1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 6
Текст из файла (страница 6)
действительно, так как функции Гг и Гг — непрерывны в этой точке, то 1пп Г(х) = 1пп (Гг(х) — Г1(с)) = О = Г(с), 1пп Г(х) = 1пп (Гг(х) — Гг(с)) = О = Г(с) х с+О х с+О и, значит, 1пп Г(х) = Г(с), х с что и доказывает непрерывность функции Г в точке с. Функция Г непрерывна и во всех других точках промежутка 1. Ь 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции 27 Действительно, пусть х Е 1, х ф с. Тогда в некоторой окрестности точки х функция Г совпадает: в случае х < с — с функцией Гг — Гг(с), а в случае х > с — с функцией Рз — Рз(с). Так как функции Рг и Рз непрерывны, отсюда следует непрерывность функции Г в точке х. Д о к аж е м теперь, что Г' = 1(х) в интервале (а,Ь) в основном. Пусть Еъ С (а,с) и Ез С (с, Ь) не более чем счетные множества такие, что дли любого х Е (а,с) 1 Ег фУнкциЯ Рг диффеРенциРУема, причем Рг'(х) = 1(х), и во всякой точке х Е (с, Ь) 1Ез дифференцируема функция Гз, причем Рз'(х) = 1(х).
Положим Е = Ез 0 Ез 0 (с). Множество Е не более чем счетно. Возьмем произвольно точку х Е (а, Ь) 1 Е. Тогда х С Ег и х ф Ез и, кроме того, х ~ с, откуда вытекает, что либо х < с, либо х > с. В случае х < с функция Рз дифференцируема в точке х, причем Рг'(х) = 1(х). Функция Г в окрестности точки х совпадает с Рг — Рг(с), и, значит, Г дифференцируема в точке х, причем Г'(х) = 1(х).
В случае х > с функция Рз дифференцируема в точке х. Так как в окрестности данной точки Г = Ря — Рз(с), то Г дифференцируема в точке х и на этот раз, причем Г'(х) = Х(х). Итак, мы построили функцию Р, непрерывную в каждой точке х Е 1 и такую, что во всякой точке х б (а, Ь) 1 Е, где Е не более чем счетно, функция Г дифференцируема, причем Г'(х) = Х(х). Функция Р удовлетворяет всем условиям определения первообразной функции Х на промежутке 1. Теорема доказана.
° Теорема 1.4 дает некоторое с ство пост ренин новых интег немых к ий из же имею ихся. Именно, справедливо следующее предложение. Следствие. Пусть даны промежуток 1 = (а, Ь), точка с й (а, Ь) и функции Хг . (а,с) — + С и 6: (с, Ь) — ~ С. Положим: Хг = 1 О [-оо, с], Хз = 1 й (-с, оо] .
Определим н о в у ю функцию Х: (а, Ь) — С, полагая Х(х) = Хг(х) лри х < с, 1(х) = Хз(х) при х > с и задавая 1(с) произвольно. Если функция Хг интегрируема по промежутку Хг, а Хз интегрируема по промежутку Хз, то У интегрируема по 1. Дохазательство. Действительно, из условий следствия вытекает, что функция Х, определенная указанным способом, интегрируема по каждому из частичных промежутков Хз и Хз, и, значит, согласно теореме 1.4, 1 интегрируема по целому промежутку Х = Хг 0 Хг. Следствие доказано. 28 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной ~2.
Определенные интегралы и их простейшие свойства В З 1 было введено понятие определенного интеграла. Напомним, что если комплексная функция у интегрируема по замкнутому промежутку [а, Ь], а функция Г есть первообразная функции ~ на [а, Ь], то разность Г(Ь) — Г(а) не зависит от выбора первообразной Г. Эта разность называется определенным интегралом или просто интегралом 4уннции (' по промежутку [а, Ь]. При этом полагают ь у(х) ах = Г(Ь) — Г(а).
а Исследование основных свойств определенного интеграла является главной задачей настоящего параграфа. 2.1. ЛинейнОсть ОНРеделенных интеГРАлОВ Пусть (' есть комплексная функция, определенная в основном в интервале (а,Ь) и интегрируемая по замкнутому промежутку [а,Ь], и Г: [а, Ь] — С вЂ” первообразная функции у на [а, Ь]. Тогда, согласно определению, данному в п. 1.3, ь Г(Ь) — Г(а) = у(х) сЬ.
а Для произвольной функции Ф: [а,Ь] — С разность Ф(Ь) — Ф(а) обозначается следующим образом: Ф(Ь) — Ф(а) = Ф(х) / = Ф(х) ~ Такая форма записи удобна в тех случаях, когда Ф(х) представляется посредством некоторого громоздкого выражения. Применяя эти обозначения, определение интеграла функции у по отрезку [а, Ь] можно записать следующим образом: ь | и=ь ь у(х) дх = Г(Ь) — Г(а) = Г(х) ( = Г(х) ) . (2.1) а 29 З 2.
Определенные интегралы и их простейшие свойства Числа а и Ь в выражении ь У(х) Их а (2.2) называются нижним и верхним пределами интеерировония определен- ного интеграла (2.2). Символ х, стоящий в (2.2) под знаком интеграла, называется переменной интеерировония, а У(х) Их называется подынтегрольным вьц~ожением. Переменная интегрирования может обозначаться и любой другой буквой, так что выражения ь ь ь | У(х) 4х, УИ) й, У(у) ду если в подынтегральное выражение входят еще какие-либо величины, то переменная интегрирования должна обозначаться символом, отличным от любого из тех, которые используются для их обозначения. Например, в выражении ь У(х,у) дх а вместо х можно поставить любую букву, кроме у. Если пределы интегрирования есть переменные величины, то выражения для о и Ь не должны содержать символ, используемый для обозначения переменной интегрирования.
(Это требование не имеет столь категорического характера, как предыдущее. В математических публикациях встречаются иногда формулы внца: У(х) дх и подобные ей.) а и т. д. обозначают одну и ту же величину. При выборе обозначения для переменной интегрирования должны соблюдаться следующие условия: Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Из теоремы 1.2, очевидно, следует, что если функция у интегрируема по отрезку [а, Ь', то также и функции В.е у и 1пз у интегрируемы по этому отрезку, причем ь ь ь ь В.е 1 [х) дх = Кеу[х) Йх, 1пь у[х) Ых = 1пьу[х) с1х. а а а а Теорема 2.1 [о линейности интеграла).
Если комплексные функции у" и д интегрируемы по замкнутому промежутку [а, Ь), то для любых Л Е С функция ЛУ + пд интегрируема по [а, Ь), причем выполняется > ьь равенство: ь ь ь | [~л ~~-~и )) а=~| я )н «-„ /д~ )а . о.з) а а Доказательство. Пусть Г и С суть первообразные на отрезке [а,Ь1 функций у и д, соответственно. Тогда, согласно теореме 1.1, ЛР + ИС есть первообразная функции Лу" + пд на промежутке [а, ). Мы получаем, таким образом, что функция Лу + рд интегрируема по промежутку [а, Ь). Согласно определению интеграла, имеем: ь | (ЛУ[х) + рд[х)) г1х = (Лг [Ь) + рС[Ь)) — (Лг 1а) + рС[а) ) = а что и требовалось доказать.
° 2.2. СВОЙСТВО МОНОТОННОСТИ ИНТЕГРАЛА 11окажем, что если функция, интегрируемая по замкнутому промежутку, неотрицательна, то интеграл от этой функции по данному промежутку также неотрицателен. Это свойство интеграла называется монотонностью. Употребление этого термина оправдывается теми следствиями данного утверждения, которые будут далее доказаны. З 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства ° Теорема 2.2. Предположим, что У есть вещественная функция, определенная в основном н интегрируемая на замкнутом промежутке ]и, Ь].
Если функция г" (х) неотрицательла, то | ь У(х) дх > О. (2.4) При этом если у(х) ~ О в ]а, Ь] в основном, то ь ,г"(х) сЬ > О. а (2.5) Доказательство. Пусть функция у удовлетворяет всем условиям теоремы и Г: [а, Ь] — К есть ее первообразная на отрезке ]а, Ь]. Как следует из теоремы 1.3, функция à — возрастающая, и, значит, Г(Ь) > Г(а). Отсюда | 1(х) дх = Г(Ь) — Г(а) > О, а и неравенство (2.4) доказано. Если У(х) ~ О в интервале (а, Ь) в основном, то У(х) > О в (а, Ь) в основном, и, значит, найдется не более чем счетное множество Ег такое, что для всякого х Е (а, Ь) ~ Е1 значение у(х) определено, причем выполняется неравенство 1(х) > О.
Из определения первообразной следует, что найдется не более чем счетное множество Ез такое, что в каждой точке х Е (а, Ь) ~ Ег функция Г дифференцируема и Г~(х) = у(х). Пусть Е = Ег 0 Ез. Множество Е не более чем счетно. Если х Е (а, Ь) ~ Е, то х ф Е1 и, значит, для этого х определено у(х), причем ,г"(х) > О. Палее, если х Е (а, Ь) 1 Е, то х ф Ез и, следовательно, для данного х функция Г дифференцируема и Г'(х) = у(х).
Мы получаем, таким образом, что существует такое не более чем счетное множество Е С (а, Ь), что в каждой точке х Е (а, Ь) ~ Е функция Г дифференцируема, причем Г~(х) > О. Пусть (а„9) есть произвольный интервал, содержащийся в (а, Ь). Этот интервал является несчетным множеством и, значит, найдется точка С Е (а, ~3), не принадлежащая множеству Е. Имеем: Г'(~) > О. Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной В силу следствия 2 теоремы 4.6 главы 4 из доказанного вытекает, что функция Г является строго возрастающей на промежутке [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
