1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пример 5. Пусть Р(М) — множество всех подмножеств множества М. Каждому множеству А Е Р(М) поставим в соответствие множество СыА Е Р(М), т. е. дополнение к А в М. Тогда получим отображение См: Р(М) — 1 Р(М) множества Р(М) в себя. Пример 6. Пусть Е С М. Вещественнозначную функцию Хе: М -+ К, определенную на множестве М условиями (Хе(х) = 1, если х Е Е Е) А (Хе(х) = О, если х й СМЕ), называют характеристической функцией множества Е. Пример 7. Пусть М(Х;У) — множество отображений множества Х в множество У, а хо — фиксированный элемент из Х. Любой функции у Е М(Х; У) поставим в соответствие ее значение у(хо) Е е У на элементе хо.
Этим определяется функция Е: М(Х;У) — ь У. В частности, если У = К, т.е. если У есть множество действительных чисел, то каждой функции у': Х -+ К функция Е: М(Х; К) — ь К ставит в соответствие число Е(у) = Дхо). Таким образом, Е есть функция, определенная на функциях. Для удобства такие функции называют функционалами. Пример 8. Пусть à — — множество кривых, лежащих на поверхности (например, земной) и соединяющих две ее фиксированные точки.
Каждой кривой у Е Г можно сопоставить ее длину. Тогда мы получим функцию Е: Г -+ К, которую часто приходится рассматривать с целью отыскания кратчайшей линии или, как говорят, геодезической линии между данными точками на поверхности. Пример 9. Рассмотрим множество М(К;К) всех вещественнозначных функций, определенных на всей числовой оси К. Фиксирован ПГ. А.,Лоренц (1853 — 1928) — выдающийся голландский физик-теоретик. Указанные преобразования Пуанкаре назвал в честь Лоренца, стимулировавшего исследование симметрий уравнений Максвелла.
Они существенно использованы Эйнштейном в сформулированной им в 1905 году специальной теории относительности. 17 вЗ. ФУНКЦИЯ число ьь Е К, каждой функции у Е М(К;К) поставим в соответствие функцию у, Е М(К; К), связанную с ней соотношением ~,(х) =фх + а). Функцию ~,(л) обычно называют сдвигом на а функции Дх). Возникающее при этом отображение А: М(К; К) -+ М(К; К) называется оператором сдвига. Итак, оператор А определен на функциях и значениями его также являются функции: ь, = Аьу).
Рассмотренный пример мог бы показаться искусственным, если бы мы на каждом шагу не видели реальные операторы. Так, любой радиор приемник есть оператор у + у, преобразующий электромагнитные сигналы 7" в звуковые ~; любой из наших органов чувств является оператором (преобразователем) со своими областью определения и областью значений. Пример 10. Положение частицы в пространстве определяется упорядоченной тройкой чисел (х, у, г), называемой ее координатами в пространстве. Множество всех таких упорядоченных троек можно себе мыслить как прямое произведение К х К х К = Кз трех числовых осей К.
При движении в каждый момент времени Ф частица находится в некоторой точке пространства Кз с координатами (х(~), у(~), г(~)). Таким образом, движение частицы можно интерпретировать как отображение у: К вЂ” ь Кз, где К вЂ” ось времени, а Кз — трехмерное пространство. Если система состоит из и частиц, то ее конфигурация задается положением каждой из частиц, т. е.
упорядоченным набором (хь, уь, гь, хг, уг, гг,..., хьь, у„, гьь) из Зп чисел. Множество всех таких наборов называется конфигурационным пространством систеьяы п частиц. Следовательно, конфигурационное пространство системы и частиц можно интерпретировать как прямое произведение Кг х Кз х ... х Кз = Кз" и экземпляров пространства Кз. Движению системы из и частиц отвечает отображение 7: К + Кз" оси времени в конфигурационное пространство системы.
Пример 11. Потенциальная энергия У механической системы связана с взаимным расположением частиц системы, т. е. определяется конфигурацией, которую имеет система. Пусть ьь' — множество реально возможных конфигураций системы. Это некоторое подмножество конфигурационного пространства системы. Каждому положению ь7 Е Я отвечает некоторое значение П(д) потенциальной энергии систе- 18 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ мы.
Таким образом, потенциальная энергия есть функция П: Я -+ К, определенная на подмножестве Я конфигурационного пространства со значениями в области й действительных чисел. Пример 12. Кинетическая энергия К системы и материальных частиц зависит от их скоростей. Полная механическая энергия системы Е = К + П, т.е. сумма кинетической и потенциальной энергий, зависит, таким образом, как от конфигурации о системы, так и от набора о скоростей ее частиц.
Как и конфигурация д частиц в пространстве, набор о, состоящий из и трехмерных векторов, может быть задан упорядоченным набором из Зп чисел. Упорядоченные пары (д, о), отвечающие состояниям нашей системы, образуют подмножество Ф в прямом произведении йз" х йз" = йв", называемом фазовым пространством системы и частиц (в отличие от конфигурационного пространства йзп ). Полная энергия системы является, таким образом, функцией Е: Ф -+ К, определенной на подмножестве Ф фазового пространства йв" и принимающей значения в области й действительных чисел. В частности, если система замкнута, т. е.
на нее не действуют внешние силы, то по закону сохранения энергии в любой точке множества Ф состояний системы функция Е будет иметь одно и то же значение Ев Е и. 2. Простейшая классификация отображений. Когда функцию ~: Х вЂ” + У называют отображением, значение ~(х) Е У, которое она принимает на элементе х Е Х, обычно называют образом элемента х. Образом множества А С Х при отображении 1: Х -+ У называют множество ДА):= (у Е У ~ Л х ((х Е А) А (у = ~(х)))) тех элементов У, которые являются образами элементов множества А. Множество (В):= (х Е Х ( ((х) Е В) тех элементов Х, образы которых содержатся в В, называют прообразом (или полным прообразом) множества В С У (рис. 6).
Про отображение 1': Х вЂ” ~ У говорят, что оно сюрьективно (или есть отображение Х на У), если ~(Х) = У; 23. ФУНКЦИЯ 19 Рис, б. иньективно (или есть вложение, иньекцил), если для любых элементов х1, х2 множества Х (,1 (х1) У(х2)) ~ (х1 х2)~ т. е.
различные элементы имеют различные образы; биективно (или взаимно однозначно), если оно сюръективно и инъективно одновременно. Если отображение ~: Х -+ У биективно, т.е. является взаимно однозначным соответствием между элементами множеств Х и У, то естественно возникает отображение 1: У-+Х, которое определяется следующим образом: если у(х) = у, то у 1(у) = = х,т.е. элементу у е У ставится в соответствие тот элемент х е Х, образом которого при отображении 1' является у. В силу сюръективности у такой элемент х е Х найдется, а ввиду инъективности ( он единственный.
Таким образом, отображение 1 ' определено корректно. Это отображение называют обраеаным по отношению к исходному отображению ('. Из построения обратного отображения видно, что у 1: У вЂ” 1 Х само является биективным и что обратное к нему отображение (1 1) Х -+ У совпадает с у: Х -+ У. Таким образом, свойство двух отображений быть обратными является взаимным: если 1 ' — обратное для 1, то, в свою очередь, ('— обратное для у 20 ГЛ. 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Заметим,что символ 7' '(В)прообраза множества В С У ассоциируется с символом 7" 1 обратной функции, однако следует иметь в виду, что прообраз множества определен для любого отображения 7": Х вЂ” » -+ У, даже если оно не является биективным и, следовательно, не имеет обратного. 3.
Композиция функций и взаимно обратные отображения. Богатым источником новых функций, с одной стороны, и способом расчленения сложных функций на более простые — с другой, является операция композиции отображений. Если отображения 7": Х -+ У и д: У -+ Я таковы, что одно из них (в нашем случае д) определено на множестве значений другого (~), то можно построить новое отображение доу: Х вЂ” + Я, значения которого на элементах множества Х определяются формулой (д о 7)(х);= д(7(х)), Построенное составное отображение д е !' называют композицией отображения 7" и отображения д (в таком порядке!). Рисунок 7 иллюстрирует конструкцию композиции отображений 7" ид.
Рис. 7. С композицией отображений вы уже неоднократно встречались как в геометрии, рассматривая композицию движений плоскости или пространства, так и в алгебре при исследовании «сложных» функций, полученных композицией простейших элементарных функций. ~3. ФУНКЦИЯ 21 Операцию композиции иногда приходится проводить несколько раз подряд, и в этой связи полезно отметить, что она ассоциативна, т. е.
6 о (д о (') = (6 о д) о ~, м Действительно, Ьо(д ° Х)(х) = Ь((доУНх)) = Ь(д(У( ))) = = (6 о д)(Дх)) = ((6 о д) о ~)(х). Это обстоятельство, как и в случае сложения или умножения нескольких чисел, позволяет опускать скобки, предписывающие порядок спаривания. Если в композиции ~„о...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
