1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Простейший вариант теоремы о неявной функции (560). 3. Переход к случаю зависимости Г(з',...,з,у) = 0 (564). 4. Теорема о неявной функции (567). Задачи и упражнения 557 573 ~ 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции......... 1. Теорема об обратной функции (577). 2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду (582). 3. Зависимость функций (587).
4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших (589). 5. Лемма Морса (592). Задачи и упражнения 577 596 з 7. Поверхность в Ив и теория условного экстремума......... 1. Поверхность размерности л в К" (598). 2. Касательное пространство (603). 3. Условный экстремум (609). Задачи и упражнения 597 Некоторые задачи коллоквиумов 630 Вопросы к экзамену 640 645 Дополнение 1. Математический анализ (вводная лекция для первого курса) ГХ ОГЛАВЛЕНИЕ Дополнение 2. Начальные сведения о численных методах рещение уравнений 655 Дополнение 3.
Преобразование Лежандра (первое обсуждение) 659 Дополнение 4. Интеграл Римана — Стилтьеса, дельта-функция и идея обобщенных функций (начальные представления) 663 Дополнение 5. Теорема о неявной функции (альтернативное изложение) 673 Литература 684 Предметный указатель 688 Указатель имен 699 ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМ'У ИЗДАНИЮ От своего имени и от имени будущих читателей я благодарю всех, кто нашел воэможность, живя в разных странах, сообщить в издательство или мне лично о погрешностях (опечатках, ошибках, пропусках), замеченных в русском, английском, немецком или китайском изданиях этого учебника.
Замечания учтены и соответствующая правка внесена в текст предлагаемого шестого русского издания. Как выяснилось, книга пригодилась и физикам — очень этому рад, Во всяком случае я действительно стремился сопровождать формальную теорию содержательными примерами ее применения как внутри математики,так и вне нее. Шестое издание содержит ряд дополнений, которые, возможно, будут полезны студентам и преподавателям. Во-первых, это некоторые материалы реальных лекций (например записи двух вводных обзорных лекций первого и третьего семестров) и, во-вторых, это математические сведения (порой актуальные, например связь многомерной геометрии и теории вероятностей), примыкающие к основному предмету учебника. Москва, 2011 год В.
Зорич ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЯТОМ'У И ТРЕТЬЕМо' ИЗДАНИЯМ В пятом издании исправлены замеченные погрешности и сделана ло- кальная правка текста четвертого издания. Москва, 2006 год В. Зорич Эта часть 1 книги выходит вслед за выпущенной ранее тем же издательством более продвинутой частью 11 курса. Для единообразия и преемственности оформление текста приведено в соответствие с уже принятым в части 11. Рисунки выполнены заново. Исправлены замеченные опечатки, добавлены некоторые задачи, расширен список дополнительной литературы.
Более полные сведения о материале книги и некоторых особенностях курса в целом даны ниже в предисловии к первому изданию. В. Зорич Москва, 2001 год ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМ.у' ИЗДАНИКЭ В этом, втором издании книги, наряду с попыткой устранить опечатки первого1~, сделаны отдельные изменения изложения (в основном это касается вариантов доказательств отдельных теорем) и добавлены некоторые новые задачи, как правило, неформального характера. В предисловии к первому изданию этого курса анализа уже дана его общая характеристика, указаны основные принципы и направленность изложения.
Здесь я хотел бы сделать несколько практических замечаний, связанных с использованием книги в учебном процессе. Любым учебником обычно пользуются как студент, так и преподаватель — каждый для своих целей. Сначала и тот, и другой заинтересованы иметь книгу, где, помимо формально необходимого минимума теории, имеются по возможности разнообразные содержательные примеры ее использования, пояснения, исторический и научный комментарии, демонстрируются взаимосвязи, указываются перспективы развития.
Но в момент подготовки к экзамену студент желает видеть тот материал, который выносится на экзамен. Преподаватель точно так же, завершая подготовку курса, отбирает только тот материал, который может и должен быть изложен в отведенное курсу время. В этой связи следует иметь в виду, что текст данного учебника, конечно, заметно шире того конспекта лекций, на базе которого он написан. Что составило зту разницу? Во-первых, к конспекту добавлен, по существу, целый задачник, состоящий, не столько из упражнений, ПНе следует огорчаться: вместо исправленных опечаток не сохранившегося набора первого издания заведомо появится комплект новых опечаток, так оживляющих, по мнению Эйлера, чтение математического текста.
ХП1 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ сколько из содержательных задач естествознания или собственно математики, примыкающих к соответствующим разделам теории, а иногда и существенно расширяющих их. Во-вторых, в книге, конечно, разобрано много больше примеров, демонстрирующих теорию в действии, чем это удается сделать на лекциях. Наконец, в-третьих, ряд глав, параграфов или отдельных пунктов сознательно написаны как дополнение к традиционному материалу. Об этом сказано в разделах»0 введении» и «О вспомогательном материале» предисловия к первому изданию.
Напомню также, что в предисловии к первому изданию я желал предостеречь и студента, и начинающего преподавателя от чрезмерно долгого сквозного изучения вводных формальных глав. Это заметно откладывает собственно анализ и сильно смещает акценты. Чтобы показать, чтб на деле остается в реальном лекционном курсе от этих формальных вводных глав, и чтобы в концентрированном виде изложить программу такого курса в целом, а также отметить возможные ее вариации в зависимости от контингента слушателей, я в конце книги привожу некоторые задачи коллоквиумов, а также экзаменационные вопросы последнего времени за первые два семестра, к которым относится эта часть 1. Но экзаменационным вопросам профессионал, конечно, увидит и порядок изложения, и степень развития в нем фундаментальных понятий и методов, и привлечение порой материала второй части учебника, когда рассматриваемый в первой части вопрос уже доступен слушателям в более общем виде.
В заключение хотел бы поблагодарить знакомых и незнакомых мне коллег и студентов за отзывы и конструктивные замечания к первому изданию курса. Особенно интересно и полезно мне было прочитать рецензии А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда. Разные по объему, форме и стилю, они в профессиональном плане имели так ободряюще много общего. В. Зорич Москва, 1997 год ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Создание Ньютоном и Лейбницем три столетия тому назад основ дифференциального и интегрального исчисления даже по нынешним масштабам представляется крупнейшим событием в истории науки вообще и математики в особенности. Математический анализ (в широком смысле слова) и алгебра, переплетаясь, образовали теперь ту корневую систему, на которой держится разветвленное дерево современной математики и через которую происходит его основной живительный контакт с внематематической сферой.
Именно по этой причине основы анализа включаются как необходимый элемент даже самых скромных представлений о так называемой высшей математике, и, вероятно, поэтому изложению основ анализа посвящено большое количество книг, адресованных различным кругам читателей. Эта книга в первую очередь адресована математикам, желающим (как и должно) получить полноценные в логическом отношении доказательства фундаментальных теорем, но вместе с тем интересующимся также их внематематической жизнью. Особенности настоящего курса, связанные с указанными обстоятельствами, сводятся в основном к следующему. По характеру изложения.
В пределах каждой большой темы изложение, как правило, индуктивное, идущее порой от постановки задачи и наводящих эвристических соображений по ее решению к основным понятиям и формализмам. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ ХЪ' Подробное вначале, изложение становится все более сжатым по мере продвижения по курсу. Упор сделан на эффективном аппарате гладкого анализа. При изложении теории я (в меру своего понимания) стремился выделить наиболее существенные методы и факты и избежать искушения незначительного усиления теорем ценой значительного усложнения доказательств. Изложение геометрично всюду, где это представлялось ценным для раскрытия существа дела.
Основной текст снабжен довольно большим количеством примеров, а почти каждый параграф заканчивается набором задач, которые, надеюсь, существенно дополняют даже теоретическую часть основного текста. Следуя великолепному опыту Полна и Сеге, я часто старался представить красивый математический или важный прикладной результат в виде серий доступных читателю задач. Расположение материала диктовалось не только архитектурой математики в смысле Бурбаки, но и положением анализа как составной части единого математического или, лучше сказать, естественно-математического образования. По содержанию. Курс издается в двух книгах (части 1 и П). Настоящая первая часть содержит дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной и дифференциальное исчисление функций многих переменных. В дифференциальном исчислении выделена роль дифференциала как линейного эталона для локального описания характера изменения переменной величины.
Кроме многочисленных примеров использования дифференциального исчисления для исследования функциональных зависимостей (монотонность, экстремумы), показана роль языка анализа в записи простейших дифференциальных уравнений — математических моделей конкретных явлений и связанных с ними содержательных задач. Рассмотрен ряд таких задач (например, движение тела переменной массы, ядерный реактор, атмосферное давление, движение в сопротивляющейся среде), решение которых приводит к важнейшим элементарным функциям.
Полнее использован комплексный язык, в частности, выведена формула Эйлера и показано единство основных элементарных функций. Интегральное исчисление сознательно изложено по возможности на наглядном материале в рамках интеграла Римана. Для большинства ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ ХЪ'1 приложений этого вполне хватаетц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
