1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Приводятся некоторые сведения о понятии кривизны кривой. На титуле каждой главы под ее наименованием приводится перечень «ключевых предложений», на которых читатель должен сосредоточить свое внимание в процессе изучения темы. Это не означает, однако, что все, что не включено в этот краткий список, менее существенно. О содержании следующих семи глав — с 9-й по 15-ю будет обозначено в предисловии ко второй части учебника «Курс математического анализа». Каждая глава книги сопровождается задачами по теме этой главы. Основную часть из них составляют те, которые включались в разное время в экзаменационные билеты на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета. При отборе задач автор старался подбирать такие, решение которых способствовало бы лучшему пониманию теоретических аспектов данного «Курса». В книге принята следующая система нумерации.

Главы делятся на параграфы, имеющие порядковую нумерацию. В свою очередь, каждый параграф разбивается на пункты (или разделы), которые имеют двойную нумерацию: первая цифра — номер параграфа, вторая цифра — порядковая. Формулируемые в книге утверждения (предложения, теоремы и леммы) и формулы имеют — в пределах параграфа — аналогичную двойную нумерапию. Рисунки имеют порядковую нумерапию в пределах главы. В конце приведены указатель обозначений в книге и предметный указатель.

Глава 5 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИС'ОКИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ° Понятия первообразной и интегрируемой функции ° Понятие неопределенного интеграла числовой функции ° Лемма об условиях, выполняющихся в основном ° Понятие определенного интеграла и его свойства ° Теорема о линейности интеграла ° Свойство монотонности определенного интеграла ° Правило интегрирования по частям ° Кратная формула интегрирования по частям ° Правило замены переменной интегрирования ° Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме ° Достаточное условие интегрируемости фунхции — основная теорема ° Правила интегрирования функций, техника неопределенного интегрирования ° Основные приемы вычисления неопределенных интегралов элементарных функций ° Приближение монотонных функций ступенчатыми ° Первая и вторая интегральные теоремы о среднем значении ° Интегралы и суммы ° Функции, интегрируемые в смысле Римана ° Формула трапепий и формула Симпсона численного интегрирования ° Приложения понятия интеграла в геометрии и механике ° Доказательство трансцендентности числа 6 ° 12 Гл.

5. Интегральное исчисление функций одной переменной ~1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции Многие математические задачи, в частности, и некоторые задачи, возникакицие в приложениях математики, сводятся к нахождению функции по ее производной. Пусть, например, рассматривается движение материальной точхи по прямой. Предположим, что известна ее скорость о(й) в каждый момент времени й и требуется определить координату х(г) для каждого значения 1 в некотором промежутке времени (гы Фз). Величины х(Ф) и и(й) связаны между собой соотношением И) = — И) дх Ж так что мы получаем как раз задачу указанного типа.

Другие примеры задач, решение которых сводится к отысканию фунхции по ее производной, читатель найдет в ~ 8 этой главы. Таким образом, требуется уметь выполнять операцию, в каком-то смысле противоположную дифференцированшо. Эта операция называется интегрированием. Результат ее применения к функции называется интегралом или первообразной функции. Определение того, что такое интеграл функции одной переменной, и исследование основных свойств интегр ла и составляет содержание данной главы. В настоящем параграфе приводятся определения понятий интегрируемой функции, первообразной и интеграла от интегрируемой функции и устанавливаются некоторые простейшие свойства всех этих понятий.

1.1. ПОнЯтие пеРВООБРАзнОй 1.1.1. Задача — найти функцию Р,производная которой в промежутке (а,Ь) совпадает с данной функцией у, может формулироваться поразному. Приведем простейший вариант. Пусть дана числовая функция ) такал, что значение у (х) определено для всех точек х из промежутка (а, Ь). Требуется найти функцию Р, дифференцируемую в каждой точке х Е (а, д), такую, что Р'(х) = ~(х) для всех х Е (а, д). Если функция Р является решением поставленной задачи, то будем говорить, что Р есть гаечная первообразнан 4ункции у" в промежутке (а, Ь).

Таким образом, функция К: (а, Ь) — С является точной перво- образной функции 1: (а, Ь) — С, если для всех х е (а, Ь) выполняется равенство Р'(х) = г(х). З 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции Как будет показано далее, всякая непрерывная в промежутке (а, д) функция имеет в нем точную первообразную. Однако если функция 1 имеет разрывы в отдельных точках, то даже в самых простых случаях она может не иметь точной первообразной, как показывает следующий пример. Пример 1. Пусть (а, о) = 2 и г(х) = вяп х, то есть У(:)= 1 прих>0, 0 при х= О, — 1 прих<0.

Пример 2. Положим: 1 2 1 У(х) = 2х вш — — — сов— хя х хя при х ф О, у(0) = О. Пусть Г(х) = х~ вш (1/х~) при х ф О, Г(0) = О. Нетрудно показать, что Г'(х) = 1(х) для всех х Е 11. В данном случае 0 есть точка разрыва второго рода функции г", причем величина Дх) является неограниченной в любой окрестности точки О. Предположим, что данная функция ~ имеет точную первообразную, и пусть Г есть эта первообразнав. Тогда, по теореме Лагранжа о среднем значении (см.

глава 4, следствие 1 теоремы 4.2), для всякого х > 0 выполняется равенство Г(х) — Г(0) = Г'(ф)х, где 0 < 4 < х. Имеем: Г'(() = Я) = 1 и, значит, Г(х) = х+ Г(0) при х > О. При х < 0 точно так же найдем, что Г(0) — Г(х) = Г'(~)( — х), где х < ~ < О. В этом случае Г'(С) = Д() = — 1. Отсюда Г(0) — Г(х) = х и, стало быть, Г(х) = — х + Г(0) при х < О. Объединяя полученные равенства, заключаем, что Г(х) = ~х~+Г(0) для всех х Е як, откуда видно, что функция Г не имеет производной в точке О.

Это противоречит тому, что, по предположению, функция Г является точной первообразной функции г". Полученное противоречие доказывает, что функция у: х ~ вяп х не имеет первообрвзной в точном смысле. Следующий пример показывает, что существуют функции, которые, по сравнению с функцией вяп, ведут себя весьма «патологически», но в то же время имеют точную первообразную. Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Рис.

1 Рис. 1 дает представление о поведении у вблизи точки О. Таким образом, в приведенной выше формулировке задача построения функции с данной производной, с одной стороны, не имеет решения для некоторых простых функций, а с другой — для отдельных «плохих» функций оказывается разрешимой. В связи с этим такая постановка задачи представляется неудовлетворительной. Поэтому мы будем рассматривать другую, несколько более общую задачу, точная формулировка которой будет дана ниже.

Эта более общая задача будет отличаться от сформулированной выше тем, что условия, налагаемые на искомую функцию г, ослабляются. допускается наличие отдельных точек недифференцируемости функции Е, а также точек, где Р'(х) = хоо. При этом, однако, таких исключительных точек должно быть не слишком много: требуется только, чтобы их множество было не более чем счетно. Отметим, что первообразная в точном смысле непрерывна, в силу того, что она дифференцируема в каждой точке своей области определения. Но если допустить, что данная функция Г имеет хотя бы одну точку недифференцируемости, то непрерывность Г уже не вытекает из других ее свойств (как показывает пример функции зяп, которая дифференцируема в каждой точке х ф 0 и является разрывной в точке 0).

Поэтому оказывается необходимым потребовать непрерывность Е отдельно. Палее мы часто будем встречаться с ситуацией, когда то или иное условие выполняется для всех точек данного множества А, кроме точек, принадлежащих некоторому не более чем счетному множеству Е. З 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции Вв ем те минологию обн ю и описании такого о а сит а ий. Будем говорить, что некоторое условие Р(х) выполняется в основном для х Е А, если множество Е, состоящее из всех тех точек х б А, которые не удовлетворяют условию Р(х), н е более ч е м с ч е т н о, В частности, множество Е может быть и у с т ы м, так что условие, которое выполняется на А всюду, выполняется на А также и в основном. Б ем ассмат ивать нк ии со значениями в множестве всех ком- плексных чисел С о еленные на по множествах асши енной чис- алее обло и и е живаться еле ю ей те минологии. Будем говорить, что комплексная функция 1 определена на множестве А С К в основном, если ее область определения М есть подмножество К такое, что множество А ~ М не более чем счетно.

Иначе говоря, функция 1 определена в основном на множестве А, если точки х Е А, для которых величина 1(х) не определена, образуют не более чем счетное множество. Не предполагается, что множество М вЂ” область определения функции 1, содержится в А. Будем говорить также, что числовы функция 1, определенная в основном на множестве А с Й, непрерывна на множестве А в основном, если совокупность всех ее точек разрыва (то есть точек, в которых она не является непрерывной) не более чем счетна. Аналогичным образом, если функция Г такова, что Г(х) определено для всех х Е (а, Ь) и множество тех х Е (а, Ь), для которых функция Г недифференцируема, является не более чем счетным множеством, то мы будем говорить, что функция Г ди44ерениируема в основном в промежутке (а, Ь).

Предположим, что 1 есть комплексная функция, определенны в основном в промежутке 1 = (а, Ь) С Й с концами а и Ь, где а < Ь. Функция Г: 1 — С называется нервообразной 4унниии 1" на промежутке 1, если выполнены следующие условия: функция Г непрерывна на промежутке 1 и существует не более чем счетное множество Е С (а, Ь) такое, что в каждой точке х Е (а, Ь), не принадлежащей Е, функция Г дифференцируема, причем Г'(х) = 1 (х). Данное определение можно и е р е ф о р м у л и р о в а т ь следующим образом. Функция Г: 1 — С есть первообразная функции 1 в промежутке 1, если Г непрерывна и Г (х) = 1(х) в интервале (а, Ь) в основном. Пусть даны комплексная функция 1 и промежуток 1 = (а, Ь).

Будем говорить, что 1 интегрируема по промежутку 1, если 1 определена в этом промежутке в основном (то есть область определения 1 16 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной содержит множество 1 ~ Е, где Е не более чем счетно) и существует функция Р, которая является первообразной функции 1 в промежутке 1. В качестве синонима введенного термина допускаются выражениях «1 интегрируема в промежутке 1» и «1 интегрируема на промежутке 1», то есть предлог «по» можно в данном случае заменять любым из предлогов «вз или «на>, не меняя смысла высказывания. Пример 3.

Характеристики

Список файлов книги