1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 40
Текст из файла (страница 40)
ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Тут следует, естественно, оговорить тот случай, когда е(1о) = О. Чтобы не исключать этот случай из общего рассмотрения, полезно заметить, что11 (е(1о)(1 — йо)) = )е(йо)Й1 — 1о!. Таким образом, если )е(1о)! ~ О, то величина )е(1о)(1 — 1о)! того же порядка, что и )1 — Хо~, и поэтому о(е(1о)(1 — 1о)) = о(1 — 1о). Значит, вместо (4) можно записать соотношение г(1) г(1о) = е(1о)(~ — 1о) + о(1 — 1о), (5) которое не исключает также случая е(то) = О. Таким образом, от самых общих и, быть может, расплывчатых представлений о скорости мы пришли к соотношению (5), которому скорость должна удовлетворять. Но из (5) величина е(1о) находится однозначно: е(1о) = 1пп г(с) — г(то) (6) ь->~о 1 — го поэтому как само фундаментальное соотношение (5), так и равносильное ему соотношение (6) можно теперь принять за определения величины е(1о) — мгновенной скорости тела в момент 1о.
Мы не станем сейчас отвлекаться на подробное обсуждение вопроса о пределе векторнозначной функции и ограничимся сведением его к уже рассмотренному во всех подробностях случаю предела вещественнозначной функции. Поскольку вектор г(1) — г(ьо) имеет координаты ((о- оо, о)- ( о,--"е,:-рм=(-*Ф:-1ее "ФЧео) ° чит, если считать, что векторы близки, если их координаты близки, то предел в (6) следует понимать так: г(г) — г(то) / . х(1) х(1о) . у(ь) у(то) е(ьо) = 11п1 = ~1пп, 1пп ь 1 — 1о 1с е 1 — 1о Ч м а о(Х вЂ” 1о) в (5) надо понимать как вектор, зависящий от 1 и такой, что вектор ~~--Го). стремится (покоординатно) к нулю при 1 — > 1о. Наконец, заметим, что если е(1о) ф О, то уравнение (7) е — г(то) = е(то) (т — то) задает прямую, которая в силу указанных выше обстоятельств должна быть признана касательной к траектории в точке (е(1о), у(то)).
и Здесь |Ф вЂ” $о~ — модуль числа 1 — 8о, а )в ~ — модуль, или длина вектора е. г 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 207 Итак, эталоном для определения скорости движения служит скорость равномерного прямолинейного движения, задаваемого линейным соотношением (7). Эталонное движение (7) подгоняется к исследуемому так, как этого требует соотношение (5). То значение о(гв), при котором (5) выполнено, может быть найдено предельным переходом (6) и на ывается скоростью движения в момент 10. Рассматриваемые в классической механике движения, описываемые законом (1), должны допускать сравнение с таким эталоном, т. е.
должны допускать линейную аппроксимацию, указанную в (5). Если г(г) = (х(г), у(г)) — радиус-вектор движущейся точки т в момент 2, г(ь) = (х(ь),у(ь)) = о(ь) — вектор скорости изменения г(ь) в момент 2, а г(с) = (х(г), у(г)) = а1г) — вектор скорости изменения и(г), или ускорение в момент 2, то уравнение (1) можно записать в виде т й($) = яг(г), откуда для нашего движения в поле тяжести получаем в координатном виде И) ~ .2~1) + у2~2))зд ' И2) ~ .2 ~1) + угроз!г Это точная математическая запись нашей исходной задачи. Поскольку мы знаем, как по гЯ искать г(г) и далее г(г), то уже сейчас мы в состоянии ответить на вопрос, может ли какая-то пара функций (х(г), у(г)) задавать движение тела т вокруг М.
Для этого надо найти х(ь), у(г) и проверить, выполнены ли соотношения (8). Система (8) является примером системы так называемых дифференциальных уравнений. Пока что мы можем только проверять, является ли некоторый набор функций решением системы. Как искать решение или, лучше сказать, как исследовать свойства решений дифференциальных уравнений, изучается в специальном и, как уже сейчас можно понять, весьма ответственном отделе анализа †теор дифференциальных уравнений. Операция отыскания скорости изменения векторной величины, как было показано, сводится к отысканию скорости изменения нескольких числовых функций — координат вектора.
Таким образом, эту операцию следует прежде всего научиться свободно выполнять в простейшем случае вещественнозначных функций вещественного аргумента, чем мы теперь и займемся. ГЛ. Ь'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 208 2. Функция, дифференцируемая в точке. Начнем с двух предварительных определений, которые мы чуть ниже несколько уточним. Определение Оы Функция 1: Е -+ 2, определенная на множестве Е С К, называется дифферениируемой в точке а Н Е, предельной для множества Е, если существует такая линейная относительно приращения х — а аргумента функция А - (х — а), что приращение 1(х) — 1(а) функции ( представляется в виде 1(х) — 1(а) = А (х — а)+ о(х — а) при х — > а, х Н Е.
(9) Замечание. Как правило, дело приходится иметь с функциями, определенными в целой окрестности рассматриваемой точки, а не только на каком-то подмножестве этой окрестности. Определение 02. Линейная функция А (х — а) из (9) называется ди44еренниалом функции У в точке а. Дифференциал функции в точке определен однозначно, ибо из (9) следует у(х) — 1(а), ( о(х — а) ) еэх — ~а х — а еэх-+а 1 х — а ( и в силу единственности предела число А определено однозначно. Определение 1. Величина Г(.~ = 0 ВО -Лв Еэи — >а (10) называется производной функции 1 в точке а.
Соотношение (10) можно переписать в эквивалентной форме 1'(х) — 1'(а) х — а где о(х) -+ 0 при х -+ а, х Е Е, что в свою очередь равносильно соот- ношению у(х) — ((а) = 1'(а)(х — а) + о(х — а) при х — > а, х Е Е. (11) Иными словами, функция дифференцируема в точке а, если изменение ее значений в окрестности исследуемой точки линейно с точностью до поправки, бесконечно малой по сравнению с величиной х — а смещения от точки а. 1 Е ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 209 Таким образом, дифференцируемость функции равносильна наличию у нее производной в соответствующей точке.
Если сопоставить эти определения с тем, что было сказано в пункте 1, то можно заключить, что производная характеризует скорость изменения функции в рассматриваемой точке, а дифференциал доставляет наилучшую линейную аппроксимацию приращения функции в окрестности рассматриваемой точки.
Если функция у: Е -+ И дифференцируема в различных точках множества Е, то при переходе от одной точки к другой как величина А, так и функция о(х — а) в (9) могут меняться (к чему мы уже явно пришли в (11)). Указанное обстоятельство следует отметить уже в самом определении дифференцируемой функции, и мы приведем теперь это основное определение в его полной записи. Определение 2. Функция у: Е -+ К, заданная на множестве Е С С Я, называется дифферепцируемой в точке х Е Е, предельной для множества Е, если (12) где Ь + А(х)Ь вЂ” линейная относительно Ь функция, а а(х; Ь) = о(Ь) приЬ вЂ” ~О,х+ЬЕЕ.
Величины 2 х(Ь):= (х+ Ь) - х = Ь и Ь1(х; Ь):= 1(х+ Ь) — 1(х) называют соответственно приращением араумепта и приращением Функции (соответствующим этому приращению аргумента). Их часто (правда, не вполне законно) обозначают символами Ьх и Ь1'1х) самих функций от Ь.
Итак, функция дифференцируема в точке, если ее приращение в этой точке как функция приращения аргумента Ь является линейной с точностью до поправки, бесконечно малой при Ь -~ 0 в сравнении с приращением аргумента. Определение 3. Линейная по Ь функция Ь + А(х)Ь из определения 2 называется дифференциалом функции 1: Š— > К в точке х Е Е и обозначается символом о1(х) или В ~(х).
ГЛ. У, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 210 Таким образом, сЧ(х)(6) = А(х)6. Из определений 2, 3 имеем ску(х; 6) — ау(х)(6) = о(х; 6), А(х) = у'(х) = 1пп ь — ~0 Ь з-~-ь, хее поэтому дифференциал можно записать в виде сЧ(х)(6) = 1'(х)6. (13) В частности, если у(х) ив ах,то, очевидно, у'(х) = 1 и с(х(6) = 1 Ь = Ь, поэтому иногда говорят, что «дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением».
Учитывая это равенство, из (13) получаем ~Ч(х)(6) = У'(х)1х(6), (14) т.е ф'(х) = 1'(х)~Ь. Равенство (15) надо понимать как равенство функций от Ь. Из (14) получаем (15) = у'(х) (16) дх(6) т. е. функция — 3~-* — (отношение функций ду(х) и сЬ) постоянна и равна Г'(х). По этой причине, следуя Лейбницу, производную часто обозначают символом 3 наряду с предложенным впоследствии Лагранах жемН символом у'(х). ОЖ.
Л. Лагранж (1736 — 1818) — знаменитый французский математик и механик. причем се(х; 6) = о(6) при Ь -+ О, х+ Ь Е Е, т. е, разность между приращением функции, вызванным приращением Ь ее аргумента, и значением при том же Ь линейной по Ь функции с(1'(х) оказывается бесконечно малой выше чем первого порядка по Ь. По этой причине говорят, что дифференциал есть (главная) линейная часть приращения функции.
Как следует из соотношения (12) и определения 1, 1 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 211 В механике, кроме указанных символов, для обозначения производной от функции у(1) по времени $ используется символ ~р(1) (читается ооо с точкой от Ь). 3. Касательная1 геометрический смысл производной и дифференциала. Пусть 1: Е -+ И вЂ” функция, определенная на множестве Е с К, и хо — фиксированная предельная точка множества Е. Мы хотим подобрать постоянную со так, чтобы она лучше всех остальных констант характеризовала поведение функции в окрестности точки хо.
Точнее, мы хотим, чтобы разность 1(х) — со при х -+ хо, х Е Е была бесконечно малой в сравнении уже с любой не нулевой постоянной, т. е. ,)1х) = со+о(1) при х — > хо, х Е Е. (17) Последнее соотношение равносильно тому, что 1пп 1 1х) = со. Езх-охо Если, в частности, функция непрерывна в точке хо, то 1пп 1(х) = =,11хо) и, естественно, со = 11хо). ПопРобУем тепеРь поДобРать фУнкцию со + с1(х — хо) так, чтобы иметь ,1'1х) = со+ с1(х — хо) + о(х — хо) при х — о хо, х Е Е.
(18) Очевидно, зто — обобщение предыдущей задачи, поскольку форму- лу (17) можно переписать в виде ~(х) = со+ оЦх — хо) ) при х — > хо х Е Е. Из (18) пРи х — > хо, х б Е немедленно следУет, что со = 1пп 7" 1х), Езхохо и если фУнкциЯ непРеРывна в точке, то со = 7" 1хо). Если со найдено, то из (18) следует, что йх) — со с1 = 1пп и ххохо Х вЂ” ХО И вообще, если бы мы искали такой полипом Р„(хо,х) = со+ +с1(х — хо) +... + с„(х — хо)", что У(х) = со + с1(х — хо) + + с (х — хо)" + о((х — хо)") при х-охо, хЕЕ, (19) ГЛ. Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
