1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Запись х = х х Ь означает, что х — Ь < х < х + Ь. Например, гравитационная постоянная ьл = (6,67259 х 0,00085) 10 '1Н мг/кг~, скорость света в вакууме с = 299792458 м/с (точно), постоянная Планка 6 = (6,6260755 ~ 0,0000040) 10 84 Дж с, заряд электрона е = (1,60217733 ~ 0,00000049) 10 ш Кл, масса покоя электрона т, = (9,1093897 ~ 0,0000054) 10 81кг. Основным показателем точности измерения является величина от- носительной погрешности приближения, обычно выражаемая в процен- тах. 12. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 69 Так, в приведенных примерах относительные погрешности не превосходят соответственно 1З Ю-', 0; 6 Ю-', З1 Ю-', 6 Ю-" или, в процентах от результата измерения, 13 10 з%; 0%; 6 10 6%; 31.10 6%; 6 10 6%. Утверждение.
Если )х — х~ = Ь(х), (у — у~ = Ь(у), то ~(х+ у):= ~(х+ у) — (х+ у)~ < ~1(х) + ~А(у) Ь(х у):= (х у — х у~ < )х)Ь(у)+ ~у(Ь(х)+Ь(х) Ь(у); (2) если, кроме того, уф0, у~О и о(у) = <1, ~(у) ~й Е~, ~*~ (у)+~ ~ ( ) (у/ у у у' 1 — о(у) (3) ~ Пусть х = х + а, у = у + )3. Тогда Ь(х + у) = )(х + у) — (х + у) ! = (о + ф < ~а~ + ф = Ь(х) + Ь(у), Ь(х у) = )ху — ху) = )(х+ а)(у+,9) — ху! = = РР+ уо+ оЯ <!4Ф! + йМ +!аР! = = !х/Ь(у) + !у/Ь(х) + Ь(х) .
Ь(у), х х у у )у — (у + ху — ух уу )3)х 1 (х(ф! + (у0о) 1 1+ Рl у уг 1 — Йу) Ф1 2 (у) + !Ы ~(х) уг 1 — йу) уг Оценим теперь погрешности, возникающие при арифметических операциях с приближенными величинами. 70 ГЛ. Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Из полученных оценок абсолютных погрешностей вытекают следующие оценки относительных погрешностей; Ь(х) + 2»(у) б(х+у) < б(х у) < б(х) + б(у) + б(х) б(у), (2') (х) б(х) + б(у) 1, у) 1 — б(у) (3') На практике, при работе с достаточно хорошими приближениями, 2л(х) с»(у) = О, б(х) б(у) - О, 1 — б(у) - 1, поэтому пользуются соответствующими упрощенными, полезными, но формально неверными вариантами формул (2), (3), (2'), (3'): Ь(х у) < ~х~Ь(у) + ~у~1л(х), „(9 < 14~(у)+!у!~(х) 2 1,у) у б(й у) < б(х) + б(у), б ~-'~ < б(х) + б(у).
у Формулы (3), (3') показывают, что надо избегать деления на близкие к нулю или довольно грубые приближения, когда у или 1 — б(у) малы по абсолютной величине. Формула (1') предостерегает от сложения приближенных величин, если они близки по абсолютной величине и противоположны по знаку, поскольку тогда ~х + у~ близко к нулю. Во всех этих случаях погрешности могут резко возрасти. Например, пусть ваш рост дважды измерили некоторым прибором. Точность измерения х0,5 ем. Перед вторым измерением вам под ноги подложили лист бумаги. Тем не менее может случиться, что результаты измерений будут такими: Н1 = (200 х 0,5) см и Н2 = (199,8 х 0,5) см соответственно. Таким образом, бессмысленно искать толщину бумаги в виде разности Н2 — Н1, из которой только следует, что толщина не больше 0,8 см, что, конечно, очень грубо отражает (если это вообще можно назвать »отражает») истинное положение вещей.
12. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 71 Стоит, однако, обратить внимание и на другой, более оптимистичный вычислительный эффект, благодаря которому грубыми приборами удается провести сравнительно тонкие измерения. Например, если на том приборе, где только что измерили ваш рост, измерили высоту пачки в 1000 листов той же бумаги и получили результат (20 х 0,5) см, то толщина одного листа 10,02х0,0005) см = (0,2х0,005) мм, что вытекает из формулы 11). То есть с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,005мм, толщина одного листа равна 0,2 мм. Относительная погрешность этого измерения не превышает 0,025 или 2,5%. Эту идею можно развить и предложить, например, способ выделения слабого периодического сигнала из превышающих его случайных радиопомех, называемых обычно белым шумом.
с. Позиционная система счисления. Выше говорилось о том, что каждое число можно задать последовательностью приближающих его рациональных чисел. Теперь напомним важный в вычислительном отношении метод, который позволяет единообразно для каждого действительного числа строить такую последовательность рациональных приближений.
Этот метод ведет к позиционной системе счисления. Лемма. Если фиксировать число о > 1, то для любого положительного числа л Е К найдется и притом единственное целое число к Е,'Е такое, что о <я<о. м Проверим сначала, что множество чисел вида д", к е 1ч, не ограничено сверху. В противном случае оно имело бы верхнюю грань в и по определению верхней грани нашлось бы натуральное число т Е М такое, что — ' < о < в.
Но тогда в < о ~1 и в — не верхняя грань нашего множества. Поскольку 1 < о, то о < о" при т < и, т, и е.'Е, поэтому мызаодно показали, что для любого числа с е К найдется такое натуральное число д7 Е 1Ч, что при любом натуральном и > й1 будет с < о". Отсюда вытекает, что для любого числа е > 0 найдется число М Е И такое, что при всех натуральных т > М будет — < е. 1 о Деиствительно, достаточно положить с = —, а М = М; тогда — < о™ 1 1 при т> М. ГЛ. Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 72 Итак, множество целых чисел т е Ж, удовлетворяющих неравенству х < д при х > О, ограничено снизу. Тогда в нем есть минимальный элемент к, который, очевидно, и будет искомым, так как для него дь-1 <х<дь Единственность такого целого числа к следует из того, что если т, и Е У.
и, например, т < п, то т < и — 1, и поэтому если д > 1, то дт ( и — 1 Действительно, из этого замечания видно, что неравенства д"' ~ < ( х < д™ и д" 1 ( х < д", из которых следует д" 1 ( х < д"', несовместны при т ~ и. ~ Воспользуемся этой леммой в следующей конструкции. Фиксируем д > 1 и возьмем произвольное положительное число х е )к. По лемме найдем единственное число р Н У, такое, что д" < х < др+1. Определение 10. Число р, удовлетворяющее соотношению (1), называется порядком числа х по основанию д или (при фиксированном д) просто порядком числа х.
По принципу Архимеда найдем единственное натуральное число ар Е М такое, что ардр < х < ардр + др. (2) Учитывая (1), можно утверждать, что ор Н (1,..., д — Ц. Все дальнейшие шаги нашего построения будут повторять тот шаг, который мы сейчас сделаем, исходя из соотношения (2). Из соотношения (2) и принципа Архимеда следует, что существует и притом единственное число ор 1 Н (О, 1,..., д — Ц такое, что ардР + ар 1дР ~ < х < ардР + ар 1дР ~ + дР Если уже сделано и таких шагов и получено, что ардР + ар 1дР + ...
+ ар „дР < ( х < ардР + ар 1дР + ... + ар „дл " + дР 12. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 73 то по принципу Архимеда найдется единственное число а и 1 Н Е 10,1,...,о — Ц такое, что арчР+... + ар г7Р + ар ~~1Р < р + + р — и + р-и-1 + р — и-1 Таким образом, указан алгоритм, по которому положительному числу х однозначно ставится в соответствие последовательность чисел ар,ар ы...,ар „,... из множества 10,1,...,д — Ц или, менее формально, последовательность рациональных чисел ги специального вида: (4) р р — и г„=арф +...+ар „о причем так, что 1 ги < х < ги + — „ (5) г7~ Р Иными словами, мы строим все лучшие приближения снизу и сверху для числа х посредством специальной последовательности рациональных чисел (4).
Символ ар... ар „... есть шифр всей последовательности 1г„). Чтобы по нему можно было восстановить последовательность (г„1, необходимо как-то отметить величину р — порядок числа х. Условились при р > 0 после ао ставить точку или запятую; при р < 0 слева от ар дописывать |р~ нулей и после крайнего левого ставить точку или запятую (напомним, что ар ф 0). Например, при д = 10 123 45, 1 102 + 2 101 + 3 10о + 4 10 — 1 + 5 10 О 00123, 1 10-3 + 2 10-4 + 3 10-5, при д = 2 1000,001;= 1 2з + 1. 2 з Таким образом, значение цифры в символе ар... ар „...
зависит от позиции, которую она занимает по отношению к точке или запятой. После этого соглашения символ ар... ао,... позволяет однозначно восстановить всю последовательность приближений. Из неравенств (5) видно (проверьте!), что двум различным числам х, х' отвечают различные последовательности 1г„1, 1г„'1, а значит, и разные символы ар...ао,..., ар...ао,... ГЛ. Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Теперь решим вопрос, всякому ли символу вида ор... аш... отвечает некоторое число х Е )к. Оказывается, нет. Заметим, что в силу описанного алгоритма последовательного получения чисел ар „б (О, 1,..., д — Ц не может случиться так, что все они, начиная с некоторого, будут одинаковы и равны д — 1.
Действительно, если при и > я =ор9 + ° ° +о -К ~+(~7 1)Ч ~ 1+ +И 1И т. е. 1 1 т„= ть+— )ь-р ~а-р' (6) то в силу (5) 1 1 1 гь+ — — — < х < ть+ —. дь-р 7а-р ,7ь — Р Тогда для любого и > к 1 1 0<гь+ — — х< —, ~ь-Р 7Я-Р' что, как мы знаем из доказанной выше леммы, невозможно. Полезно также отметить, что если сРеДи чисел ар ь ь..., ар „хотЯ бы одно меньше д — 1, то вместо (6) можно написать, что 1 1 г„< та+в й-р ~а-р или, что то же самое, 1 1 т„+ — < гь + —. и-р )ь — Р (7) 1 1 1 тд < г~ < ...
< ... < ... < г„ + †„ < ... ( т1 + †, ( ге + †„. (8) Теперь мы в состоянии доказать, что любой символ а„... ае,..., составленный из чисел аь Е (О, 1,...,д — Ц, в котором как угодно далеко встречаются числа, отличные от д — 1, соответствует некоторому числу х > О. В самом деле, по символу ар...ар „... построим последовательность (г„) вида (4). В силу того, что ге < т1 « ...
г„< ..., а также учитывая (6) и (7), имеем в 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЪНЫХ ЧИСЕЛ 75 Знак строгого неравенства в последнем соотношении следует понимать так: любой элемент левой последовательности меньше любого элемента правой последовательности. Это вытекает из (7). Если теперь взять х = впр г„(= шГ (г„+д ~" р) )), то последовательнен вен ность г„будет удовлетворять условиям (4), (5), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
