1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Пример 2. Покажем, что соз'х = — вшх. соз(х+ Ь) — созх — 201п (2) яп (х+ г) 1 1пп = 1пп 6->0 Ь 6-~0 Ь яп( — ) 2 = — 1пп зш х + — 1пп = — яп х. ь-~0 1, 2/ 6-~0 (ь) Пример 3. Покажем, чтоесли/(1) = тсовьЛ, то/'(1) = — тюв1пм1. тсовы(1+ Ь) — гсов~А — 2яп( 2 / 01пм 11+ г/ < 1пп = т 1пп ь-~о Ь ь-о Ь Ь '. ( —,) ( Ь) = — т 1пп яви 1+ — 1пп = — ты 01поМ. ь- 0 1, 2/ ь-~0 ( Ь') \г/ Пример 4.
Если /(1) = тяпм1, то /'(1) = тшсовьЛ. 4 Доказательство аналогично разобранным в примерах 1 и 3. ~ Пример 5. Меноееннал скорость и ускорение материальной тночки. Пусть материальная точка движется в плоскости и в фиксированной системе координат закон ее движения описывается дифференцируемыми функциями от времени х = х(1), у = у(1) или, что то же самое, вектором т(1) = (х(1) у(1)). Как мы выяснили в пункте 1 настоящего параграфа, скорость точки в момент 1 есть вектор 0(1) = т(1) = (х(1), у(1)), где х(с), у(1) — производные функций х(1), у(1) по времени 1. ГЛ. Ч.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 218 Ускорение а(1) есть скорость изменения вектора е(1), поэтому 0 = ' И) = "(~) = (й(~) У'(~)), где й(1), у(Ф) — производные по 1 функций х(Ф), у(1), или так называемые вторые производные функций х(2), у(2). Таким образом, по смыслу физической задачи функции х(2), д(1), описывающие движение материальной точки, должны иметь и первые и вторые производные. Рассмотрим, в частности, равномерное движение точки по окружности радиуса г. Пусть ш — угловая скорость точки, т. е. величина центрального угла, на который перемещается точка за единицу времени. В декартовых координатах (в силу определений функций сов з, яп л) это движение запишется в виде г(1) = (гсов(~л+ а), гяп(ю8+ о)), а если г(0) = (г,0), то в виде г(Ф) = (гсоя~л,г81пю1). Без ограничения общности дальнейших выводов и для сокращения записи будем считать, что г(0) = (г,0).
Тогда в силу результатов примеров 3 и 4 е(1) = г(1) = ( — гш81п~л, гш соя ш1). Из подсчета скалярного произведения (е(2), г(Ф)) = — гзшйпш1созю1+ г2шсоеш1вш~Л = О, как и следовало в этом случае ожидать, получаем, что вектор е(1) скорости ортогонэлен радиус-вектору г(1) и направлен по касательной к окружности. Далее, для ускорения имеем а(2) = иф = г(1) = ( — гшз совпис, — гш281пш1), т. е. а(1) = — иР г(2) и ускорение, таким образом, действительно центростремительное, ибо имеет направление, противоположное направлению вектора г(1).
11. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 219 Далее, ! а(1) ! = оо ! г(1) ) = ы г = ~„(1)~г т г где и = ) и(1И. Подсчитаем, исходя из этих формул, например, величину скорости низкого спутника Земли. В этом случае г совпадает с радиусом Земли, т.е. г = 6400км, а (а(1)! = д, где д = 1Ом/сг — ускорение свободного падения у поверхности Земли.
Таким образом, и~ = (а(1)~г = 10м/с х 64 10 м = 64. 10 (м/с)2 и и = 6 . 10з м/с. Пример 6. Оптическое свойство параболического зеркала. Рассмотрим (рис. 16) параболу у = — хг (р > 0) и построим касательную 1 г 2Р к ней В точке (ха, Уа) = (хо, — ха) . Поскольку /(х) = 1 хг, то гр 1 2 1 2 — х — — ха 1 /'(хо) = 11п1 " = — 11п1 (х+хо) = -хо.
х-ооо х — хо 2р *->оо р Значит, искомая касательная имеет уравнение 1, 1 У вЂ” хо = — хо(х — хо) 2р р 1 -ха(х — хо) — (У вЂ” Уо) = О, р (25) гДе Уо = — 'хо. 1 2 2р Вектор и = ( — „-ха,1), как видно из по- 1 следнего уравнения, ортогонален прямой (25).
Покажем, что векторы ео — — (0,1) и еу = — ха, 2 — Уо) обРазУют с и Равные Углы. =(- ~- Вектор е„есть единичный вектор направления оси Оу, а еу — вектор, направленный из точки касания (хо,уо) = (хо, — ха) в точку 1 21 ( О, Ег) — фокус параболы. Итак, о) Рис. 16. (ею и) 1 сове„и = )ео))п( (и) ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 220 1хг+ Р— 1 г (еу,н) Рхо+ 2 2р о сое еуив (еу'О'и! )и) е + — хог гр о Таким образом, показано, что волновой источник, помещенный в точке (О, Е~) — в фокусе параболического зеркала, даст пучок, параллельный оси Оу зеркала, а приходящий параллельно оси Оу пучок зеркало пропустит через фокус (см.
рис. 1б). Пример 7. Этим примером мы покажем, что касательная является всего-навсего лучшим линейным приближением графика функции в окрестности точки касания и вовсе не обязана иметь с ним единственную общую точку, как это было в случае окружности и как это вообще имеет место в случае выпуклых кривых.
(О выпуклых кривых будет специальный разговор.) Пусть функция ~(х) задана в виде х о1п —, если х~О, г 1 ~(х) = О, если х = О. График этой функции изображен жирной линией на рис. 17. 1 с —, если х ~ О, если х = О Рис. 17. О 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 221 Найдем касательную к графику в точке (О, 0).
Поскольку х айп — — О,, 1 2 ° 1 ~'(0) = 1пп * = 1пп х о1п — = О, *-оо х — 0 *-+о х В силу определения дифференцируемости функции у: Е -+ К в точке хо Е Е Е имеем ~(х) — У(хо) = А(хо)(х — хо) + о(х — хо) при х-охо, хЕЕ. Рис. 18. Поскольку правая часть этого равенства стремится к нулю при х — о хо, х Е Е, то 1пп у1х) = у1хо), так что дифференцируемая в точке Еэх — охо функция обязана быть непрерывной в этой точке. Покажем, что обратное, конечно, не всегда имеет место. Пример 8. Пусть у1х) = ~х) 1рис. 18).
Тогда в точке хо = 0 1пп У(х) — У(хо) о-ооо — О х — хо 1пп У(х) — У(хо) )х) — 0 1пп *-о — о х — 0 — х 1пп — = — 1, -о х (х) — 0 1пп х-о-оо х — 0 х 1пп — = 1. -о~-о х *- оо-';о х — хо Следовательно, в этой точке функция не имеет производной, а значит, и не дифференцируема в этой точке. Пример 9. Покажем, что е™ вЂ” е* = е*Ь+ о(Ь) при Ь -о О. Таким образом, функция ехр(х) = е дифференцируема, причем Иехр(х)Ь = ехр(х)Ь, или де~ = е*дх, и тем самым ехр'х = ехрх, или о -~-- — — е~.
,о ох+6 ех ех1ел 1) ех1Ь+ о1Ь)) = ехЬ+ о(Ь) Мы воспользовались полученной в примере 39, гл. 1П, 2 2, п. 4 формулой е" — 1 = Ь + о(Ь) при Ь -+ О. ~ то касательная имеет уравнение у — 0 = 0 1х — 0), или просто у = О. Таким образом, в нашем примере касательная совпадает с осью Ох, с которой график имеет бесконечное количество точек пересечения в любой окрестности точки касания.
ГЛ. 1!. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 222 Пример 10. а* ! ~ — ах = ах 1п аЬ + о(Ь) при Ь вЂ” ! 0 и а > О. Таким образом, аа* = а*1паах и -~~ — — — а 1па. ах+6 ах ах1ая 1) ах(еь!па 1) = ах(Ь1па+о(Ь1па)) = ах1паЬ+ о(Ь) при Ь вЂ” + О. 1и Пример 11. 1п(х+ Ь~ — 1п!х! = 1Ь+ о(Ь) при Ь -+ О и х ф О. Таким образом, а'1п !х~ = — ах и — ~-)-*-) — — —.
м 1п)х+ Ь! — 1п(х) = 1п(1+ ~~!. При (Ь) < (х) имеем )1+ — ~ = 1+ —, поэтому для достаточно малых Ь! Ь значений Ь можно написать 1п(х+ Ь) — 1п)х! = 1п 1+ — ~ = — +о ~ — ~ = — Ь+о(Ь) при Ь -+ О. Мы воспользовались здесь тем, что, как показано в примеРе 38, гл. 111, 2 2, п. 4, 1п(1 + 1) = 1 + о(1) пРи 1 — ! О. 1и Пример 12. 1о8а !х+Ь~ — 1оя, )х! = ! Ь+о(Ь) при Ь-+ О, х ~ О, 0 < а Ф 1. Таким образом, а!1оя !х~ = — ах и 1 4!ОК- !х! 1 а х1па х х1па' Ь / 61 ~ 1о8,)х+Ь~ — 1ок )х! = 1о8а 1+ — = 1о8а ~1+ — ~ = = — 1п 1+ — = — + о — = Ь+ о(Ь).
Мы воспользовались формулой перехода к другому основанию логарифмов и соображениями, изложенными при рассмотрении примера 11. > Задачи и упражнения 1. Покажите, что а) касательная к эллипсу 11. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 223 в точке (хо, уо) имеет уравнение ххо ууо — + — =1; ав Ь2 Ъ) световые лучи от источника, помещенного в одном иэ двух фокусов Е1 — — ( — чlа' — Ьв,О), Гв = (~/а' — Ьв, О) эллипса с полуосями а > Ь > О, собираются эллиптическим зеркалом в другом фокусе.
2. Напишите формулы для приближенного вычисления значений а) в!и ( — + а) при значениях а, близких к нулю; Ь) в1п(30' + а') при значениях а', близких к нулю; с) сов (4 + а) при значениях а, близких к нулю; 4) сов(45О + а') при значениях а', близких к нулю. 3. Стакан с водой вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ы. Пусть у = )(х) — уравнение кривой, получающейся в сечении поверхности жидкости плоскостью, проходящей через ось вращения.
,„2 а) Покажите, что /'(х) = м х, где д — ускорение свободного падения (см. пример 5). Ь) Подберите у(х) так, чтобы функция у(х) удовлетворяла усяовию, укаэанному в а) (см. пример 5). с) Изменится ли приведенное в а) условие на функцию 1(х), если ось вращения не будет совпадать с осью стакана? 4. Тело, которое можно считать материальной точкой, под действием силы тяжести скатывается с гладкой горки, являющейся графиком дифференцируемой функции у = ?(х). а) Найдите горизонтальную и вертикальную компоненты вектора ускорения, которое имеет тело в точке (хо, уо) Ь) В случае, когда у(х) = хв и тело скатывается с большой высоты, найдите ту точку параболы у = хв, в которой горизонтальная составляющая ускорения максимальна.
5. Положим х, если 0 < х < —, то(х) = если 2 ~ <х ~ <1' и продолжим эту функцию на всю числовую прямую с периодом 1. Эту про- долженную функцию обозначим через ро. Пусть, далее, 1 ~р„(х) = — „уо(4"х). ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 224 Функция сс»„имеет период 4 " и производную, равную +1 или — 1 всюду, кроме точек х = +,, и с К. Пусть ь 22Я+! ' 1(х) = ~~с у„(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
