0 Таким образом, утверждения 1', 2', 3' теоремы 1 непосредственно вытекают из определения непрерывности функции в точке и соответствующих свойств предела функции.
В пояснении нуждается только то, что отношение ~ в самом деле 1(х1 д(х) определено в некоторой окрестности Уе(а) точки а. Но, по условию, д(а) ~ О и в силу утверждения 2' теоремы найдется окрестность Ое(а), в любой точке которой д(х) ~ О, т. е. Ю определено в Ь'е1а). Утверждение 4' теоремы 1 является следствием теоремы о пределе композиции, в силу которой 1пп(д о 1)(х) = 1ппд(у) = д(Ь) = д®а)) = (до 1)(а), что равносильно непрерывности (д о 1) в точке а.
Однако для применения теоремы о пределе композиции нужно проверить, что для любого элемента Уу(6) базы Еь найдется элемент Ое(а) базы Е, такой, что 1(Уе(а)) С Ь'У(Ь). Но в самом деле, если УУ(6) = = У П 11(6), то по определению непрерывности функции )': Е -+ У в ГЛ. 1Ч, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 188 точке а для окрестности У(Ь) = ()(у(а)) найдется окрестность ЕЪе(а) точки а в множестве Е такая, что Д()е(а)) с (1®а)). Поскольку у действует из Е в У, то Х(с)е(а)) с У () с1 Ща)) = с1у(Ь) и мы проверили законность применения теоремы о пределе композиции.
Пример 1, Алгебраический многочлен Р(х) = авх" + а1х" ' + +... + а„является функцией, непрерывной на 2. Действительно, из пункта 3' теоремы 1 по индукции следует, что сумма и произведение конечного числа непрерывных в некоторой точке функций есть функция непрерывная в этой точке. Мы проверили в примерах 1 и 2 8 1, что постоянная функция и функции у (х) = х непрерывны на )й. Тогда на К непрерывны и функции ах™ = а х ... х, а следовательно,и полинам Р(х). иъ раз Пример 2. Рациональная функция В(х) = — (-*-1 — отношение поФ*) линомов — непрерывна всюду, где она определена, т.е. где (,)(х) ф О.
Это следует из примера 1 и утверждения 3' теоремы 1. Пример 3. Композиция конечного числа непрерывных функций непрерывна в любой точке области своего определения. Это по индукции вытекает из утверждения 4' теоремы 1. Например, функция вш '1и сов х е"" (1" (со'*)) непрерывна всюду на К, за исключением точек — "(2к + 1), )с Е Ж, где она не определена. 2, Глобальные свойства непрерывных функций.
Глобальным свойством функции, описательно говоря, называется свойство, связанное со всей областью определения функции. Теорема 2 (теорема Больцано — Коши о промежуточном значении). Если функция, непрерывная на отрезке, принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке есть точка, в котороб функция обращается в нуль. В логической символике эта теорема имеет следующую запись1): (у Е С(а, Ь!) Л (у(а) 1(Ь) ( 0) ~ Вс Е (а, Ь! О (с) = 0). м Делим отрезок (а, Ь! пополам. Если в точке деления функция не равна нулю, то на концах одного из двух полученных в результате ОНапомним, что символ С(Е) обозначает совокупность всех функций, непрерывных на множестве Е.
В случае Е = (а,Ь] вместо С([о,6)) часто пишут сокращенно С(а, Ь). 12. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 187 деления отрезков функция снова принимает значения разных знаков. С этим отрезком поступаем теперь так же, как и с исходным отрезком [а, Ь], т. е. делим его пополам, и продолжаем процесс дальше. Тогда мы либо на каком-то шаге попадем в точку с Е [а, Ь], где г(с) = О, либо получим последовательность (1и) вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю и на концах которых 7 принимает значения разных знаков. В последнем случае на основании леммы о вложенных отрезках найдется единственная точка с Е [а, Ь], общая для всех этих отрезков.
По построению существуют две последовательности (х'„) и (х'„') концов отрезков 1„ такие, что у(х'„) < О, у(х'„') > О, 1пп х'„= Йщ х" = с. По свойствам предела и определению непрерыви-кс и->сс ности получаем 1пп 7(х'„) = у(с) < О, 1пп 7(х'„') = у(с) > О. Таким и-~сО и — ~си образом, 7" (с) = О. ~ Замечания к теореме 2. 1' Доказательство теоремы доставляет простейший алгоритм отыскания корня уравнения у(х) = 0 на отрезке, в концах которого непрерывная функция имеет значения разных знаков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
