1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В самом деле, — ((«х > а) Р):= — (Чх (х Е К Л х > а ~ Р(х))) «» <=» В х — (х е К л х > а ~ Р(х)) е~ «," Вх ((х Е К Л х > а) Л . Р(х)) =: (ох > а) — Р. Если учесть указанную выше структуру произвольного высказывания,то теперь с использованием построенных отрицаний простейших з 4.
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ высказываний можно было бы построить отрицание любого конкретного высказывания. Например, — (1пп у (х) = А) сэ Л е > 0 Че > 0 Л х е ~х — ~а Е П (О < (х — а! < б л ~((х) — А~ > е). Практическая важность правильного построения отрицания связана, в частности, с методом доказательства от противного, когда истинность некоторого утверждения Р извлекают из того, что утверждение — Р ложно. Упражнения 1. а) Установите равномощность отрезка (х Е Н ~ 0 < х < Ц и интервала (х е Н ~ О < х < Ц числовой прямой Н как с помощью теоремы Шредера— Бернштейна, так и непосредственным предъявлением нужной бнекции. Ъ) Разберите следующее доказательство теоремы Шредера — Бернштейна: (сап1 Х < сагг1 У) д (сагд У < сагг1 Х) =~ (сагб Х = сагг1 У) . м Достаточно доказать, что если множества Х, У, Е таковы, что Х Э ~ У Э Е н сагдХ = сап1 Е, то сагс1Х = сагг1У.
Пусть у: Х вЂ” ~ Š— биективное отображение. Тогда биекция д: Х -+ У может быть задана, например, следующим образом: у(х), если х Е у" (Х) 1 у" (У) для некоторого и Е г(, д(х) = х в противном случае. Здесь у" = у о...о у — и-я лтерация отображения у, а М вЂ вЂ множе натуральных чисел. И 2. а) Исходя иэ определения пары, проверьте, что данное в пункте 2 определение прямого произведения Х х У множеств Х, У корректно, т. е.
множество Р(Р(Х) О Р(У)) содержит все упорядоченные пары (х, д), в которых х Е Х иусУ. Ъ) Покажите, что всевозможные отображения у': Х -+ У одного фиксированного множества Х в другое фиксированное множество У сами образуют множество М(Х, У). с) Проверьте, что если Рс — множество упорядоченных пар (т. е. отношение), то первые элементы пар, принадлежащих множеству Е (как и вторые), сами образуют множество. 38 ГЛ. 1.
НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 3. а) Используя аксиомы объемности, пары, выделения, объединения и бесконечности, проверьте, что для элементов множества Ие натуральных чисел по фон Нейману справедливы следующие утверждения: 1'х=у=»х+=у+; 2' (Чх Е Ио) (х+ ~ О); 3'х+=у"=»х=у; 4' (Чх Е Ие) (х ф а ~ (3 у Е Ие) (х = у+)). Ь) Используя то, что Ие — индуктивное множество, покажите, что для любых его элементов х и у (а они в свою очередь являются множествами) справедливы следующие соотношения: 1' сагах < сагдхт; 2' сэгг1о < сагах+; 3' саг6 х < саг6 у е» сагб х" < сагду~; 4' сагг1 х < сагах+; 5' сагах < сатану =» сагдх ь < сагд у; 6' х = у е» сагах = сагг1 у; 7' (х С у) Ч (х З у).
с) Покажите, что в любом подмножестве Х множества Ие найдется такой (наименьший) элемент х, что (Чх Е Х) (сагг)х < сэгг)х). (В случае затруднений к этой задаче можно вернуться после прочтения главы П.) 4. Мы будем иметь дело только с множествами. Поскольку множество, состоящее из различных элементов, само может быть элементом другого множества, логики все множества обычно обозначают строчными буквами.
В настоящей задаче это очень удобно. а) Проверьте, что запись Чх В у ох (я Е у е» Иго (х Е го А го Е х)) выражает аксиому объединения, по которой существует множество у — объединение множества х. Ь) Укажите, какие аксиомы теории множеств представлены записями Чх Чу 'Фя ((х Е х С» х Е у) Е» х = у), Чх Чу В г Чо (о Е г с» (о = х Ч о = у)), Чх Э у Чг (г Е у с» Чи (и Е г =» и Е х)), 3 х (Чу ( 3 г (г Е у) =» у Е х) А Чго (ю Е х =» =» Чи (Чо (о Е и С» (о = го Ч о Е го)) ~ и Е х))).
е 4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 39 с) Проверьте, что формула Чг (г 6 ( ~ (Э х1 Л у~ (х1 б х Л у1 б у Л х = (хы у|)))) Л Л Чх1 (х1 б х =~ Л у1 Л х (у1 б у Л з = (хы у1) Л з 6 у)) Л Л Чх1 Чу1 Чуз (Л л~ Л гз (х1 6 ~ Л хз б ~ Л х1 = (хы У1) Л Л х2 = (хм уз)) ~ в1 3/2) последовательно накладывает на множество у три ограничения: у есть подмножество х х у; проекция у на х совпадает с х; каждому элементу х1 из х отвечает ровно один элемент у~ из у такой, что (хы у~) 6 У.
Таким образом, перед нами определение отображения у: х -+ у. Этот пример еще раз показывает, что формальная запись высказывания отнюдь не всегда бывает более короткой и прозрачной в сравнении с его записью на разговорном языке. Учитывая зто обстоятельство, мы будем в дальнейшем испольэовать логическую символику лишь в той мере, в какой она будет нам представляться полезной для достижения большей компактности или ясности изложения. 5.
Пусть у: Х -+ У вЂ” отображение. Запишите логическое отрицание каждого из следующих высказываний: а) у сюръективно; Ь) ( инъективно; с) у биективно. 6. Пусть Х и У вЂ множест и у' С Х х У. Запишите, что значит, что множество ( не является функцией. ГЛАВА П ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) НИСЛА Математические теории, как правило, находят свой выход в том, что позволяют перерабатывать один набор чисел (исходные данные) в другой набор чисел, составляющий промежуточную или окончательную цель вычислений. По этой причине особое место в математике и ее приложениях занимают чисяовые функции.
Они (точнее, так называемые дифференцируемые числовые функции) составляют главный объект исследования классического анализа. Но сколь-нибудь полное с точки зрения современной математики описание свойств этих функций, как вы уже могли почувствовать в школе и в чем вскоре убедитесь, невозможно без точного определения множества вещественных чисел, на котором эти функции действуют. Число в математике, как время в физике, известно каждому, но непонятно лишь специалистам. Это одна из основных математических абстракций, которой, по-видимому, еще предстоит существенная эволюция и рассказу о которой может быть посвящен самостоятельный насыщенный курс.
Здесь же мы имеем в виду только свести воедино то, что читателю в основном известно о действительных числах из средней школы, выделив в виде аксиом фундаментальные и независимые свойства чисел. При этом наша цель состоит в том, чтобы дать точное, пригодное для последующего математического использования определение вещественных чисел и обратить особое внимание на их свойство полноты, или непрерывности, являющееся зародышем предельного перехода — основной неарифметической операции анализа. 11.
АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 41 3 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел 1. Определение множества действительных чисел Определение 1. Множество К называется множеством действигпельных (вещественных) чисел, а его элементы — действительными (вещественными) числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел: (1) Аксиомы сложения Определено отображение (операция сложения) +: К х К -+ К, сопоставляющсс каждой упорядоченной парс (х, у) элементов х, у из К некоторый элемент х+у Е К, называемый суммой х и у.
При этом выполнены следующие условия: 14.. Существует н е й т р а л ь н ы й элемент 0 (называемый в случае сложения н ул ем) такой, что для любого х е К х+0=0+х=х. 2+. Для любого элемента х й К имеется элемент — х й К, назььваемый противоположным к х, такой, что и + ( — х) = ( — х) + х = О. З.ь. Операция + ассоциативна, т. е. для любых элементов х, у, г из К выполнено х+ (у+ ) = (х+ у) + . 4ь. Операция + коммутативна, т. е. для .любых элементов х, у из К выполнено х+у=у+х,. Если на каком-то множестве С определена операция, удовлетворяющая аксиомам 1ь, 2ь, 3 ь, то говорят, что на С задана структура группы или что С есть группа. Если операцию называют сложением, то группу называют аддитивной.
Если, кроме того, известно, что операция коммутативна, т.е. выполнено условие 4, то группу называют коммутативной или абелевой') . ОН. Х. Абель (1802 — 1829) — звмечательный норвежский математик, доказавший неразрешимость в радикалах алгебраических уравнений, степени выше четвертой. 42 ГЛ. П. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Итак, аксиомы 1+ -4.ь говорят, что К есть аддитивная абелева группа. (П) Аксиомы умножения Определено отображение (операция умножения) °: К х К -+ К, сопоставляющее каждой упорядоченной паре (х, у) элементов х, у из К некоторый элемент х у Е К, называемый произведением х и у, причем так, что выполнены следующие условия: 1,.
Существует нейтральный элемент 1 Е К 1 0 (называемый в случае умножения единицей) такой, что 'йх Е К х . 1 = 1 . х = х. 2,. Для любого элемента х Н К ~ О имеется элемент х 1 Н К, называемый обратным, такой, что х х1=х1 х=1. 3,. Операция ° ассоциативна, т. е. для любых х, у, г из К х (у г) = (х у) .ю 4,. Операция ° коммутативна, т. е.
для любых х, у из К х у=у.х. Заметим, что по отношению к операции умножения множество К~О, как можно проверить, является (мультипликативной) группой. (1, 11) Связь сложения и умножения Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, т. е. 'вх,у,гЕК (х + у)г = хе+ уг. Отметим, что ввиду коммутативности умножения последнее равенство сохранится, если в обеих его частях поменять порядок множителей. Если на каком-то множестве С действуют две операции, удовлетворяющие всем перечисленным аксиомам, то С называется алгебраическим полем или просто полем. 1 Ь АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 43 1111) Аксиомы порядка Между элементами К ииеетсл отношение <, т. е.
для элементов х, у иэ е«установлено, выполняется ли х < у или нет. При этпом должны удовлетворяться следующие условия: 0<.ЧхЕК 1х<х). 1<. 1х < у) А 1у < х) ~ (х = у). 2<. 1х < у) Л 1у < я) =ь 1х < г). 3<.УхЕК Чуба 1х(у)~l(у(х). Отношение < в 14 называется отношением неравенства. Множество, между некоторыми элементами которого имеется отношение, удовлетворяющее аксиомам О<, 1<, 2<, как известно, называют частпично упорядоченным, а если, сверх того, выполнена аксиома 3-, т.е. любые два элемента множества сравнимы, то множество называется линейно упорядоченным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
