1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 21
Текст из файла (страница 21)
По определению предела найдем числа Х1 и Ж2 1 2 так, что Чп > Х1 (х„Е $'(А1)) и Уп > Х2 (х„Е $'(А2)). Тогда при п > шах(Ж1,%2) получим х„Е $'(А1) П Г(А2). Но это невозможно, поскольку Г(А1) П 1'(А2) = Е1. с1) Пусть 1пп хо = А. Полагая в определении предела с = 1, найдем номер Х такой, что чп > г1 (~х„— А~ < 1). Значит, при п > Х имеем (х„! < (А~ +1. Если теперь взять М > шахЦх1),..., )х„~,)А) + Ц, то получим, что яп > Х (~х„~ < М). ~ь Ь. Предельный переход и арифметические операции Определение 6. Если 1х„), (у„) — две числовые последовательности, то их суммой, произведением и частным (в соответствии с общим определением суммы, произведения и частного функций) называются соответственно последовательности Частное, разумеется, определено лишь при у„~ О, и е Ы Теорема 2.
Пусть (х„), (у„) — числовые последовательности. Если 1пп х„= А, 1пп у„= В, то а) 1пп (х„+ у„) = А + В; в — ~оэ Ь) 1пп х„у„= А В; с) 1пп ф = ~, если у„~ О (и = 1,2,... ) и В ф О. < В качестве упражнения воспользуемся уже известными нам (см. гл. П, 9 2, п.4) оценками абсолютных погрешностей, возникающих при арифметических операциях с приближенными значениями величин.
ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 96 Положим ~А — х„! = Ь(х„), ~ — у„! = 1л1у„). Тогда для случая а) имеем ~(А+ В) — 1х„+ у„)~ < 111х„) + 11(у„). )(А+ В) — (х„+у„)~ < е, что в соответствии с определением предела доказывает утверждение а). Ь) Мы знаем, что )(А В) — (х„у„)) < )х„~11(у„) + )у„)11(х„) + 11(х„) Ь(у„). По заданному е > О найдем числа Х' и А1л такие, что Чп > Х' Ь(х„) < ппп 1, Чп > Хл Ь(у„) < ппп 1, Тогда при п > Х = тах1Х', Х"~ будем иметь )х„! < )А) + 11(х„) < )А)+ 1, ~у„~ < ~В)+ ЬЬ„) < ~В~+1, Ь(х„) Ь(у„) < пип(1, — ~ ппп(1, — ) < —.
Таким образом, при п > Х Я 3 /х„!1л1у„) < цА/ + 1) . !Р"~Ь( ") < (~В~+1) 3(!В!+1) 3' е 3 поэтому ~А — х„у„~ < е при п > Х. Пусть задано число е > О. Поскольку 1пп х„= А, найдется номер Х' такой, что Уп > М' (Ь(х„) < е/2). Аналогично, поскольку 1пп у„= В, найдется номер Х" такой, что Уп > Х" (Ь(у„) < е/2).
и — ~со Тогда при п > тах1А1', А1"1 будем иметь 97 1 Ь ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ с) Воспользуемся оценкой А х„~л„)Ь(у„) + )у„(Ь(л„) 1 В Уй 1 — б(у„)' где б(у„) = -~~У~). При заданном е > О найдем числа Х' и Хл так, что Ч~>ЛР Ь(~„)<~ш 1, уп > Хл ьъ(у„) < ппп Тогда при п > гпах1Х', Хл) будем иметь )т„! < (А(+ Ь(х„) < )А)+ 1, ~у„~ > |в~ — л<у„) > ~в~ — — > —, !В~ ~В~ 1 2 — < —, ~у„~ ~В) ' Л<у„) ~ВУ4 !у„! /В//2 2' 1 1 — б(у„) > — , позтому ! -! —,~11У-) < ИА!+1).—, 1 2 е)В) е — 2(х„) <— у„)В) 8 4' 1 О < 1 — б(„„) < 2 и, следовательно, А л„ вЂ” — — <е при и>М.
В у„ ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ Замечание. Формулировка теоремы допускает и другой, менее конструктивный путь доказательства, вероятно, известный читателю по школьному курсу начал анализа. Мы напомним его, когда будем говорить о пределе произвольных функций. Но здесь, рассматривая предел последовательности, нам хотелось обратить внимание на то, как именно по ограничениям на погрешность результата арифметической операции ищутся допустимые погрешности значений величин, над которыми зта операция производится. с. Предельный переход н неравенства Теорема 3.
а) Пусть (х„), (у„~ — две сходяи1иеся последовательности, причем 1пп х„= А, 1пп у„= В. Если А < В, то найдется номер Д1 Е И такой, что при любом и > Х выполнено неравенство Хн < уп. Ь) Пусть последовательности (х„), (у„), (е„) таковы, что при любом и > Х е Ы имеет место соотношение х„< у„< з„. Если при этом последовательности (х„1, (яп) сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность (у„1 также сходится и к этому же пределу. м а) Возьмем число С такое, что А < С < В.
По определению предела найдем числа Х' и № так, чтобы при любом п > Х' иметь )х„— А~ < С вЂ” А и при любом и > № иметь |у„— В~ <  — С. Тогда при и > Х = шах(Х', №1 получим х„< А+(С вЂ” А) = С =  — ( — С) < у„. Ь) Пусть 1пп х„= 1пп г„= А. По е > 0 найдем числа 1ч" и № так, чтобы при любом и > М' иметь А — е < х„и при любом и > > Мо иметь еп < А + е. Тогда при п > Х = шах(Х',№) получим А — е < х„< У„< еа < А + е или ~ӄ— А~ < е, т, е, А = 1пп У„.
1ь Следствие. Пусть 1пп х„= А и 1пп у„= В. и — ~со о-~сО Если сушествует номер Х такой, что при любом и > Л1 а) х„>у„, тоА>В; Ь) х„>у„, тоА>В; с) х„>В, тоА>В; с1) х„>В, тоА>В. ~ Рассуждая от противного, из пункта а) теоремы немедленно получаем первые два утверждения. Третье и четвертое утверждения суть частные случаи первых двух, получающиеся при у„= В.
~ 11. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Стоит заметить, что строгое неравенство в пределе может перейти в равенство. Например, — > О при любом и Е И, но 1пп — = О. 1 1 и и — ~со и З.Вопросы существования предела последовательности а. Критерий Коши Определение 7. Последовательность 1х„) называется фундалсентальной (или последовательностью Коши11), если для любого числа е > О найдется такой номер Х Е И, что из и > М и т > М следует 1х — х„~ < е. Теорема 4 1критерий Коши сходимости последовательности).
Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она 1рундалсентальна. ~ Пусть 1пп х„= А. По числу е > О найдем номер Х так, чтобы и — ~со при п > Х иметь ~хп — А~ < е. Если теперь т > Х и и > М, то )х — х„! < ~х„, — А)+ ~х„— А~ < $ + $ = е и, таким образом, проверено, что сходящаяся последовательность фундаментальна. Пусть теперь (ха~ — фундаментальная последовательность.
По заданному е > О найдем номер М такой, что из т > М и 1с > Х следует ~х — хь~ < е. Фиксировав т = Х, получаем, что при любом к > Х Е Е хм — — < хь < хм+ —, 3 3' но поскольку имеется всего конечное число членов последовательности 1х„) с номерами, не превосходящими Х, то мы доказали, что фундаментальная последовательность ограничена. Для и е И положим теперь а„:= 1пГ хь, 6„:= впр хм Ь>п ' " Ь>п Из зтих определений видно, что а„ < а„ь1 < 6„ ь1 < 6„ (поскольку при переходе к меньшему множеству нижняя грань не уменьшается, а верхняя не увеличивается). Последовательность вложенных отрезков 1а„, Ь„] имеет, по лемме о вложенных отрезках, общую точку А. ОПоследовательности Коши ввел Больцано, пытавшийся, не располагая точным понятием вещественного числа, доказать сходимость фундаментальной последовательности.
Коши дал такое доказательство, приняв за очевидное принцип вложенных отрезков, обоснованный впоследствии Кантором. 1ОО ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ Поскольку при любом п Е И а„<А<Ь„, а при Й > п а„= 1п1 хь < хь < зарха = Ь„, ь>~ ь>» то при й > и имеем (А — хь) < ܄— а„. (2) Но из (1) следует, что при и > И е е хь — — < ш1 хь = а„< Ь„= япрхь < хд + —, поэтому при п > т 2е Ь вЂ” а « — е.
3 (3) Сравнивая (2) и (3), находим, что при любом й > М )А — хь) < е, и мы показали, что 1пп хь = А. ~ь ь — ~со Пример 8. Последовательность ( — 1)" 1п = 1, 2,... ) не имеет предела, поскольку она не является фундаментальной. Хотя это и очевидно, но все же проведем формальную проверку. Отрицание утверждения, что последовательность 1х„1 фундаментальная, выглядит так: Ве>ОЧИНИ Уп>И Зт>И ((х — х„~>е), Пример 9. Пусть х1 = О, хэ = Ол1~ хз = Ол!аз~ . ~ хн = О,о1о2... оп~ — некоторая последовательность конечных двоичных дробей, причем каждая следующая дробь получается дописыванием знака О или 1 к т.
е. найдется е > О такое, что при любом М е И найдутся числа и, т, ббльшие М, для которых ~х — х„~ > е. В нашем случае достаточно положить е = 1. Тогда при любом И Е И бУДем иметь (хч+1 — хл.1 з~ = )1 — ( — 1)! = 2 > 1 = е. 11. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 101 предыдущей. Покажем, что такая последовательность всегда сходится. Пусть т > и. Оценим разность х — х„: 1 < — + + 2"ч1 1 —— 1 2 Таким образом, подобрав по заданному е > 0 число Х так, что —, < 1 < е для любых т > и > И, получаем оценку ~х„, — х„~ < — „< — < е, 1 1 доказываюшую фундаментальность последовательности 1х„1. Пример 10.
Рассмотрим последовательность (х„), где 1 1 х„=1+ — +...+ —. 2 и Поскольку для любого и Е И 1 1 1 1 ~хг х ~= + ° ° ° + >и' и+1 и+и 2п 2' то в силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела. Ь. Критерий существования предела монотонной последовательности Определение 8. Последовательность (х„1 называется возрастающей, если Чп е И (х„< х„ь1); неубывающей, если Чп ч И (х„< < хп.ь1); невозрастающей, если Чп е И (х„> х„ч1); убывающей, если Чп Е И (х„> х„ь1). Последовательности этих четырех типов называют монотонными последовательностями.
Определение 9. Последовательность 1х„1 называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что Уп Е И (х„< М). Аналогично определяется последовательность, ограниченнал снизу. Теорема 5 (Вейерштрасс). Для того чтобы неубывающая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху. 102 ГЛ. 111. ПРЕДЕЛ ~ То, что любая сходящаяся последовательность ограничена, было доказано при рассмотрении общих свойств предела последовательности, поэтому интерес представляет только второе утверждение теоремы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
