1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Указаны различные приложения интеграла, в том числе приводящие к несобственному интегралу (например, работа выхода из поля тяготения и вторая космическая скорость) или к эллиптическим функциям (движение в поле тяжести при наличии связей, маятник). Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных довольно геометрично. В нем, например, рассмотрены такие важные и полезные следствия теоремы о неявной функции, как криволинейные координаты и локальное приведение к каноническому виду гладких отображений (теорема о ранге) и функций (лемма Морса), а также теория условного экстремума. Результаты, относящиеся к теории непрерывных функций и дифференциальному исчислению, подытожены и изложены в общем инвариантном виде в двух главах, которые естественным образом примыкают к дифференциальному исчислению вещественнозначных функций нескольких переменных.
Эти две главы открывают вторую часть курса. Вторая книга, в которой, кроме того, изложено интегральное исчисление функций многих переменных, доведенное до общей формулы Ньютона-Лейбница — Стокса, приобретает, таким образом, определенную целостность. Более полные сведения о второй книге мы поместим в предисловии к ней, а здесь добавим только, что кроме уже перечисленного материала она содержит сведения о рядах функций (степенных рядах и рядах Фурье в том числе), об интегралах, зависящих от параметра (включая фундаментальное решение, свертку и преобразование Фурье), а также об асимптотических разложениях (они обычно мало представлены в учебной литературе).
Остановимся теперь на некоторых частных вопросах. О введении. Вводного обзора предмета я не писал, поскольку большинство начинающих студентов уже имеют из школы первое представление о дифференциальном и интегральном исчислении и его приложениях, а на большее вступительный обзор вряд ли мог бы претендовать. Вместо него я в первых двух главах довожу до определенной ПБолее «сильные» интегралы> как известно, требуют более кропотливых и выбивающихся из основного русла теоретико-множественных рассмотрений, мало что прибавляя к эффективному аппарату анализа, который и должен быть освоен в первую очередь.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ ХЧП математической завершенности представления бывшего школьника о множестве, функции, об использовании логической символики, а также о теории действительного числа. Этот материал относится к формальным основаниям анализа и адресован в первую очередь студенту-математику, который в какой-то момент захочет проследить логическую структуру базисных понятий и принципов, используемых в классическом анализе. Собственно математический анализ в книге начинается с третьей главы, поэтому читатель, желающий по возможности скорее получить в руки эффективный аппарат и увидеть его приложения, при первом чтении вообще может начать с главы П1, возвращаясь к более ранним страницам в случае, если что-то ему покажется неочевидным и вызовет вопрос, на который, надеюсь, я тоже обратил внимание и предусмотрительно дал ответ в первых главах.
О рубрикации. Материал обеих книг разбит на главы, имеющие сплошную нумерацию. Параграфы нумеруются в пределах каждой главы отдельно; подразделения параграфа нумеруются только в пределах этого параграфа. Теоремы, утверждения, леммы, определения и примеры для большей логической четкости выделяются, а для удобства ссылок нумеруются в пределах каждого параграфа. О вспомогательном материале. Несколько глав книги написаны как естественное окаймление классического анализа. Это, с одной стороны, уже упоминавшиеся главы 1, П, посвященные его формально-математическим основаниям, а с другой стороны, главы 1Х, Х, ХУ второй части, дающие современный взгляд на теорию непрерывности, дифференциальное и интегральное исчисление, а также глава Х1Х, посвященная некоторым эффективным асимптотическим методам анализа.
Вопрос о том, какая часть материала этих глав включается в лекционный курс, зависит от контингента слушателей и решается лектором, но некоторые вводимые здесь фундаментальные понятия обычно присутствуют в любом изложении предмета математикам. В зак.почение я хотел бы поблагодарить тех, чья дружеская и квалифицированная профессиональная помощь была мне дорога и полезна при работе над этой книгой. Предлагаемый курс довольно тщательно и во многих аспектах согласовывался с последующими современными университетскими математическими курсами — такими, например, как дифференциальные ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ ХНП1 уравнения, дифференциальная геометрия, теория функций комплексного переменного, функциональный анализ.
В этом отношении мне были весьма полезны контакты и обсуждения с В. И. Арнольдом и, особенно многочисленные, с С. П. Новиковым в период совместной работы в экспериментальном потоке при отделении математики. Много советов я получил от Н.В. Ефимова, заведующего кафедрой математического анализа механико-математического факультета МГУ. Я признателен также коллегам по кафедре и факультету за замечания к ротапринтному изданию моих лекций. При работе над книгой ценными оказались предоставленные в мое распоряжение студенческие записи моих лекций последнего времени, за что я благодарен их владельцам. Я глубоко признателен официальным рецензентам издательства Л.
Д. Кудрявцеву, В. П. Петренко, С. Б. Стечкину за конструктивные замечания, значительная часть которых учтена в предлагаемом читателю тексте. Москва, 1980 год В. Зорич ГЛАВА 1 НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИх1ЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНА'ЧЕНИЯ ~ 1. Логическая символика 1. Связки и скобки. Язык этой книги, как и большинства математических текстов, состоит из обычного языка и ряда специальных символов излагаемых теорий. Наряду с этими специальными символами, которые будут вводиться по мере надобности, мы используем распространенные символы математической логики, Л, Ч, =», <=» для обозначения соответственно отрицания «не» и связок «и», «или>, «влечет», «равносильно»1) .
Возьмем, например, три представляющих и самостоятельный интерес высказывания: Ь. «Если обозначения удобны для открытий..., то поразительным образом сокращается работа мысли» (Г. Лейбницз)). Р. «Математика — это искусство называть разные вещи одинаковыми именами» (А.
Пуанкарез) ). ОВ логике вместо символа д чаще используется символ 8«. Символ ~ импликации логики чаще пишут в виде -+, а отношение равносильности- — в виде « — + или ++. Однако мы будем придерживаться указанной в тексте символики, чтобы не перегружать традиционный для анализа знак — «предельного перехода. ЕГ.В. Лейбниц (1646 — 1716) — выдающийся немецкий ученый, философ и математик, которому наряду с Ньютоном принадлежит честь открытия основ анализа бесконечно малых. ЮА. Пуанкаре (1854 — 1912) †французск математик, блестящий ум которого преобразовал многие разделы математики и достиг ее фундаментальных приложений в математической физике.
2 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ С. «Великая книга природы написана языком математики» (Г. Галилей' ) ). Тогда в соответствии с указанными обозначениями: Мы видим, что пользоваться только формальными обозначениями, избегая разговорного языка, — не всегда разумно. Мы замечаем, кроме того, что в записи сложных высказываний, составленных из более простых, употребляются скобки, выполняющие ту же синтаксическую функцию, что и при записи алгебраических выражений.
Как и в алгебре, для экономии скобок можно договориться о «порядке действий». Условимся с этой целью о следующем порядке приоритета символов: При таком соглашении выражение — А Л В Ч С =» Р следует расшифровать как (((. А) Л В) Ч С) ~ Р, а соотношение А Ч В =» С— как (А ч' В) ~ С, но не как А Ч (В ~ С). Записи А =» В, означающей, что А влечет В или, что то же самое, В следует из А, мы часто будем придавать другую словесную интерпретацию, говоря, что В есть необходимый признак или необходимое условие А и, в свою очередь, А — достаточное условие или достаточный признак В. Таким образом, соотношение А ~ В можно прочитать любым из следующих способов: А необходимо и достаточно для В; А тогда и только тогда, когда В; ПГ. Галилей (1564 — 1б42) — итальянский ученый, крупнейший естествоиспытатель. Его труды легли в основу всех последующих физических представлений о пространстве и времени.
Отец современной физической науки. 11. ЛОГИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА А, если и только если В; А равносильно В. Итак, запись А «=» В означает,что А влечет В и, одновременно, В влечет А. Употребление союза и в выражении А А В пояснений не требует. Следует, однако, обратить внимание на то, что в выражении А М В союз или неразделительный, т. е. высказывание А Л~ В считается верным, если истинно хотя бы одно из высказываний А, В. Например, пусть х — такое действительное число, что хэ — Зх+ 2 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
