1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если любой элемент множества А является элементом множества В, то пишут А с В или В З А и говорят, что множество А является подмножеством множества В, или что В содержит А, или что В включает в себя А. В связи с этим отношение А с В между множествами А, В называется отношением вил»оченил (рис.1). г 2. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ Итак, (А С В):= Чх ((х Е А) =~ (х Е В)). Если А С В и А ф В, то будем говорить, что включение А С В строгое или что А — собстпвенное подмножество В. Используя приведенные определения, теперь можно заключить, что Рис.
1. (А=В) Ф (А С В) Л(В С А). Если М вЂ” множество, то любое свойство Р выделяет в М подмно- жество (х Е М ~ Р(х)) тех элементов М, которые обладают этим свойством. Например, очевидно, что М = (х Н М ) х Н М). С другой стороны, если в качестве Р взять свойство, которым не обла- дает ни один элемент множества М, например Р(х):= (х ~ х), то мы получим множество И = (х Е М ! х Ф х), называемое пустым подмножеством множества М. 3. Простейшие операции над множествами.
Пусть А и В— подмножества множества М. Рис. 2. Рис. 4. Рис. 5. Рис. 3. 10 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОНЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ а. Объединением множеств А и В называется множество А 0 В:= (х Е М ) (х Е А)Ч (х Е В)), состоящее из тех и только тех элементов множества М, которые содер- жатся хотя бы в одном из множеств А, В (рис. 2). Ь. Пересечением множеств А и В называется множество А П В:= (х е М / (х Е А) Л (х е В)1, образованное теми и только теми элементами множества М, которые принадлежат одновременно множествам А и В (рис.
3). с. Разностью между множеством А и множеством В называется множество А ~ В:= (х Е М ~ (х Е А) Л (х ф В)), состоящее из тех элементов множества А, которые не содержатся в множестве В (рис. 4). Разность между множеством М и содержащимся в нем подмножеством А обычно называют дополнением А в М и обозначают через СМА или СА, когда из контекста ясно, в каком множестве ищется дополнение к А (рис. 5). Си(АОВ) = СМАГ1СМВ, СМ(А а В) = СагА и СМВ. (1) (2) м Докажем, например, первое из этих равенств: (х Е См(А и В)) ~ (х ф (А и В)) ~ ((х ф А) Л (х ф В)) ~ ~ (х е СМА) Л (х Е СМВ) =ь (х Е (СМА П СМВ)). Таким образом, установлено, что См(А и В) С (СагАПСМВ).
(3) С другой стороны, ОА. де Морган (1806 -1871) — шотландский математик. Пример. В качестве иллюстрации взаимодействия введенных понятий проверим следующие соотношения (так называемые правила де Моргана1) ): 52. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ (х й (СМА й СмВ)) ~ ((х Н СИА) Л (х й СмВ)) =е ~ ((х ф А) л (х ф В)) =а (х ф (А и В)) ~ (х е См(А и В)), т.е. (СьгА 11 СМВ) С СМ(А 1з В). Из (3) и (4) следует (1). ~ с1. Прямое (декартово) произведение множеств. Для любых двух множеств А, В можно образовать новое множество- — пару (А,В) = = (В, А), элементами которого являются множества А и В и только они.
Это множество состоит из двух элементов, если А ф В, и из одного элемента, если А = В. Указанное множество называют неупорядоченной парой множеств А, В, в отличие от упорядоченной пары (А, В), в которой элементы А, В наделены дополнительными признаками, выделяющими первый и второй элементы пары (А, В). Равенство (А,В) = (С,Р) упорядоченных пар по определению означает, что А = С и В = Р. В частности, если А ~ В, то (А, В) ~ (В, А). Пусть теперь Х и У вЂ” произвольные множества. Множество Х х У:= ((х, у) $ (х к Х) Л (у Н У)), образованное всеми упорядоченными парами (х,у), первый член которых есть элемент из Х, а второй член — элемент из У, называется прямым или декартовым произведением множеств Х и У (в таком порядке! ). Из определения прямого произведения и сделанных выше замечаний об упорядоченной паре явствует, что, вообще говоря, Х х У ~ У х Х.
Равенство имеет место, лишь если Х = У. В последнем случае вместо Х х Х пишут коротко Х2. Прямое произведение называют также декартовым произведением в честь Декарта1), который независимо от Фермаз) пришел через систему ОР. Декарт (1596 — 1650) — выдающийся французский философ, математик и физик, внесший фундаментальный вклад в теорию научного мышления и познания. ПП. Ферма (1601 -1665) — замечательный французский математик, юрист по специальности.
Ферма стоял у истоков ряда областей современной математики: анализ, аналитическая геометрия, теория вероятностей, теория чисел. 12 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОВЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ координат к аналитическому языку геометрии. Известная всем система декартовых координат в плоскости превращает эту плоскость именно в прямое произведение двух числовых осей. На этом знакомом объекте наглядно проявляется зависимость декартова произведения от порядка сомножителей. Например, упорядоченным парам (О, 1) и (1, 0) отвечают различные точки плоскости. В упорядоченной паре з = (т1, т2), являющейся элементом прямого произведения 2 = Х1 х Х2 множеств Х1 и Х2, элемент х1 называется первой проекцией пары г и обозначается через рг, г, а элемент т2— второй проекцией пары г и обозначается через рг2 з.
Проекции упорядоченной пары по аналогии с терминологией аналитической геометрии часто называют (первой и второй) координатами пары. ,г'праж пения В задачах 1, 2, 3 через А, В, С обозначены подмножества некоторого множества М. 1. Проверьте соотношения а) (А с С) А (В с С) 1в ((А О В) с С); Ь) (С с А) А (С с В) ~> (С с (А Г1 В)); с) См(СмА) = А; й) (А с СмВ) с~ (В с СмА); е) (А с В) с-' (СмА Э СмВ). 2. Покажите, что а) А0(ВОС) =(АОВ)ОС=:АОВОС; Ь) Ап (ВпС) = (АпВ) пС =: АпВпС; с) АП(ВОС) = (АПВ) О(АОС); о) А О (В П С) = (А С В) й (А О С). 3. Проверьте взаимосвязь (двойственность) операций объединения и пересечения: а) См (А О В) = См А й См В; Ь) См(АПВ) = СмАОСмВ.
4. Проиллюстрируйте геометрически декартово произведение а) двух отрезков (прямоугольник); Ь) двух прямых (плоскость); с) прямой и окружности (цилиндрическая поверхность); в 3. <РУНКЦИЯ о) прямой и круга (цилиндр); е) двух окружностей (тор); 1) окружности и круга (полноторие). 5. Множество л = ((хм ха) Е Х~ ~ х1 = хз) называетсЯ диагональю декаР- това квадрата Хо множества Х.
Проиллюстрируйте геометрически диагонали множеств, полученных в пунктах а), Ь), е) задачи 4. 6. Покажите, что а) (Х х У = я) <о (Х = ы) у (У = ы), а если Х х У ф И, то Ь) (Ах ВсХ хУ) оь(АсХ) л(В с У), с) (Х х У) 0 (Я х У) = (Х 0 Я) х У, д) (ХхУ)й(Х'хУ') =(ХПХ') х(УГ1У'). Здесь Π— символ пустого множества, т.е.
множества, не содержащего эле- ментов. 7. Сравнив соотношения задачи 3 с соотношениями а), Ъ) из упражнения 2 к з1, установите соответствие между логическими операциями, Л, М на высказываниях и операциями С, Г1, 0 на множествах. ~ 3. Функция 1. Понятие функции (отображения). Перейдем теперь к описанию фундаментального не только для математики понятия функциональной зависимости. Пусть Х и У вЂ” какие-то множества.
Говорят, что имеется функция, определенная на Х со значениями в У, если в силу некоторого закона у каждому элементу х Е Х соответствует элемент у Е У. В этом случае множество Х называется областью определения функции; символ х его общего элемента — аргументом функции или независимой переменной; соответствующий конкретному значению хо Е Е Х аргумента х элемент уо е У называют значением функции на элементе хо или значением функции при значении аргумента х = хо и обозначают через у (хо). При изменении аргумента х Е Х значения у = = 1(х) Е У, вообще говоря, меняются в зависимости от значений х.
По этой причине величину у = 1(х) часто называют зависимой переменной. 14 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Множество ~(Х):= (у Е У ~ Вх ((х Е Х) Л (у = ~(х)))) всех значений функции, которые она принимает на элементах множества Х, будем называть множеством значений или областью значений функции. В зависимости от природы множеств Х, У термин «функция» в различных отделах математики имеет ряд полезных синонимов: отображение, преобразование, морфизм, оператор, функционал. Отображение — наиболее распространенный из них, и мы его тоже часто будем употреблять. Для функции (отображения) приняты следующие обозначения: у: Х -+ У, Х вЂ” + У. Когда из контекста ясно, каковы область определения и область значений функции, используют также обозначения х»-«11х) или у = = Дх), а чаще обозначают функцию вообще одним лишь символом 1.
Две функции 11, гг считаются совпадаюигими или равными, если они имеют одну и ту же область определения Х и на любом элементе х Е Х значения 1'1(х), 1г1х) этих функций совпадают. В этом случае пишут З1 = гг. Если А С Х, а у: Х вЂ” «У — некоторая функция, то через ДА или Дл обозначают функцию р: А -+ У, совпадающую с у на множестве А. Точнее, Дл(х):= ~р(х), если х Е А.
Функция Дл называется сужением или ограничением функции у на множество А, а функция ~: Х вЂ” ~ У по отношению к функции р = Дл. А -+ У называется распространением или продолжением функции ~р на множество Х. Мы видим, что иногда приходится рассматривать функцию р: А — « -+ У, определенную на подмножестве А некоторого множества Х, причем область значений ~р(А) функции у тоже может оказаться не совпадающим с У подмножеством множества У. В связи с этим для обозначения любого множества Х, содержащего область определения функции, иногда используется термин область отправления функции, а любое множество У, содержащее область значений функции, называют тогда облас«пью ее прибытия. Итак, задание функции (отображения) предполагает указание тройки (Х, у, У), где 16 ГЛ.
1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Это — известное (одномерное) преобразование Лоренца' ), играющее фундаментальную роль в специальной теории относительности; с— скорость света. Пример 4. Проектирование рг1. Х1 х Х2 — + Х1, задаваемое соотрг1 ветствием Х1 х Х2 Э (х1, х2) 1 х1 Е Х1, очевидно, является функцией. Аналогичным образом определяется вторая проекция рг2. Х1 х Х2 -+ -Ф Х2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
