1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 14
Текст из файла (страница 14)
и мы вступаем в противоречие с тем, что з ограничивает множество У снизу. Таким образом, реализуется только одна оставшаяся возможность: з2 2 Покажем, наконец, что з р © Предположим, что з Е Я, и пусть — „— несократимое представление з. Тогда тг = 2. нг, следовательно, т2, а значит, и т делится на 2. Но если т = 2к, то 2к2 = п2 и по той же причине и должно делиться на 2, что противоречит несократимости дроби „. ~ 60 ГЛ. П. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Так, например, только в 1882г.
было доказано, что классическое геометрическое число «г является трансцендентным' ), а одна из знаменитых проблем Гильбертаз) состояла в том, чтобы доказать трансцендентность числа с«д, где с« — алгебраическое, (с«> О) Л (с«ф 1), а )э— алгебраическое иррациональное число (например, с« = 2, )8 = х/2). 3. Принцип Архимеда. Переходим к важному как в теоретическом отношении, так и в плане конкретного использования чисел при измерениях и вычислениях принципу Архимедаз).
Мы докажем его, опираясь на аксиому полноты (точнее, на эквивалентную ей лемму о верхней грани). При другой аксиоматике множества действительных чисел этот фундаментальный принцип часто включают в список аксиом. Заметим, что утверждения, которые мы до сих пор доказывали о натуральных и целых числах, совершенно не использовали аксиому полноты. Как будет видно из дальнейшего, принцип Архимеда, в сущности, отражает свойства натуральных и целых чисел, связанные с аксиомой полноты. С этих свойств мы и начнем. 1' В любом непустом ограниченном сверху подмножестве множества натуральных чисел имеется максимальный элемент. м Если Е с )Ч вЂ” рассматриваемое множество, то по лемме о верхней грани 3! вирЕ = в Е )й.
По определению верхней грани, в Е найдется натуральное число и Е Е, удовлетворяющее условию в — 1 < и < в. Тогда и = шах Е, поскольку все натуральные числа, которые больше и, не меньше и + 1, а п + 1 > в. > и 1я — число, равное в евклидовой геометрии отношению длины окружности к ее диаметру. Отсюда общепринятое с ХЪ'П1 века после Эйлера обозначение этого числа начальной буквой греческого слова хер««!»среш — периферия (окружность). Трансцендентность я доказана немецким математиком Ф. Линдеманом (1852 — 1939).
Из трансцендентности л, в частности, вытекает невозможность построения циркулем и линейкой отрезка длины т (задача о спрямлении окружности), как и неразрешимость этими средствами древней задачи о квадратуре круга. ЮД. Гильберт (1862 — 1943) — выдающийся немецкий математик, сформулировавший в 1900 г. на Международном конгрессе математиков в Париже двадцать три относящиеся к различным областям математики проблемы, получившие впоследствии название «проблем Гильберта». Вопрос, о котором идет речь в тексте (седьмая проблема Гильберта), был положительно решен в 1934 г. советским математиком А.
О. Гельфондом (1906 — 1968) и немецким математиком Т. Шнайдером (1911 — 1989). »1Архимед (287 — 212 гг. до н.э.) — гениальный греческий ученый, про которого один нз основоположников анализа, Лейбниц в свое время сказал: «Изучая труды Архимеда, перестаешь удивляться успехам современных математиков». 12. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 61 Следствия. 2' Множество натуральных чисел не ограничено сверху. ~ В противном случае существовало бы максимальное натуральное число. Но и < и + 1. ~ 3' В любом непустом ограниченном сверху подмножестве множества целых чисел имеется максимальный элемент.
м Можно дословно повторить доказательство утверждения 1', заменяя И на л.. ~ь 4' В любом непустом ограниченном снизу подмножестве множества целых чисел имеется минимальный элемент. < Можно, например, повторить доказательство утверждения 1', заменяя И на л, и используя вместо леммы о верхней грани лемму о существовании нижней грани у ограниченного снизу числового множества. Можно также перейти к противоположным числам (ьпоменять знакиь) и воспользоваться уже доказанным в 3'. ~ 5' Множество целых чисел не ограничено ни сверху, ни снизу. ~ Вытекает из 3' и 4' или прямо из 2'.
ь Теперь сформулируем О' Принцип Архимеда. Если фиксировать произвольное положительное число А, то для любого действительного числа х найдется и притом единственное целое число й такое, что (к' — 1)6 < х < йй. ~ Поскольку л'. не ограничено сверху, множество ~п б У, ~ — „< и~в непустое ограниченное снизу подмножество множества целых чисел. Тогда (см.
4') в нем есть минимальный элемент й, т. е. 11с — 1) < х/и < < 1с. Поскольку и > О, эти неравенства эквивалентны приведенным в формулировке принципа Архимеда. Единственность й Е У,, удовлетворяющего двум последним неравенствам, следует из единственности минимального элемента числового множества (см.
31, п. 3). ~ Некоторые следствия: 7' Для любого положительного числа г существует натуральное число и такое, что О < и < г. 1 < По принципу Архимеда найдется и е У, такое, что 1 < г п. Поскольку О < 1 и О < г, имеем О < и. Таким образом, и Е И и О « — „г. ь 1 ГЛ. 11. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ [ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 8' Если число х е К а<иково, что 0 < х и для любого п Н 1< выполненох< — „, тох=О. 1 м Соотношение 0 < х невозможно в силу утверждения 7'. > 9' Для любых чисел а, Ъ е К таких, что а < Ь, найдется рациональное число г Е Я такое, что а < г < Ь. М Учитывая 7', подберем и Н М так, что 0 < 1 < Ь вЂ” а.
По принципу Архимеда найдем такое число т Н Ж, что тп < а < т. Тогда Д < < Ь, ибо в противном случае мы имели бы т < а < Ь < ~~, откуда следовало бы, что 1 > 6 — а. Таким образом, т = ™„Н Я и а < ~~ < Ь. > 10' Для любого числа х Н К существует и притом единственное целое число Ь Е У, такое, что к < х < 1<+ 1. м Это непосредственно вытекает из принципа Архимеда.
> Указанное число й обозначается [х] и называется целой частью числа х. Величина (х1:= х — [х] называется дробной частью числа х. Итак, х = [х] + (х), причем (х) > О. 4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами а. ч1исловая ось. По отношению к действительным числам часто используется образный геометрический язык, связанный с тем обстоятельством, что, как в общих чертах известно иэ школы, в силу аксиом геометрии между точками прямой П и множеством К вещественных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие 1: П -+ 2. Причем это соответствие связано с движениями прямой.
А именно, если Т вЂ” -параллельный перенос прямой П по себе, то существует число 1 Н К [зависящее только от Т) такое, что 1(Т[х)) = 1[х) + й для любой точки х Н )).. Число 7'[х), соответствующее точке х Н 1., называется координатой точки х. Ввиду взаимной однозначности отображения 1: 3 -+ К координату точки часто называют просто точкой. Например, вместо фразы «отметим точку, координата которой 1», говорят <отметим точку 1». Прямую 1. при наличии указанного соответствия 1: $. — » К называют координатной осью, числовой осью или числовой прямой. Ввиду биек- 12. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 63 тивности ~ само множество И вещественных чисел также часто называют числовой прямой, а его элементы — точками числовой прямой.
Как отмечалось, биективное отображение у: 1. -+ Я, задающее на 1. координаты, таково, что при параллельном переносе Т координаты образов точек прямой $. отличаются от координат самих точек на одну и ту же величину 2 Е и. Ввиду этого 1 полностью определяется указанием точки с координатой О и точки с координатой 1 или, короче, точки нуль, называемой началом координат, и точки 1. Отрезок, определяемый этими точками, называется единичным отрезком. Направление, определяемое лучом с вершиной О, содержащим точку 1, называется положительным, а движение в этом направлении (от О к 1) — движением слева направо. В соответствии с этим соглашением 1 лежит правее О, а Π— левее 1. При параллельном переносе Т, переводящем начало координат хо в точку х1 = Т(хо) с координатой 1, координаты образов всех точек на единицу больше координат прообразов, поэтому мы находим точку х2 = Т(х1) с координатой 2, точку хз = Т(х2) координатой 3, ..., точку х„+1 = Т(х„) с координатой п+ 1, а также точку х 1 = Т 1(хо) с координатой — 1,..., точку х „1 = Т 1(х „) с координатой — п — 1.
Таким образом, получаем все точки с целыми координатами т Е л'. Умея удваивать, утраивать,... единичный отрезок, по теореме Фалеса его же можно разбить на соответствующее число и конгруэнтных отрезков. Беря тот из них, одним концом которого является начало координат, для координаты х другого конца имеем уравнение и х = 1, т. е.
х = „—. Отсюда находим все точки с рациональными координатами 1 и ЕЯ. Но останутся еще точки 1., ведь есть же отрезки, несоизмеримые с единичным. Каждая такая точка (как и любая другая точка прямой) разбивает прямую на два луча, на каждом из которых есть точки с целыми (рациональными) координатами (это следствие исходного геометрического принципа Архимеда). Таким образам, точка производит разбиение или, как говорят, сечение Я на два непустых множества Х и У, отвечающие рациональным точкам (точкам с рациональными координатами) левого и правого лучей.
По аксиоме полноты найдется число с, разделяющее Х и У, т.е. х < с < у для Чх е Х и Чу Е У. Поскольку Х 0 У = Я, то япр Х = я = 1 = 1пГУ, ибо в противном случае а < г и между я и г нашлось бы рациональное число, не лежащее ни в Х, ни в У. Таким образом, я = г = с. Это однозначно определенное число ГЛ. Н. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 64 с и ставится в соответствие указанной точке прямой. Описанное сопоставление точкам прямой их координат доставляет наглядную модель как отношению порядка в К (отсюда и термин «линейная упорядоченность»), так и аксиоме полноты, или непрерывности й, которая на геометрическом языке означает, что в прямой $.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
