1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Общая теорема о неявных функциях 2.1. Понятие индекса точки на плоскости относительно замкнутой кривой. Теорема о неподвижных точках................... 2.2. Доказательство основной теоремы алгебры ................. 3 3. Длина параметризованной кривой. Понятие интеграла Стилтьеса 3.1. Функции ограниченной вариации 3.2. Функции ограниченной вариации со значениями в банаховом пространстве. 3.3. Интеграл Стилтьеса. Определение интеграла дифференциаль ной формы первой степени по спрямляемой кривой.......... 3 4. Общее понятие кривой 4.1.
Понятие отношения эквивалентности...................... 4.2. Понятие кривой в метрическом пространстве............... 4.3. Натуральная параметризация кривой...................... 4.4. Регулярные кривые в пространстве м~.................... 4.5. Кривизна кривой . 339 . 344 ..358 ..358 .. 364 .. 367 ПРЕДИСЛОВИЕ Книга вторы части 1-й учебника иКурс математического анализа» содержит расширенный материал, основы которого также рассказываются студентам — математикам на первом году обучения в пределах отведенных лекционных часов программы — на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета.
Здесь также, как и в книге первой части 1-й, по большей части, каждая отдельная тема из дополнительного материала хотя бы один раз рассказывалась автором на лекциях. Книга вторая части 1-й учебника состоит из четырех глав — с 5-й по 8-ю. Глава 5 — «Интегральное исчисление функций одной переменной». Принятая здесь схема изложения теории интеграла является нетрадиционной.
Понятие интеграла определяется на основе понятия первообразной. Функция считается интегрируемой по некоторому промежутку, если она имеет в этом промежутке первообразную. При этом понятие первообразной понимается в более общем смысле, чем обычно. Именно, — функция г (х) считается первообразной функции 1(я) на некотором промежутке 1, если функция г непрерывна на этом промежутке, и множество точек, где она либо не имеет производной, либо равенство Е'(я) = у(х) не выполняется, является не более чем счетным. Таким образом, если г (х) есть первообразная функции У(я), то могут существовать особые точки, в которых производная г '(х) либо не существует, либо Р'(к) ~ 1(я).
Таких особых точек, однако, должно быть вне слишком много», а именно, — их должно быть не более чем счетное множество. Понятие счетного множества впервые используется именно в этой главе. Излагаемая в этой главе теория интеграла допускает упрощенный вариант, который получается, если в определении первообразной потребовать хонечность множества особых точек.
Постоинством принятого здесь способа изложения теории интеграла функций одной переменной является то, что операция интегрирования становится обратной к операции дифференцирования — всегда и без каких-либо дополнительных ограничений. Если функция У(х) является, в ухазанном выше смысле, первообразной некоторой непрерывной функции, то, Курс математического анализа, ч. 1, ки. 2 согласно определению, функция 1(х) автоматически будет интегрируемой. Это определение делает излишним специальное определение понятия несобственного интеграла.
Содержание интегрального исчисления сводится к изучению формальных свойств операпии интегрирования и установлению достаточно удобных критериев интегрируемости функции. Отметим, что при этом вся содержательная часть теории несобственных интегралов полностью сохраняется. Понятие интеграла имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и других разделах науки. В книге приводятся отдельные примеры на приложение понятия интеграла. В частности, приводятся формулы для вычисления объема тел вращения в пространстве, длины кривой, плошади плоской фигуры и другие. (Заметим, что задача о вычислении площади сыграла важную роль в истории развития интегрального и дифференциального исчислений.) Главы 6 и 7 посвящены изучению функций многих переменных.
Основная цель главы 6 — «Непрерывные отображения метрических пространст⻠— построить теорию предела и непрерывности в форме, достаточно общей с точки зрения дальнейших ее приложений, и, в то же время, достаточно удобной для применений. Здесь вводится понятие предела относительно оценочной функции. Иначе говоря, определяется, чтб значит, что функция у1х) стремится к данному пределу, когда некоторая фиксированная функция Л(х) (которая и называется оценочной) стремится к нулю. Вводится общее понятие метрического пространства и устанавливаются некоторые свойства таких пространств. Отметим, что известны различные «общие концепции предела».
Излагаемая здесь «концепция предела» не является самой общей из числа известных. Она приспособлена специально к случаю, когда речь идет об отображениях метрических пространств. Достоинством излагаемой здесь «концеппии предела», по мнению автора, является ее относительная простота.
В то же время, она вполне достаточна для решения рассматриваемых здесь задач. Для общей ситуации доказываются аналоги теорем о предельном переходе в неравенстве, о зажатой переменной, об операциях над пределами и другие. Понятие метрического пространства без каких-либо дополнительных ограничений является весьма общим. Для математического анализа нужны такие метрические пространства, в которых определены некоторые операции над элементами, а именно, — операции сложения элементов и умножения элемента на число. Пространства, удовлетворяющие этим условиям, есть нормированные векторные пространства.
Здесь описан класс множеств в произвольном метрическом пространстве, для которых верны теоремы, аналогичные теореме Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях и теореме Кантора о равномерной непрерывности непрерывной Предисловие функции. Это так называемые компактные множества. Доказываются аналоги теоремы Вейерштрасса и теоремы Кантора для функций на хомпактных подмножествах произвольного метрического пространства. «Дифференциальное исчисление функций многих переменных» рассматривается в главе 7. В дифференциальном исчислении функций многих переменных предполагается, что области определения исследуемых функций есть открытые множества и-мерного арифметического пространства )а".
Здесь определяются понятия производной функции многих переменных вдоль данного вектора и понятие частной производной. Вводятся понятия дифференциала и дифференцируемой функции многих переменных и устанавливаются достаточные условия дифференцируемости функции многих переменных, дается правило дифференцирования сложной функции, дифференциальная характеристика постоянных функций, доказывается теорема Эйлера об однородных функциях. Затем определяются производные высших порядков.
Приводится формула Тейлора для функций многих переменных и описывается техника вычисления производных высших порядков. Показывается, что свойства операции дифференцирования достаточны для того, чтобы с их помощью вычислить любую частную производную, которая требуется. Описываются приемы, позволяющие упорядочить и, в некоторых случаях, даже сократить работу, которая необходима для вычисления той или иной частной производной. Они могут применяться также для установления разного рода общих соотношений между функциями и их частными производными. В современных руководствах по математическому анализу дифференциал порядка г ) 1 определяется, как некоторая симметрическая полилинейная форма.
Обычно такой подход требует достаточно пространного алгебраического введения. Определение принятого здесь понятия дифференциала порядка г не требует привлечения какой-либо алгебраической техники, кроме той, которая нам уже известна. В главе 7 изучаются также вопросы применения дифференциального исчисления к отысканию точек экстремума дифференцируемой функции многих переменных. Заключительная часть 7-й главы связана с теоремой о неявных функциях.
Здесь приводятся формулировка и доказательство этой теоремы и указываются некоторые ее приложения. (К этой теме мы вернемся во второй части книги, где теорема о неявных функциях будет доказана с помощью принципа сжимающих отображений.) Последняя тема во второй части «Курса математического анализ໠— «Интегральное исчисление на параметризованных кривых в К" » рассматривается в главе 8.
Здесь определяется понятие интеграла линейной дифференциальной формы вдоль параметризованной кривой. Курс математического анализа, ч. 1, кн. 2 С его помощью решается задача о восстановлении функции многих переменных по ее частным производным. Рассматриваются некоторые приложения понятия интеграла дифференциальной формы вдоль кривой. В частности, определяется понятие индекса точки относительно замкнутой кривой, приводится доказательство основной теоремы алгебры. Далее, в этой же главе изучаются понятия функции ограниченной вариации и спрямляемой кривой. Доказывается основная теорема о существовании интеграла Стилтьеса. В заключительной части этой главы изучается общее понятие кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
