1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Отметим также, что используемый здесь термин «база» есть краткое обозначение того, что в математике называется «базисом фильтра>, а введенный ниже предел по базе есть наиболее существенная для анализа часть созданного современным французским математиком А. Картавом понятия предела по фильтру>). Ь. Предел функции по базе Определение 12.
Пусть у: Х -+ К вЂ” функция на множестве Х;  — база в Х. Число А Е лх называется пределом функции ): Х -+ )к по базе В, если для любой окрестности»'(А) точки А найдется элемент В Е В базы, образ которого у(В) содержится в окрестности $'(А). Если А — предел функции у": Х вЂ” «)Е по базе В, то пишут 1ппу'(х) = А. о Повторим определение предела по базе в логической символике: Поскольку мы сейчас рассматриваем функции с числовыми значениями, полезно иметь в виду и следующую форму этого основного определения: ПНапример, совокупность открытых (без граничной окружности) кругов, содержащих данную точку плоскости, является базой.
Пересечение двух элементов базы не всегда круг, но всегда содержит круг из нашей совокупности. ППодробнее об этом смз Бурбаки Н. Общая топология. Мс ИЛ, 1958. 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ (1пп1(х) = А) зх Че > О ЗВ е В Чх е В Я(х) — А! < е). В этой формулировке вместо произвольной окрестности 1Г(А) бе- рется симметричная (относительно точки А) окрестность (е-окрест- ность). Эквивалентность этих определений для вещественнозначных функций вытекает из того, что, как уже говорилось, в любой окрест- ности точки содержится некоторая симметричная окрестность этой же точки (проведите доказательство полностью!). Мы дали общее определение предела функции по базе.
Выше были рассмотрены примеры наиболее употребительных в анализе баз. В кон- кретной задаче, где появляется та или иная из этих баз, необходимо уметь расшифровать общее определение и записать его для конкрет- ной базы. Так, ( 1пп ~(х) = А):= 1й > О Зб > О Чх Е )а — Б,а( Я(х) — А~ < е), х — >а — 0 ( 1пп Дх) = А):= 'й > О ЗБ Е К Чх < б Я(х) — А! < е). Рассматривая примеры баз, мы, в частности, ввели понятие окрест- ности бесконечности. Если использовать это понятие, то в соответ- ствии с общим определением предела разумно принять следующие со- глашения: (1пп('(х) = со) зх Их(со) ЗВ е В (1'(В) с 1х(со)) или, что то же самое, (1ппу(х) = со):= Ое > О ЗВ Е В Чх Е В (е < !у(х)!), (1пп !'(х) = +со):= И Е В ЗВ Е В Чх Е В (е < !'(х)), 0 (1пп1(х) = — сс):= 11е Е 1с ЗВ Е В Чх Е В (1(х) < е).
н Обычно под е подразумевают малую величину. В приведенных опре- делениях это, разумеется, не так. В соответствии с принятыми согла- шениями, например, можем записать ( 1пп ~(х)= — сс):=ЧееК Збей Чх>б Щх)<е). Советуем читателю самостоятельно написать полное определение предела для различных баэ в случае конечных (числовых) и бесконеч- ных пределов.
ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 152 Для того чтобы можно было считать доказанными и в общем случае предела по произвольной базе все те теоремы о пределах, которые мы доказали в пункте 2 для специальной базы Е Э х -+ а, необходимо дать соответствующие определения: финально постоянной, финально ограниченной и бесконечно малой при данной базе функций. Определение 13. Функция ~: Х -+ К называется финально постоянной при базе В, если существуют число А Е К и такой элемент В б В базы, в любой точке х Е В которого 11х) = А. Определение 14. Функция у: Х -+ К называется ограниченной нри базе Н или финально озраниченной нри базе В, если существуют число с е К и такой элемент В Е В базы, в любой точке х Е В которого ~Д(х)~ ( с. Определение 15.
Функция 1: Х вЂ” + К называется бесконечно малой при базе В, если 1пп у (х) = О. н После этих определений и основного наблюдения о том, что для доказательства теорем о пределах нужны только свойства В1) и В2) базы, можно считать, что все свойства предела, установленные в пункте 2, справедливы для пределов по любой базе. В частности, мы можем теперь говорить о пределе функции при х -+ оо, или при х -+ — оо, или при х -+ +ос.
Кроме того, мы обеспечили себе возможность применения теории пределов и в том случае, когда функции будут определены не на числовых множествах; в дальнейшем это окажется особенно ценным. К примеру, длина кривой есть числовая функция, определенная на некотором классе кривых. Если мы знаем эту функцию на ломаных, то потом предельным переходом определяем ее для более сложных кривых, например для окружности. В данный же момент основная польза от сделанного наблюдения и введенного в связи с ним понятия базы состоит в том, что они избавляют нас от проверок и формальных доказательств теорем о пределах для каждого конкретного вида предельных переходов или, в нашей нынешней терминологии, для каждого конкретного вида баз. Для того чтобы окончательно освоиться с понятием предела по произвольной базе, доказательства дальнейших свойств предела функции мы проведем в общем виде.
12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 4. Вопросы существования предела функции а. Критерий Коши. Прежде чем формулировать критерий Коши, дадим следующее полезное Определение 16. Колебанием функции у: Х -+ К на множестве Е С Х называется величина ьгВ Е):= зир ~У(х1) — у(х2)] яьхгЕЕ т.е. верхняя грань модуля разности значений функции на всевозмож- ных парах точек х1, х2 Е Е. Примеры. 11. ьг(хэ; [ — 1,2]) = 1.
12. аг(х; [ — 1, 2]) = 3. 13. ш(х;] — 1,2[) = 3. 14. аг(збпх; [ — 1,2]) = 2. 15. ьг(зяпх; [0,2]) = 1. 16. ьг(збпх;]0,2]) = О. Теорема 4 (критерий Коши существования предела функции). Пусть Х вЂ” множество и  — база е Х. Функция 1: Х -+ К имеет предел по базе В е том и только е том случае, когда для любого числа е > 0 набдется элемент В Е В базы, на котором колебание функции меньше е. Итак, Л 1пп Дх) л~ 'че > 0 ЛВ е В (о~(~; В) < е).
~ Необходимость. Если 11шу(х) = А, то для любого е > 0 пайн дется элемент В базы В, в любой точке х которого [~(х) — А~ < е/3. Но тогда для любых х1, х2 из В 2 ]з (х1) — 1 (хг)] < ~У(х1) — А~ + ~Дхз) — А~ < — е 3 и, значит, ьг(у; В) < е. Достаточность. Докажем теперь основную часть критерия, утверждающую, что если для любого е > 0 найдется элемент В базы В, на котором аг(~; В) < е, то функция 1 имеет предел по базе В. 154 ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ Придавая с последовательно значения 1, —,..., — „,..., получим после- 1 1 довательность Вы Вз,..., В„,...
элементов базы таких, что ю(/; В„) < < 1/и, и Е И. Поскольку В„~ О, в каждом В„можно взять по точке х„. Последовательность /(х~), /(хз),..., /(х„),... фундаментальная. Действительно, В„П В,„ф Я, и, взяв вспомогательную точку х Е В„Г1 В~, получим, что ~/(х„) — /(хп,)~ < (/(х„) — /(х)~+(/(х) — /(хп,)) < 1/п+1/т. По доказанному для последовательностей критерию Коши, последовательность (/(х„), п Е И) имеет некоторый предел А. Из установленного выше неравенства при т -+ оо следует, что ~/(х„) — А~ < 1/и, а отсюда, учитывая, что ю(/;В„) < 1/и, заключаем теперь, что если п > И = [2/е] + 1, то в любой точке х Е В„будет )/(х) — А! < е.
~ Замечание. Проведенное доказательство, как мы увидим позже, остается в силе для функций со значениями в любом так называемом полном пространстве У. Если же У = К, а этот случай нас сейчас в первую очередь и интересует, то при желании можно пользоваться той же идеей, что и в доказательстве достаточности критерия Коши для последовательностей. ~ Полагая тВ = 1п1 /(х), МВ = лир /(х) и замечая, что для любых хЕВ хЕВ элементов Вы Вз базы В выполнено тв, < тн,оВ, < МВ,с~В, < МВ; по аксиоме полноты найдем число А Е 2, разделяющее числовые множества (тВ) и 1МВ), где В Е В. Поскольку м(/; В) = М — тВ, то теперь можно заключить, что как только ю(/; В) < е, так ~/(х) — А~ < е в любой точке х Е В.
~ Пример 17. Покажем, что в случае, когда Х = И и В есть база и -+ оо, п Е И, доказанный общий критерий Коши существования предела функции совпадает с рассмотренным ранее критерием Коши существования предела последовательности. Действительно, элементом базы и — ~ оз,п Е И является множество В = И й У(оо) = (и Е И ~ и > д1) тех натуральных чисел и Е И, которые больше некоторого числа И Е К. Без ограничения общности можно считать,что И Е И. Соотношение ь~(/; В) < е в нашем случае означает, что Чпм пз > И имеем ~/(п~) — /(пз)~ < е.
Таким образом, условие, что для любого е > 0 найдется элемент В Е В базы, на котором колебание м(/; В) функции / меньше е, для функции /: И вЂ” ~ К равносильно условию фундаментальности последовательности (/(и)). 155 52. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Ъ. Предел композиции функций Теорема б (о пределе композиции функций). Пусть У вЂ” множество; Ву — база в У; д: У вЂ” + И вЂ” отображение, имеющее предел ио базе Ву. Пусть Х -- множество, Вх — база в Х и 7": Х -+ У вЂ” такое отображение Х в У, что для любоео элемента Ву Е Ву базы Ву найдется элемент Вх Е Вх базы Вх, образ котороео ЯВх) содержится в Ву.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
