1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 212 то мы последовательно и вполне однозначно нашли бы со = 1пп ((х), ЕЭх-охо 1;ш Х(*) — оо Еэх-охо с„= 1пп ЕЭх- хо (х — хо) при условии, что все указанные пределы существуют; в противном случае условие (19) невыполнимо и задача решения не имеет. Если функция ~ непрерывна в точке хо, то из (18), как уже отмечалось, слеДУет, что со = 1(хо) и мы пРихоДим к соотношению Х(х) — 1(хо) =с1(х — хо)+о(х — хо) при х — ь хо, х Н Е, равносильному условию дифференцируемости функции у (х) в точке хо. Отсюда находим с1 = 11ш = 1'(хо). 1(х) — у (хо) ЕЭо-ооо Х вЂ” ХО Таким образом, доказано Функция Р(х) = со + с~(х хо) (20) при со = у(хо) и с1 = ~'(хо) является единственной функцией вида (20), удовлетворяющей соотношению (18) .
Итак, функция 'р(х) = у(хо) + у (хо)(х хо) (21) доставляет наилучшее линейное приближение функции у в окрестно- сти точки хо в том смысле, что для любой другой функции вида (20) у(х) — р(х) ф о(х — хо) при х — > хо, х е Е. Утверждение 1. Функция )': Е-+К, непрерььвная в точке хо ЕЕ, предельной для множества Е С К, допускает линейное приближение (18) в том и только в том случае, когда она ди44еренцируема в этой томке. о 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 213 Графиком функции (21) является прямая р — У(хо) = 1'(хо)(х — хо), (22) Определение 4.
Если функция (': Е -+ в( определена на множестве Е С К и дифференцируема в точке хе Е Е, то прямая, задаваемая уравнением (22), называется касательной к графику этой функции в и* и. Рисунок 15 иллюстрирует все основные понятия, связанные с дифференцируемостью функции в точке, которые мы к настоящему моменту ввели: приращение аргумента и соответствующие ему приращение функции и значение дифференциала; на рисунке изображены график функции, касательная к графику в точке Ро — — (хо, ((хе)) и, для сравнения, произвольная прямая (называемая обычно секущей), проходящая через Ро и некоторую точку Р ~ Ро графика функции.
у(хо + Ь) — у(ха) Ь (х — хо) = у'(хо)(х — хо) 1(хо+ Ь) 1(хо) хо+ о ха Рис. 15. проходящая через точку (хо,у(хо)) и имеющая угловой коэффициент ~'(хе). Поскольку прямая (22) доставляет наилучшее возможное линейное приближение графика функции р = ((х) в окрестности точки (хо, у(хо)), то естественно принять 214 ГЛ. Ч, ЛИ<1>ФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Развитием определения 4 является Определение 5.
Если отображения у: Š— » К, д: Е -+ К непрерывны в точке хе Е Е, предельной для множества Е С Я, и у (х) — д(х) = = о((х — хо)") при х -+ хо, х Е Е, то говорят, что у и д имеют в точке хо касание порядка и (или, точнее, порядка не низ»се и). При п = 1 говорят, что отображения ~ и д касаи»п»сл друг друга в точке хо. В соответствии с определением 5 отображение (21) касается в точке хо Е Е отображения у: Е -+ 2, дифференцируемого в этой точке.
Теперь можно также сказать, что полипом Р„(хо,х) = со + + с»(х — хо) +... + с„(х — хо)" из соотношения (19) имеет с функцией 1 касание не ниже чем порядка и. Число Ь = х — хр, т. е. приращение аргумента, можно рассматривать как вектор, приложенный к точке хо и определяющий переход из хо в х = хо + Ь. Обозначим совокупность таких векторов через ТК(хо) или ТУ''. о.П Аналогично, обозначим через Тасуя) или ТР, совокупность векторов смещения от точки уо по оси у (см. рис. 15).
Тогда из определения дифференциала видно, что отображение д.» (хо): Траха) -+ ТК1(хо)), (23) задаваемое дифференциалом Ь +»'(хо)Ь = ау(хо)(Ь), касается отображения Ь ~-» 1(ха + Ь) — 1(хо) = ~-'~1(хо; Ь), (24) задаваемого приращением дифференцируемой функции. Заметим (см. рис. 15), что если отображение (24) есть приращение ординаты графика функции у = 1(х) при переходе аргумента из точки хо в точку хо+ Ь, то дифференциал (23) дает приращение ординаты касательной к графику функции при том же приращении Ь аргумента. 4. Роль системы координат. Аналитическое определение 4 касательной может вызвать некоторую не вполне осознанную неудовлетворенность.
Мы постараемся сформулировать, что именно может составить предмет этой неудовлетворенности. Однако прежде укажем одну '»Это — небольшое отклонение от наиболее распространенного обозначения Т, Н или Т,,(К). 1 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 215 более геометрическую конструкцию касательной к кривой в некоторой ее точке Ро (см. рис. 15). Возьмем произвольную точку Р кривой, отличную от Рш Прямая, определяемая парой точек Рш Р, как уже отмечалось, называется секущей по отношению к кривой. Заставим теперь точку Р вдоль кривой стремиться к точке Рд.
Если при этом секущая будет стремиться к некоторому предельному положению, то это предельное положение секущей и есть касательная к кривой в точке Ро. Такое определение касательной при всей его наглядности в данный момент для нас неприемлемо потому, что мы не знаем, что такое кривая, что значит «точка стремится к другой точке вдоль кривой> и, наконец, в каком смысле надо понимать «предельное положение секущейв. Вместо того чтобы уточнять сейчас все эти понятия, мы отметим основную разницу между двумя рассмотренными определениями касательной. Второе было чисто геометрическим, не связанным (во всяком случае, до уточнений) с какой бы то ни было системой координат. В первом же случае мы определили касательную к кривой, являющейся в некоторой системе координат графиком дифференцируемой функции.
Естественно может возникнуть вопрос, не получится ли так, что если эту кривую записать в другой системе координат,то,например, соответствующая функция перестанет быть дифференцируемой или будет дифференцируемой, но в результате новых вычислений мы получим другую прямую в качестве касательной, Этот вопрос об инвариантности, т. е.
независимости от системы координат, всегда возникает, когда понятие вводится с помощью некоторой системы координат. В равной степени этот вопрос относится и к понятию скорости, которое мы обсуждали в пункте 1 и которое, кстати, как это уже отмечалось, включает в себя понятие касательной. Точка, вектор, прямая и т.д. имеют в разных системах координат разные численные характеристики (координаты точки, координаты вектора, уравнение прямой). Однако, зная формулы, связывающие две системы координат, всегда можно по двум однотипным числовым представлениям выяснить, являются ли они записью в разных системах координат одного и того же геометрического объекта или нет.
Интуиция подсказывает нам, что процедура определения скорости, описанная в пункте 1, приводит к одному и тому же вектору независимо от системы координат, в которой проводились вычисления. В свое время, при ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 21б изучении функций многих переменных, мы подробно обсудим подобного рода вопросы. Инвариантность определения скорости относительно различных систем координат будет проверена уже в следующем параграфе. Прежде чем переходить к рассмотрению конкретных примеров, подведем некоторые итоги. Мы столкнулись с задачей математического описания мгновенной скорости движущегося тела. Эта задача привела к задаче аппроксимации заданной функции в окрестности исследуемой точки линейной функцией, что в геометрическом плане привело к понятию касательной.
Функции, описывающие движение реальной механической системы, предполагаются допускающими такую линейную аппроксимацию. Тем самым среди всех функций естественно выделился класс дифферениируемых функиий. Было введено понятие дифференциала функции в точке как линейного отображения, определенного на смещениях от рассматриваемой точки, которое с точностью до величины бесконечно малой по сравнению с величиной смещения описывает поведение приращения дифференцируемой функции в окрестности рассматриваемой точки. Дифференциал д11хо)Ь = 1'(хо)6 вполне определяется числом Г'1хо) — произеодной функции 1 в точке хо, которое может быть найдено предельным переходом У 1х) — У 1хо) езх — ~хо х — хо Физический смысл производной — скорость изменения величины 1" 1х) в момент хо, геометрический смысл производной — углоеой козффиииент касательной к гРафикУ фУнкции У = 11х) в точке 1хо, Дхо)).
5. Некоторые примеры Пример 1. Пусть у'1х) = е1пх. Покажем, что 1'1х) = сов х. е1п(х+ Ь) е;пх 2е1п (2) сое (х+ 2) < 1пп = 1пп 6-~о а ь о Ь е1п ( — ) = 1пп сое х+ — ) 1пп = сов х. ь-ю 1 2) ь-~о (6) 217 В 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ Мы воспользовались теоремой о пределе произведения, непрерывностью функции соз х, эквивалентностью яп1 1 при 1 -+ О и теоремой о пределе композиции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
