1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 9
Текст из файла (страница 9)
При этом для любых р, д й 1 выполняется равенство: 46 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной й Е (с,д), для которых функция Р не является дифференцируемой в точке х = <р(Ь). В силу условия теоремы, множества Ег и Ез не более чем счетны и, значит, Е = Е1 О Ез не более чем счетное множество. Возьмем произвольно значение й Е (с, д) ~ Е. Тогда $ не принадлежит Е1 и, следовательно, р дифференцируема в точке Ь Е У.
Точка 1 не принадлежит также множеству Ез и, значит, функция Р дифференцируема в точке х = р(1). Отсюда вытекает, что С = Р о у дифференцируема в точке ~. При этом (2.20) Мы получаем, таким образом, что функция С на отрезке У непрерывна и дифференцируема в основном в интервале (с,д), и равенство (2.20) в ы п о л н я е т с я в этом интервале в основном. Это означает, что С = Е о у есть первообразная функции (1 о у) у' на отрезке,У.
Пусть, далее, р и д — две произвольные точки отрезка У. Тогда Я ю(а) У(~о(1))~о'(г) <Н = Р(~р(д)) — Г(~р(р)) = У(х) цх. Теорема тем самым доказана. ° П ив ем некото ые п остые к ите ии остаточные ля выполнения словий тео емы 2.7. Пусть даны Функции У: (а, Ь) — С и ~о: 1 — К, где 1 = (а, Ь) и ,У = (с, Н) — промежутки в Й, причем ~р(У) С 1. Предположим, что функция У интегрируема по промежутку 1, а ао непрерывна и в основном дифференцируема в интервале (с, И). Пусть Р есть первообразная функции 1. Пусть Е~ есть множество всех точек х Е (а, Ь), для которых н е в ы п о л н я е т с я равенство Р'(х) = 1(х), Е" — совокупность всех точек 1 Е (с,д), в которых функция р н е и м е е т конечной производной.
Пусть 5 = Е" ).) ~р '(Е'). Если Ф ф Я, то Ф ф Е", функция ~р в точке $ имеет конечную производную и С = Р о у дифференцируема в точке $, причем Отсюда ясно, что множество Е точек $ Е (с,д), для которых н е в ы п о л н я е т с я равенство (2.20), будет не более чем счетным, если множество Я не более чем счетно. 47 З 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства Укажем ва важных частных сл чал ког а можно тве ж ать что Я не более чем счетное множество. А.
Множество Я не более чем счетно, если 1О есть строго монотонная непрерывная функция. Действительно, в этом случае 1о отображает промежуток 7 в Й взаимно однозначно, откуда следует, что множество р 1(Е'), а вместе с ним и множество Я не более чем счетны. В. Если множество Е' пусто, то Я не более чем счетно (очевидно, в этом случае ~р (Е') есть пустое множество). Как следует из сказанного выше, если для функций 7" и 1о имеет место один из случаев А, В, то эти функции удовлетворяют условиям теоремы 2.7.
В случае А налагается некоторое достаточно жесткое ограничение на функцию у. В случае В от функции о1ничего дополнительно не требуется,но зато вводится некоторое ограничение на 7". В связи с этим полезно заметить, что, как будет показано далее (см. З 3), если функция у непрерывна в точке х Н (а, Ь), то ее первообразная Е в этой точке дифференцируема, причем Г'(х) = 1(х). Отсюда следует, что условие В выполняется, в частности, в том случае, когда функциями' — непрерывна. 2.7.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ Докажем теорему, которая позволяет представить разность между полиномом Тейлора функции в точке и самой функцией в виде некоторого интеграла. ° Теорема 2.8 (формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме). Пусть 7: (а, Ь) — + С есть функция класса С" 1. Предположим, что ее производная порядка и — 1 дифференцируема в (а, Ь) в основном. Тогда для любых х, хо Н (а, Ь) выполняется равенство: Прежде чем перейти к доказательству теоремы, сделаем некоторые напоминания.
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Функция ~: (а, Ь) — С, согласно определению, данному в з 3 главы 4, считается принадлежащей классу С, где гл ) Π— целое, если у имеет в (о, Ь) все производные порядка не выше т, причем производная ~ есть непрерывная в (а, Ь) функция.
В случае т = О вместо С мы пишем просто С. Условие 1 Е С означает, что функция ~ — непрерывна. Отметим еше, что в сумме, стоящей в равенстве (2.21) справа, под производной нулевого порядка функции, как и ранее, понимается сама функция. Доказательство теоремы. Пусть функция у удовлетворяет всем условиям теоремы. Фиксируем произвольно точку х и рассмотрим функцию (2.22) переменной й Е (а, Ь).
Функции ~,,г"',.('",..., ~~" Ц непрерывны в каждой точке й Е (о, д). При л ( п — 1 функция ~~~~ дифференпируема во всех точках интервала (а, Ь), а производная ~~" ~ дифференпируема в (а, Ь) в основном. Это означает, что существует не более чем счетное множество Е С (а, Ь) такое, что функция ~~" ~~ дифференцируема во всякой точке 1 Е (о, Ь) ~ Е. Из формулы (2.22), очевидно, следует, что определеннзл ею функция г непрерывна в (а, Ь) и дифференпируема в каждой точке Ф Е (а, Ь) 1Е.
Воспользуемся теперь результатом леммы 6.4 главы 4, согласно которой (2.23) для всякого й Е (а, Ь) ~ Е. Функция г, таким образом, непрерывна и дифференпируема в основном в промежутке (а, Ь). Величина г(й) обращается в нуль при 8 = х. Отсюда получаем, что ~0 ж г(хе) = г(хе) — г(х) = г'(1) ~й = — г'($) <И. 49 3 3. Достаточные условня ннтегрнруемостн Подставляя сюда выражение для производной г'Я, которое дается равенством (2.23), получаем: Теорема тем самым доказана.
° Тео ема28 ешаетз а восстановления нк иипо ее и оизво ной по ка п. Формула (2.21), в частности, позволяет заключить, что функция 1 однозначно определена, если известны ее производная порядка п в интервале (а, Ь) и значения самой функции 1 и всех ее производных порядка не выше и — 1 в произвольной точке хо Е (а, Ь). ~3. достаточные условия интегрируемости Задача этого параграфа — указать достаточно общий класс функций, интегрируемых по некоторому промежутку (а, Ь) С Й.
Основной результат таков. Если множество точек разрыва функции 1, определенной на интервале (а, Ь), не более чем счетно и существуют две функции р н ф, интегрируемые по промежутку (а, Ь), такие, что для всех х е (а, ь) выполняются неравенства у(х) < 1(х) < ф(х), то функция 1 также ннтегрнруема по промежутку (а, Ь). 3.1. Понятии Аддитивной функ ии отрнзкА 3.1.1. Далее, под словом «отрезок» понимается всегда замкнутый отрезок 11 = [хы хз] С и Пусть дан произвольный промежуток 1 = (а, Ь) с Й. Множество всех отрезков, содержащихся в 1, будем обозначать символом Г(1). Пусть м = [хм хе] есть ограниченный отрезок в Й.
Это означает, что х1 и хз конечны, — со < х1 < хз < со. Символом [Ь[ будем обозначать его д л и н у, то есть [Л[ = хз — х1. Пусть хе есть точка промежутка 1 С Й и (Ь„= [х„,у„]). ен— последовательность отрезков, содержащихся в 1. Будем говорить, что данная последовательность отрезков с т я г и- 50 Гл. 5.
Интегральное исчисление функций одной переменной вается кточкехеприп- оо,еслихеЕЬа,тоестьх„<хе<у„ при каждом и и хе 1пп ха — 11щ Рта Если точка хе конечна, то последовательность отрезков (ХХ„)„ен стягивается к точке хе в том и только в том случае, если хе Е Ь„ при каждом п и [Ь„~ — О при и — + оо. Если последовательность отрезков (Ь„)„ен, содержащихся в промежутке 1, стягивается к точке хе Е 1, то для всякой окрестности ХХ точки хе найдется номер й такой, что для любого и > й отрезок гХ„ содержится в У.
Действительно, пустыХ = [х, р„). Тогда х — хе и у„- хе при и — ~ оо и, значит, найдется номер И Е Ы такой, что х Е У и у„Е У при каждом и > й. Так как окрестность У представляет собой некоторый промежуток множества Й, то для всякого и > й, очевидно, ХХ С У, что и требовалось доказать. Предположим, что всякому отрезку ХХ С 1 сопоставлено число Ф(ХХ) Е С. Тем самым определена функция Ф: Г(1) — С. Будем говорить, что Ф есть функция отрезка, заданная в промежутке 1. Пусть, например, дана функция 1, определенная в основном и интегрируемая на промежутке 1. Для произвольного отрезка ХХ = [хз, хз] С 1 положим: *з Хп11(ХХ) = 1(х) с1х.
Величина 1пФХ(ХХ) определена для любого отрезка ХХ С 1, и тем самым мы получаем некоторую функцию отрезка 1пСХ в промежутке 1. Пусть Ф есть функция отрезка, заданнал в промежутке 1. Пусть также даны точка хе Е Х и число Х Е С. Будем говорить, что Х есть и р е д е л функции отрезка Ф(Ь), когда отрезок ХХ стягивается к точке хе, если выполнено следующее условие: для всякого с > О можно указать окрестность У точки хе такую, что для любого отрезка Ь, который содержит точку хе н лежит в окрестности ХХ точки хе, выполняется неравенство: [Ф(Ь) — Х[ < с. В этом случае мы будем писать: Х = 1пп Ф(Ь). аО З 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
