1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Покажите, что функция 1 определена и непрерывна на К, но ни в одной точке не имеет производной. (Этот пример принадлежит известному голландскому математику Б.Л. Ван дер Вардену (1903-1996). Первые примеры непрерывных функций, не имеющих производной, были построены Больцано (1830г.) и Вейерштрассом (1860 г.).) 3 2. Основные правила дифференцирования Построение дифференциала заданной функции или, что равносильно, отыскание ее производной называется операцией дифференцирования функции' ). 1.
Дифференцирование и арифметические операции Теорема 1. Если функции 1': Х вЂ” + К, д: Х вЂ” > К дифференцируемьс в точке х Н Х, то а) их су ма дифференцируема в х, причем У+у)'(х) = У'+д'Н ')' Ь) их произведение дифферснцирусмо в х, причем д)'(, ) = Ях) д(х) + Я ) ° д'(х) с) их отношение дифференцируемо в х, если д(х) ~ О, причем Я' 1'(х)д(х) — 1(х)д'(х) д/ д() — (х) = м В доказательстве мы будем опираться на определение дифференцируемой функции и свойства символа о( ), установленные в гл.
П1, 32, п.4. !!При математической равносильности задачи отыскания дифференциала и задачи отыскания производной, все же производная и дифференциал — не одно и то же, н поэтому, например, во французском математическом языке имеются два термина: «1епчаСюп — «деривапня», нахождение производной (скорости), и «1НегевссаСюп— «дифференцирование», нахождение дифференциала. 1 2.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 225 а) (1 + у)(х + 6) — (1 + д)(х) = (1(х+ 6) + у(х + 6))— — Фх)+д(х)) = Их+ 6) — й '))+ (д(х+6) — д( )) = = (~'(х)6+ о(Ь)) + (д'(х)6+ о(6)) = (('(х) + д'(х))6+ о(6) = = (1'+ д')(х)6+ о(Ь). Ь) (у д)(х+ 6) — (1 д)(х) = у(х+ 6)д(х+ Ь) — у(х)у(х) = = Щх) + 1'(х)6 + о(6))(д(х) + д (х)6 + о(6)) — ~(х)у(х) = = (1'(х)д(х) + 1'(х)д'(х))6 + о(6). с) Поскольку функция, дифференцируемая в некоторой точке х Е Х, непрерывна в этой точке, то, учитывая, что д(х) ~ О, на основании свойств непрерывных функций можем гарантировать, что при достаточно малых значениях Ь также д(х + Ь) ~ О. В следующих выкладках предполагается, что Ь мало: 1 Ь йх + 6)д( ) — 1(х)д(х + 6)) = д(х)д(х + 6) — +о(1) (фх)+~'(х)6+о(6))д(х) — Дх)(д(х)+д'(х)6+о(6))) = г( ) + о(1) ф'(х)д(х) — ) (х)д'(х))6 + о(6)) = = у(.) Г( )У( ) ((~)д (~) Ь г( ) Мы воспользовались тем, что в силу непрерывности функции д в точке х и того, что д(х) ф О, 1 1 1пп ь- о д(х)д(х + 6) дг(х)' т.е 1 1 д( )д( + 6) дг(х) — + о(1), где о(1) есть бесконечно малая при Ь -+ О, х+ Ь Е Х.
1ь ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 226 Следствие 1. Производная от линейной комбинации дифференцируемых функций равна линейной комбинации производных этих функций. ~ Поскольку постоянная функция, очевидно, дифференцируема и ее производная всюду равна нулю, то, считая в утверждении Ь) теоремы 1, что ~ = сопв1 = с, имеем (сд)'(х) = сд'(х). Используя теперь утверждение а) теоремы 1, можем записать (с11+ сзд) (х) = (с~~) (х) + (сзд) (х) = с11 (х) + сзд (х).
С учетом доказанного, по индукции проверяем, что (с111+ +сну ) (х) =с1Цх)+ +сну (х). Следствие 2. Если функции ~ь...,~„дифференцируемы в точкех, то (Л ' ' у ) (х) 11(ху2(х) ' ' '1 (Х) + + 11(х)йх)1з(х) " 1 (х) + " + Л(х) " 1 -1(х)1.'(х). м Для и = 1 утверждение очевидно. Если оно справедливо для некоторого и Н 1ч, то в силу утверждения Ь) теоремы 1 оно справедливо также для (и+ 1) Н 1ч. В силу принципа индукции заключаем о верности приведенной формулы для любого пе1ц. ~ Следствие 3. Из взаимосвязи производной и дифференциала следует, что теорема 1 может быть записана также через дифференциалы.
Именно: а) Ы(~ + д)(х) = сЦ(х) + дд(х); Ь) Щ ° д)(х) = д(х)Ц(х) + ~(х)дд(х) ) а Ю ( ) = ееаы-.=л)ма, -- д( ) ~ 0 м Проверим, например, а). Действительно, 41+у)(х)Ь = У+у)'(х)Ь = У'+д'П )Ь = = (1'(х) + д'(х))Ь = ~'(х)Ь + д'(х)Ь = = (Ц(х)Ь+ дд(х)Ь = Щ(х) + дд(х))Ь, и совпадение функций Й(~ + д) (х), ау (х) + йд(х) проверено. ь 12. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 227 Пример 1. Иноариантность определения скорости. Теперь мы в состоянии проверить, что вектор мгновенной скорости материальной точки, который был определен в и.
1 2 1, не зависит от выбора системы декартовых координат. Мы проверим это даже для любой иэ аффинных систем координат. Пусть (х', х2) и (х1, х2) — координаты одной и той же точки плоскости в двух различных системах координат, связанных между собой соотношениями х =а1х +а2х +Ь, х2 = а2х1 + а х + Ъ2. 1 2 Поскольку любой вектор (в аффинном пространстве) определяется парой точек, а его координаты суть разности координат конца и начала вектора, то координаты одного и того же вектора в этих двух системах должны быть связаны соотношениями и =ага +азо, -1 1 1 1 2 -2 2 1+ 2 2 1 2 (2) 1 1 1 2 х =а1х +азх 2 2.1 х =а1х +азх Таким образом, координаты (о1, о2) = (х', х2) вектора скорости в 1 2 первой системе и координаты (о1, о2) = (х, х ) вектора скорости во второй системе оказались связанными соотношениями (2), говорящими нам о том, что мы имеем дело с двумя различными записями одного и того же вектора.
Пример 2. Пусть ~(х) = 1ях. Покажем, что 1'(х) = 2 всюду, соло х где соя х ~ О, т. е. в области определения функции 1я х = ",~*. Ксли закон движения точки в одной системе задается функциями х1(1), х2(2), то в другой — функциями х1(1), х2(1), связанными с первыми посредством соотношений (1). Дифференцируя соотношения (1) по времени 1, по правилам дифференцирования находим ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 228 В примерах 1 и 2 из 81 было показано, что зш'х = совх, соз'х = = — яп х, поэтому из утверждения с) теоремы 1 получаем при соз х ~ 0: /яп '1 яп'хсозх — япхсов'х ~,сов) сов2 х совхсозх+81пхзшх 1 соз2 х сов2 х. Пример 3. с~Е'х = — з при япх ~ О, т.е. в области определеИп х ния функции с1о х = о'."*.
вшх Действительно, соз ~ ' соз' х вш х — соз х яп' х сФЕ х = —,) (х)— ' =И' 81п яп х — вш х яп х — сов х соз х яп2 х яп2 х Пример 4. Если Р(х) = со+с1х+...+с„х" — полином, то Р'(х) = = с~ + 2сзх +... + пс„х" '. Действительно, поскольку ~- — — 1, то по следствию 2 -"~ — — — пх" ' и теперь утверждение вытекает из следствия 1. 2.
Дифференцирование композиции функций Теорема 2 (теорема о дифференциале композиции функций). Если функция з' Х вЂ” + У С К дифференцируема в точке х Е Х, а функция д: У -+ К дифференцируема в точке у = ~(х) Н У, то композиция д о 1; Х вЂ” + К этих функций дифференцируема в точке х, причем дифференциал а(д о 1)(х): ТК(х) — + ТК(д®х))) композиции равен композиции дд(у) о аз' (х) дифференциалов а1(х): ТЩх) + ТЩу = ~(х)), Йд(у = ~(х)): ТЩу) + ТЩд(у)). м Условия дифференцируемости функций 1 и д имеют вид 1(х+ 6) — 1(х) = 1'(х)6+ о(п) при и — + О, х+ и Н Х, д(у+1) — д(у) = д (у)х+о(г) при 2-+ О, у+2 Н У.
Заметим, что в последнем равенстве функцию о(х) можно считать определенной и при 1 = О, а в представлении о(х) = у(х)х, где у(г) — > -+ 0 при 1 -+ О, у + 1 Н У, можно считать у(0) = О. Полагая 1(х) = у, л 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 229 ((х + 6) = у + 2, в силу дифференцируемости, а значит, и непрерывности функции ( в точке х заключаем, что при Ь -+ О также 2 — ~ О, и если х+ 6 е Х, то у+ ( е У. По теореме о пределе композиции теперь имеем у(Дх+ 6) — ~(х)) = о(6) -+ О при 6 — ~ О, х+ 6 б Х, и, таким образом, если 2 = ((х + 6) — ((х), то о(2) = -~Ц(х+ 6) — ((х))®х+ 6) — у(х)) = = а(6)(~'(х)6 + о(6)) = а(6)~'(х)6 + а(6)о(6) = = о(6) + о(6) = о(6) при 6 -+ О, х + Ь Е Х.
Далее, (д о ))(х+ 6) — (д о ~)(х) = д(((х+ 6)) — д()(х)) = = д(у+ 2) — д(у) = д'(у)2+ о(~) = = д'(((х))(((х+ 6) — Дх)) + о(((х+ 6) — ((х)) = = д'(((х)) (('(х)6 + о(6)) + оЯх + 6) — ((х)) = = д ()(х))(( (х)6) +д ()(х))(о(6)) + о()(х+ 6) — )(х)). Поскольку величину д () (х))(('(х)6) можно интерпретировать как ~яй,л.о~,|~,~,~,ь ял,л я,м дд(у)о~Щи) 41(~) ~ Мл) бражений 6 ~ — + )'(х)6, т г — + «д'(у)т на смещении 6, то для заверщения доказательства теоремы остается заметить, что сумма д'Щх))(о(6)) + о(((х + 6) — ((х)) есть величина бесконечно малая в сравнении с 6 при Ь вЂ” > О, х + Ь е Х, ибо, как мы уже установили, о(((х+ 6) — 2'(х)) = о(6) при Ь вЂ” ~ О, х+ Ь Е Х. Итак, показано, что (д о ).)(х + 6) — (д о ~)(х) = = д'(((х)) ('(х)6 + о(6) при 6 -+ О, х + 6 Е Х.
)ь ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 230 Следствие 4. Производная (д о ()'(х) композиции дифференцируемых веи1естееннозначнььх функций равна произведению д'Щх)) Ч(х) производных этих функций, еычисяеннььх е соответствующих точках. Большим искушением к короткому доказательству последнего утверждения являются содержательные обозначения Лейбница для производной, в которых, если х = х(у), а у = у(х), имеем дх дх ду дх ду дх' что представляется вполне естественным если символ или -Л рас- 1 сматривать не как единый, а как отношение дх к ду или, соответственно, ау к дх. Возникающая в связи с этим идея доказательства состоит в том, чтобы рассмотреть разностное отношение и затем перейти к пределу при сьх -ь О. Трудность, которая тут появляется (и с которой нам тоже отчасти пришлось считаться!), состоит в том, что А у может быть нулем, даже если Ьх ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
