1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Этими понятиями мы будем систематически пользоваться уже на первом этапе изучения анализа. Определение 18. Условимся говорить, что некоторое свойство функций или соотношение между функциями выполнено финальнв при данной базе В, если найдется элемент В Е В базы, на котором оно имеет место. Именно в этом смысле мы до сих пор понимали финальное постоянство или финальную ограниченность функции при данной базе. В этом же смысле мы дальше будем говорить, например, о том, что финально выполнено соотношение 1(х) = д(х)Ь(х) между некоторыми функциями 1", д, 6.
Эти функции могут даже иметь разные исходные области определения, но если мы интересуемся их асимптотическим поведением при базе В, то нам важно только, чтобы все они были определены на некотором элементе базы В. Определение 19. Говорят, что функция 1 есть бесконечно малая пв сравнению с функцией д при базе В и пишут 1' = о(д) или (' = н = о(д) при В, если финвльно при базе В выполнено соотношение у(х) = = а(х) д(х), где а — функция, бесконечно малая при базе В. Пример 24. х2 = о(х) при х -+ О, так как х2 = х. х. Пример 25. х = о(х2) при х -+ оо, так как финально, когда уже хФО, х= — х2. 162 ГЛ. П1, ПРЕДЕЛ Из этих примеров надо сделать вывод, что указание базы, при которой 1 = о1д), совершенно необходимо.
Обозначение 1 = о(д) читается «1 есть о малое от д». Из определения следует, в частности, что получающаяся при д1х) = = 1 запись 1 = о11) означает просто, что 1 есть бесконечно малая при 6 базе В. Определение 20. Если у = о1д) и функция д сама есть бесконечн но малая при базе В, то говорят, что 1 есть бесконечно малая более вь»сокозо по сравнению с д порядка при базе В. Пример 26. х = — при х — «оо есть бесконечно малая более -г 1 хг высокого порядка по сравнению с бесконечно малой х -1 1 Определение 21. Функцию, стремящуюся к бесконечности при данной базе. называют бесконечно большой функцией или просто бесконечно большой при данной базе.
Определение 22. Если у и д — бесконечно большие при базе В и 1 = о(д), то говорят, что д есть бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с 1. Пример 2Т. — -+ оо при х + О, —., -+ оо при х -+ 0 и — = о ~ — г) 1 1 1 /11 при х — » О, поэтому — есть бесконечно большая более высокого порядка 1 по сравнению с — при х — » О. 1 Вместе с тем при х -+ оо функция хг есть бесконечно большая более высокого порядка, чем х. Не следует думать, что, выбрав степени х" для описания асимптотического поведения функций, мы сможем каждую бесконечно малую или бесконечно большую характеризовать некоторым числом и — ее степенью.
Пример 28. Покажем, что при а > 1 и любом и Е Ж х" 1пп — = О, х»-Ьоь ах т. е. х" = о1а*) при х -+ +со. < Если и < О, то утверждение очевидно. Если же и е 1ч, то, полагая д = »»/аа, имеем д > 1 и — * = 1 — *~), поэтому 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ х 1пп — = 1пп — 1 = 1пп — ... 1пп — = О. х — ~-~-оо ах х->-1-оо ~, дх / х->-~-оо ах х — >-~-оо ф а озз Мы воспользовались, по индукции, теоремой о пределе произведения и результатом примера 22. ~ Таким образом, при любом и Е У, получаем х" = о(ах) при х -+ +ос, если а > 1.
Пример 29. Развивая предыдущий пример, покажем, что при а > > 1 и любом о Е К а 1пп — = О, х-Н- ах т. е. х = о(а ) при х — ~ +со. М Действительно, возьмем число п Е Г1 такое, что п > со Тогда при х > 1 получим о .а 0 < — ( —. ах ах Опираясь на свойства предела и результат предыдущего примера, по- а лучаем, что 1пп — = О. ~ь х-~-1-оо а* Пример 30. Покажем, что при а > 1 и любом о Е К а 1~х 1пп =О, и+эх-~о хо т.
е. а ~~* = о(х ) при х + О, х Е 2.1.. < Полагая в этом случае х = — 1/1, по теореме о пределе сложной функции, используя результат предыдущего примера, находим а — 1/х 11щ 1пп — = О. и~э о х 1 ~<- а1 Пример 31. Покажем, что при о > 0 1ОКа х х'„., хо т.е. при любом положительном показателе степени о имеем 1оя,х = о(хо) при х — + +оо. ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 164 м Если а > 1, то положим х = асс . Тогда по свойствам показательной функции и логарифма, опираясь на теорему о пределе композиции функций и результат примера 29, находим 1оя, х, (С/а) 1 1пп ' = 1пп — 1пп — = О.
х ~4. Ха С С. аС аС Н4. аС Если О < а < 1, то 1/а > 1 и после замены х = а сс получаем 1оя, х, ( — 1/а) 1 1пп ' = 1пп, = — — 1пп, = О. — х" с — н- а с а с-~-~- (1/а)с Пример 32. Покажем еще, что при любом а > О х 1оя х=о(1) при х — +О, х62 ~ Нам нужно показать, что 1пп х 1оя х = О при а > О. Полагая н,.эх — «о х = 1/С, применяя теорему о пределе композиции функций и результат предыдущего примера, находим 1оя, (1/с), 1оя, с 1пп х 1оя,х= 1пп '' ' ' = — 1пп ' =О.
И В ~О ~ С ~+,,о Са С ~.~, 1а Определение 23. Условимся, что запись / = 01д) или / = 01д) Б при базе В (читается «/ есть 0 большое от д при базе Вх) будет означать, что финально при базе В выполнено соотношение /1х) = с91х)д(х), где 13(х) — финально ограниченная при базе В функция. В частности, запись / = 011) означает, что функция / финально ограничена при базе В.
Пример 33. ~- + я1пх) х = 0(х) при х -+ оо. /1 Определение 24. Говорят, что функции / и д одного порядка при базе В и пишут / и д при базе В, если одновременно / = 0(д) и и д = О(/). Пример 34. Функции 12+ в1пх)х и х одного порядка при х + со, но (1+ яшх)х и х не являются функциями одного порядка при х -+ со. 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 165 Условие, что функции у и д одного порядка при базе В, очевидно, равносильно тому, что найдутся числа с1 > О, с2 > О и элемент В базы В такие, что на В имеют место соотношения с1~д(х)! < )У(х)! < с2)д(х)! или, что то же самое, — /У(х)/ < /д(х)! < — /Х(х)/.
1 1 С2 с1 Определение 25. Если между функциями у и д финально при базе В выполнено соотношение ~(х) = 7(х)д(х), где 1пп 7(х) = 1, то говорят, что ири базе В функция 1' асимитотически ведет себя как функция д или, короче, что (' эквивалентна д ири базе В. Будем в этом случае писать (' д или у д при базе В. Б Употребление термина вэквивалентнав оправдано тем, что Действительно, соотношение у ( очевидно, в этом случае 7(х) = Б : — 1. Далее, если 1пп у(х) = 1, то 1пп 1 = 1 и д(х) = — 1- у(х).
здесь Б Б 71~! ~~х> надо только объяснить, почему можно считать, что у(х) ф О. Если соотношение 1(х) = 7(х)д(х) имеет место на элементе В1 Е В, а соотношение — < ~7(х)~ < — — на элементе В2 Е В, то мы можем взять 1 3 элемент В С В1 П В2, на котором будет выполнено и то и другое.
Всюду вне В, если угодно, можно вообще считать, что 7(х) ь— з 1. Таким образом, действительно (у д) ~ (д ~). Наконец, если 1(х) = 71(х)д(х) на В, Е В и д(х) = 72(х)Ь(х) на В2 Е В, то на элементе В Е В базы В таком, что В С В1 П В2, оба эти соотношения выполнены одновременно, поэтому з (х) = 71(х)72(х)6(х) на В.
Но 1пп 71(х)72(х) = 1пп 71(х) 1пп72(х) = 1 и тем самым проверено, Б Б Б что у Ь. Б 166 ГЛ. 1П. ПРЕДЕЛ Полезно заметить, что поскольку соотношение 1пп у(х) = 1 равнон сильно тому, что у(х) = 1+ а(х), где 1ппа(х) = О, то соотношение д равносильно тому, что )(х) = д(х)+а(х)д(х) = д(х)+о(д(х)) при 0 базе В. Мы видим, что относительная погрешность ~а(х)~ а(х) приближения функции с помощью функции д(х), эквивалентной 1(х) при базе В, есть величина бесконечно малая при базе В. Рассмотрим некоторые примеры. Пример 35. хг+х = (1+ ц х2 хг при х-+ оо. г Абсолютная величина разности этих функций !(х +х) — х ) = )х! стремится к бесконечности, однако относительная погрешность — = 1х! = — замены функции х + х на эквивалентную величину х стремится 1 2 2 (х) к нулю при х — + оо.
Пример 36. В начале этого пункта мы говорили о знаменитом асимптотическом законе распределения простых чисел. Теперь мы в состоянии записать его точную формулировку: х 1х~ я(х) = — + о ( — ) при х -+ оо. 1пх 1пх Пример 37. Поскольку 1пп '— '"х = 1, то Ошх х при х -+ О, что х — Ю можно написать также в виде равенства О1пх = х + о(х) при х -+ О. Пример 38. Покажем, что 1п(1+ х) - х при х — 1 О. < 1пп 1п(1 + х) = 1пп 1п(1+ х) ~* = 1п (11ш(1+х) ~*) = 1пе = 1. х->О х — >О х — >О Мы воспользовались в первом равенстве тем, что 1об,(Ь ) = а1о3, Ь, а во втором тем, что 1пп 1о3, 1 = 1о3, Ь = 1о3, 1пп 1~(.
~ 1-~Ь '~1-Ь 1 Итак, 1п(1 + х) = х + о(х) при х -+ О. Пример 39. Покажем, что е ' = 1 + х + о(х) при х -+ О. ех — 1 1пп = 1пп = 1. х-ю х 1 — ~О 1п(1+ 1) 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 167 Пример 40. Покажем, что (1+ х) = 1+ ссх+ о(х) при х + О. (1+ х)" — 1, во 1"(1~~х) — 1 сс 1п(1 + х) 4 1пп = 1пп о х х-~о сх1п(1 + х) х е' — 1 , 1п(1 + х) = сс 1пп ° 1пп = о. о 1 х-ю х В этой выкладке мы, предполагая сх ~ О, сделали замену а 1п (1+х) = = 1 и воспользовались результатами двух предыдущих примеров.
Если же сх = О, то утверждение очевидно. ь Таким образом, (1+ х) — 1 - схх при х -+ О. При вычислении пределов иногда бывает полезно следующее простое Утверждение 3. Если (' 7", та 1пп)'(х)д(х) = 1пп 7'(х)д(х), если 6 6 6 один иэ этих пределов существует. ~ Действительно, коль скоро у(х) = у(х)Д(х) и 1пп у(х) = 1, то 1пп 1'(х)д(х) = 1ппу(х)у (х)д(х) = 1пп у(х) 1пп7"(х)д(х) = 1пп 7"(х)д(х). ~ 6 6 6 6 6 Пример 41. 1псозх 1 1псозгх 1 1п(1 — зшгх) 1пп . = — 1пп = — 1пп х-~о зшхг 2 х-~о хг 2 х-+о хг 1, — япх 2 = — 1пп 2 х-~о хг .г — — 1пп — = — —. 2х-юхг 2 Мы воспользовались тем, что 1п(1+ сх) - сс при а -+ О, япх х при х-+О, —,.я~ Р при13 — 10ияп х х прях-+О. 1 1 2 2 Мы доказали, что в одночленах при вычислении пределов можно заменять функции на им эквивалентные при данной базе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
