1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 38
Текст из файла (страница 38)
ГЛ. 1Н. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Если, кроме тово, Х есть отрезок [а,6] и функция 1' непрерывна на нем, то множество У = 1[Х) есть отрезок с концами 1[а), Д6) и функция 1 1: У -+ 1г непрерывна на нем. < Утверждение теоремы о том, что в случае Х = [а, 6] и непрерывности у множество У = ДХ) есть отрезок с концами Да), 1'[6), следует из доказанного выше утверждения 4. Остается проверить, что 1 1: У -+ — ь К вЂ” непрерывная функция. Но у 1 монотонна на У, У есть отрезок и '[У) = Х = [а, 6] — тоже отрезок. В силу утверждения 4 заключаем, что функция 1 ~ непрерывна на отрезке У с концами Да), 1'[6). ~ Пример 8. Функция у = 1[х) = ейпх возрастает и непрерывна на отрезке ~ — ~~, — ~.
Значит, ограничение этой функции на отрезок ~ — 2, 2] имеет обратную функцию х = 1' ' [у), обозначаемую х = = агсв1п у, определенную на отрезке [в1п ( — -), вйп (2)~ = [ — 1, 1], возрастающую от — Е до Е и непрерывную на этом отрезке. 2 2 Пример 9. Аналогично, ограничение функции у = сов х на отрезок [О, я] есть убывающая непрерывная функция, которая в силу теоремы 5 имеет обратную функцию, обозначаемую х = агссов у, определенную на отрезке [ — 1, 1], непрерывную и убывающую на нем от значения и до значения О. Пример 10. Ограничение функции у = 18х на интервал Х = = ] — в~, ~~ [ есть возрастающая от — оо до +со непрерывная функция, которая в силу первой части теоремы 5 имеет обратную функцию, обозначаемую х = агс$8 у, определенную на всей числовой прямой у Н Е К и возрастающую на ней в пределах интервала ] — Е Е [ своих зна- 2' 2 ' чений.
Чтобы доказать непрерывность функции х = агс18у в любой точке Уо ее области опРеДелениЯ, возьмем точкУ хо = агс18Ув и отРезок [хо — е, хо + е], содержащий хо внутри и содержащийся в интервале ] — —,, — [. Если хо — е = агс18 [Уо — б1) и хо + е = агс18 [Уо + дг), то ввиДУ возрастания функции х = агс$8у можно утверждать, что при любом у Н 11 таком, что уо — 61 < у < уо + о2, будем иметь хо — е < агс18 у < < хо+ е. Итак, [ агс$8 у — агс18 уо[ < е при — б1 < у — уо < 52 и тем более при [у — уо[ < б = ппп1о1, 62), что и проверяет непрерывность функции х = агс18 У в точке Уо Н 2. Пример 11.
Рассуждениями, аналогичными проведенным в предыдущем примере, устанавливаем, что поскольку ограничение функции 92. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 197 у = с1я х на интервале ]О, и[ есть убывающая от +ос до — оо непрерывная функция, то она имеет обратную функцию, обозначаемую х = агсс1я у, определенную на всей числовой оси )к, убывающую на ней в пределах интервала своих значений ]О, х[ от я до О и непрерывную на )к. Замечание.
При построении графиков взаимно обратных функций у = 1(х) и х = 1 (у) полезно иметь в виду, что точки плоскости с координатами (х, у(х)) = (х, у) и (у, 1' 1(у)) = (у, х) в одной и той же координатной системе (в которой лишь указана первая и вторая оси координат, а не ось х или ось у) симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла. Таким образом, графики взаимно обратных функций, изображенные в одной системе координат, оказываются симметричными относительно этой биссектрисы. Задачи и упражнения 1. Покажите, что а) если 7" В С(А) и В С А, то Яв В С(В); Ь) если функция 7": Е1 0 Еэ -+ Н такова, что 7'[я, В С(Е,), г' = 1,2, то не всегда 7' В С(Е1 0 Еэ); с) функция Римана Е, как и ее ограничение 7С[О на множество рациональных чисел, разрывна в каждой точке множества Щ, кроме нуля, и все точки разрыва при этом устранимые (см. 9 1, пример 12).
2. Покажите, что если функция 1 В С[а, Ь], то функции т(х) = ппп 7'(1), а<С<я М(х) = шах 7(1) а<1<к также непрерывны на отрезке [а, Ь]. 3. а) Докажите, что функция, обратная функции, монотонной на интервале, непрерывна на области своего определения. Ь) Постройте монотонную функцию со счетным множеством точек разрыва.
с) Покажите, что если функции 7": Х -+ У и 1 ': У -+ Х взаимно обратны (здесь Х, У вЂ” подмножества И) и 1 непрерывна в точке хе В Х, то иэ этого еще не следует непрерывность функции 1 ' в точке уе — — 1(хе) В У. 4. Покажите, что а) если 1 В С[а,Ь] и д е С[а,Ь], причем /(а) < д(а) и 7(Ь) ) д(Ь), то существует точка с В [а, Ь], в которой 7(с) = д(с); Ь) любое непрерывное отображение 1: [0,1] -+ [О, 1] отрезка в себя имеет неподвижную точку, т.
е. точку х Е [О, 1] такую, что 7'(х) = х; с) если два непрерывных отображения 7' и д отрезка в себя коммутируют, т.е. 7" о д = д о 7", то онн не всегда имеют общую неподвижную точку, хотя, ГЛ. 1У. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ например, для линейных отображений и, вообще, для полиномов такая точка всегда есть. д) непрерывное отображение у: Н -+ Е может не иметь неподвижной точки; е) непрерывное отображение 1: ]О, 1[ -+ ]О, 1[ может не иметь неподвижной точки; () если отображение у': [0,1] -+ [0,1] непрерывно, ДО) = О, Д1) = 1 и (у о у)(х) = х на [О, 1], то Д(х) = х. 5. Покажите, что множеством значений любой непрерывной на отрезке функции является отрезок. 6. Покажите, что а) Если отображение 1: [0,1] — + [0,1] непрерывно, 1(0) = О, 1(1) = 1 и при некотором и Е 'г1 у" (х):= (уо... о1)(х) = х на [О, 1], то 1(х) = х.
раа Ь) Если функция ~: [О, 1] — а [О, 1] непрерывна и не убывает, то для любой точки х Е [О, 1] реализуется по крайней мере одна из двух возможностей: либо х — неподвижная точка, либо 1" (х) стремится к неподвижной точке (здесь у'"(х) = 1 о... о у — и-я итерация 1). Т.
Пусть /: [0,1] — 1 2 — непрерывная функция такая, что ДО) = Д1). Покажите, что а) при любом и Е 1ч существует горизонтальный отрезок с концами на графике этой функции, длина которого равна — „; 1, Ъ) если число 1 не имеет вида -„, то найдется функция указанного вида, в 1 график которой уже нельзя вписать горизонтальный отрезок длины 1. 8. Модулем непрерывносши функции /: Š— 1 К называется функция ш(6), определяемая при 6 > 0 следующим образом: ш(6) = эпр ]а (хр) а (хэ)] ~аа — *И<Э аьаяея Таким образом, верхняя грань берется по всевозможным парам точек хы хэ множества Е, удаленным друг от друга меньше чем на 6.
Покажите, что а) модуль непрерывности — неубывающая неотрицательная функция, имеющая предел0 ш(+0) = 1пп оз(6); а — а+О Ь) для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что для любых точек хм хэ Е Е соотношение ]х1 — хг[ < 6 влечет ]/(х1) — 1'(хэ)] < ш(+0) + я; с) если Š— отрезок, интервал или полуинтервал, то для модуля непрерывности функции 1: Е -~ Н имеет место соотношение ы(61 + 6э) < м(61) + ы(6э); Поэтому модуль непрерывности обычно рассматривают при б > О, полагая м(0) = ы(+О).
е 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 199 а) модулем непрерывности функций х и е1пх, рассматриваемых на всей числовой прямой, являются соответственно функция ш(б) = б и постоянная ш(б) = 2 в области д > 0; е) функция у равномерно непрерывна на множестве Е тогда и только тогда, когда ш(+0) = О. 9. Пусть у и д-- ограниченные функции, определенные на одном и том же множестве Х. Величина 11 = епр [Дх) — д(х)[ называется расстоянием яех между функциями 1 и д. Она показывает, насколько хорошо одна функция аппраксимирует другую на данном множестве Х.
Пусть Х вЂ” отрезок [а, Ь]. Покажите, что если у, д 6 С[а, Ь], то Чхо 6 [а, Ь], где 11 = [1(хо) — д(хо)[, и что для произвольных ограниченных функций это, вообще говоря, не так. 10. Пусть Ро(х) — многочлен (полинам) степени н. Будем приближать ограниченную функцию 1; [а, Ь] -+ й многочленами. Пусть м.(Р„) = еир [Дх) —. Р„(х)[ и Е„(() = 1пГ М,Р„), ~с~ад) Р„ где нижняя грань берется по всевозможным многочленам степени и.
Многочлен Р„называется многочленом (полиномом) наилучиьеео приближения функции у, если для него Ь(Р„) = Е„(у). Покажите, что а) существует многочлен Ро(х) = ао наилучшего приближения степени нуль; Ь) среди многочленов Ях(х) вида ЛР„(х), где Є— фиксированный много- член, найдется такой многочлен Яхо, что 11(Ях,) = ш1п11Мл); лен с) если существует многочлен наилучшего приближения степени и, то существует также многочлен наилучшего приближения степени п+ 1; 0) для любой ограниченной на отрезке функции и любого и = О, 1,2,... найдется многочлен наилучшего приближения степени и.
11. Покажите, что а) Многочлен нечетной степени с действительными козффициентами имеет по крайней мере один вещественный корень. Ь) Если Р„- . многочлен степени и, то функция зап Р„(х) имеет не более и точек разрыва, с) Если на отрезке [а, Ь] имеется н+ 2 точки хо < хд « ... х„ча такие, что величина вяп [(~(х,) — Р„(х;))( — 1)'] постоянна при 1 = О,..., н + 1, то Е„Я ) ппп ]1(х;) — Р„(х;)[ (теорема 0<~<о-~-1 Валле Пуссена'1). (Определение Е„(1') см. в задаче 10.) 0 Ш.
Ж. де ла Валле Пуссен (1866- 1962) — бельгийский математик н механик. гоо ГЛ. 1Ъ'. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 12. а) Покажите, что при любом и Е Ы функция То(х) = сов(пагссовх), определенная на отрезке [ — 1, Ц, является алгебраическим многочленом степени п (полиномы Чебышева). Ь) Найдите явное алгебраическое выражение полиномов Тг, Тю Тю Т4 и нарисуйте их графики. с) Найдите корни многочлена Т„(х) на отрезке [ — 1, Ц и те точки отрезка, где величина ]Т„(х)] достигает максимума. д) Покажите, что среди многочленов Ри(х) степени п с коэффициентом 1 при х" многочлен Т„(х) является единственным многочленом, наименее уклоняющимся от нуля, т.
е. Е„(0) = шах ]Т„(х) ] (определение Е„(/) см. в задаче 10). )*(<г 13. Пусть 1 В С[а, Ь]. а) Покажите, что если для полинома Р„(х) степени и найдутся и+2 точки хо « ... х„.ьг (назывземые точками чебышевскозо альгпернанса) такие, что 1(х,) — Р„(х;) = ( — 1)*й(Р„) . а, где Ь(Р„) = гпах ]Дх) — Р„(х)], а гг — посто*е(юь) янцза, равная 1 или — 1, то Р„(х) является и притом единственным полиномом наилучшего приближения функции ~ степени и (см.
задачу 10). Ь) Докажите теорему Чебышева: многочлен Р„(х) степени п тогда и только тогда является многочленом наилучшего приближения функции / В С[а, Ь], когда на отрезке [а, Ь] найдется по крайней мере и + 2 точки чебышевского альтернанса. с) Покажите, что для разрывных функций предыдущее утверждение, вообще говоря, не верно.
д) Найдите многочлены наилучшего приближения нулевой и первой степени для функции ]х] на отрезке [ — 1, 2]. 14. В г 2 мы обсуждали локальные свойства непрерывных функций. Настоящая задача уточняет понятие локального свойства. Две функции ~ и д будем считать эквивалентными, если найдется такая окрестность 11(а) фиксированной точки а В 2, что чх е сг(а) имеем г"(х) = = д(х). Это отношение между функциями, очевидно, рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
