1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В частности, получаем, что Р(а) < г (Ь). Отсюда заключаем, что ь Е(Ь) — Р(а) = 7" (х) 6х > О. а Теорема доказана. ° и СледстниВ 1. Пусть У и д суть вещественные функции, интегрируемые по промежутку [а, Ь]. Если 1(х) > д(х) в интервале (а, Ь) в основном, то ь ь У(х) Их > д(х) дх„ (2.6) При этом если 7(х) > д(х) в (а, Ь) в основном, то неравенство в соотношении (2. 6) — строгое.
3 а м е ч а н и е. Говорят, что неравенство (2.6) есть результат почленного интегрирования неравенства 7" (х) > д(х). Доказательство следствия 1. В силу условия следствия 1, найдется такое не более чем счетное множество Е, что для всех х Е Е (а,Ь) ~ Е выполняется неравенство 7'(х) > д(х). Лля каждого х 6 6 (а, Ь) ~ Е имеем: У(х) — д(х) > О, то есть |(х) — д(х) > О в (а, Ь) в основном. Согласно теореме 2.1, функция ~ — д интегрируема по промежутку [а, Ь], причем ь ь ь О < [У(х) — д(х)] Их = У(х) 6х — д(х) дх. (2.7) Если же У(х) > д(х) в интервале (а, Ь) в основном, то также и У(х) — д(х) > О в (о, Ь) в основном. Значит, согласно теореме 2.2, имеем: ь ь ь О < [7" (х) — д(х)] Нх = 7" (х) 6х — д(х) Ых.
(2.8) З 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства Из неравенств (2.7) и (2.8), очевидно, вытекают оба утверждения следствия. Следствие 1 доказано. ь ь | ~(х)сЬ < д(х)Нх. (2.9) Доказательство. Положим ь г = 7" (х) сМх. а Функция д, как вытекает из условий следствия, в промежутке (а, Ь) нео- трицательна в основном и, стало быть, по теореме 2.2, | ь д(х) ~Ь > О. а Если я = О,то требуемое неравенство очевидно. Будем считать,что н ~ О.
Имеем, согласно теореме 2.1, ь ь )я) = йя = й у(х) дх = йУ(х) дх. а а Далее, ь ь (я)~ = йе0я)~) = Ке йу(х) Нх = Ке(йУ(х)) дх. Для всякого комплексного числа и = и+ Ы, и,п Е К, выполняется неравенство: Везп = и < ~/аз+из = ~ю~. Отсюда следует, что в интервале (а, Ь) в основном Ке (ХУ(х)) < (них)) = ф~У(х)( < )л(д(х).
СлЕдствие 2. Пусть даны комплексная функция у" и вещественная функция д, причем г и д интегрируемы по промежутку (а, Ь]. Если ~~(х)~ < д(х) в интервале (а, Ь) в основном, то имеет место неравенство: 34 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной В силу следствия 1 теоремы 2.2, это позволяет заключить, что ь ь Ве(йу(х)) дх < ]х]д(х) Нх, откуда ь ь ! Дх)гЬ = ]я] < д(х)сЬ, что и требовалось доказать. Следствие 2 доказано. Ъ' Следствие 3.
Пусть функция У интегрируема по промежутку ]а, Ь]. Если — оо < а < Ь < оо и ]У(х) ] < М, где М < оо — постоянная, в промежутке (а, Ь) в основном, то ь Г у(х)г1х < М(Ь вЂ” о). а Действительно, это есть частный случай следствия 2, когда д(х) = М. Следствие 3 доказано. Следствие 4. Пусть функция у" интегрируема по ]а, Ь]. Если функция ]у] интегрируема по ]о, Ь], то ь ь | ~(х) Их < ]~(х)]Их. а а Достаточно воспользоваться результатом следствия 2, полагая в нем д = ]у]. Следствие 4 доказано. 2.3. СВОЙСТВО АДДИТИВНОСТИ ИНТЕГРАЛА 2.3.1. Докажем, что если объединение отрезков есть отрезок, то интеграл по их объединению равен сумме интегралов по этим отрезкам. Точнее, имеет место следующее утверждение.
35 З 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства ° Теорема 2.3. Если функция 1, определенная в интервале (а, Ь), интегрируема по промежутку [а, Ь], то для всякого с Е (а, Ь) имеет место равенство: ь с ь Доказательство. Пусть Г есть первообразная функпии 1 на промежутке [а, Ь].
Ограничение функции Г на каждом из отрезков [а, с] и [с, Ь], очевидно, является первообразной 1 на соответствующем отрезке. Имеем: с ь | 1(х) Их = Г(с) — Г(а), 1(х) дх = Г(Ь) — Г(с). а с Отсюда с ь | У(х) сКх+ У(х) сКх = Г(с) — Г(а) + Г(Ь) — Г(с) = ь = Г(Ь) — Г(а) = 1(х) Ых, а что и требовалось доказать. Теорема доказана.
° 2.3.2. Предположим, что функция 1 со значениями в С интегрируема по промежутку 1 = (а, Ь). Пусть р Е 1 и и Е 1. Рели р < е, то отрезок [р, д] содержится в промежутке 1 и, следовательно, определено число | ч 1(х) Ых = Г(д) — Г(р). р (2.10) В некоторых вопросах изложение упрощается, если выражению (2.10) придать определенное значение также и в том случае, когда условие р < о не выполняется. 36 Гл. 5.
Интегральное исчисление функций одной переменной Пусть г есть первообразная функпии 1 в промежутке Х = (а, Ь). Полагаем: как бы ни были выбраны точки р,д Е 1. В частности, допускаются равенство р = д и неравенство д ( р. Для всякою р, очевидно, имеем: | р Х(х) ~Ь = О р и для любых р, д из 1 о р | Х(х) йх = — У(х) сЬ = Р(д) — Р(р) = — [Р(р) — Р(д)1. р Я Равенство (2.1О), в соответствии с этим, может быть представлено в следующей форме: | у(х)~х=.р(х) * '=р(х) '. х=р р р В соответствии с соглашением, сделанным сейчас, мы можем несколько усилить теорему 2.3, а именно, справедливо следующее предложение. ° Теорема 2.3А.
Предположим, что функция У ивтегрируема по промежутку 1 = (а, Ь). Тогда для любого конечного множества точек хо, х1,..., х„, принадлежащих Х, выполняется равенство: 37 З 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства Доказательство. Пусть Г есть первообразная функции Х на промежутке 1. Тогда | оп Х(х) дх = — Г(хо) + Г(х ) = то = — Г(хо) + Г(хд) — Г(хд) + Г(хз) — — Г(х -1) + Г(х„) = о1 оо оп Х(х) ох + Х(х) йх + + Х(х) дх, оп — г оо что и требовалось доказать.
Теорема доказана. ° 2.3.3. Предположим, что функция Х: 1 — + С интегрируема по промежутку Х. Фиксируем произвольно точку хо б 1. Тогда для каждого х 6 Х определено число Г(х) = Х(~) гй. оо Определенная так функция Г: Х вЂ” ~ С является первообразной функпии Х на промежутке 1. Хгействительно, пусть Го есть первообразная функции Х на промежутке Х. Тогда для всякого х Е 1 имеем: Г(х) = Го(х) — Го(хо). Функции Г и Го, таким образом, отличаются о на от гой постоянным слагаемым.
Отсюда следует, что Г также есть первообразная функции Х. 2.4. КРитеРий интегРиРУемООти ФУнк ии НО 3АмкнУтОмУ ОТРЕЗКУ Результат этого раздела есть простое следствие определений первообразной и интеграла функции. ° Теорема 2А. Предположим, что числовая функция Х интегрируема по замкнутому слева и открытому справа промежутку (а, 6). Тогда Гл. 5.
Интегральное исчисление функций одной переменной для того, чтобы У была интегрируема по замкнутому промежутку [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел: Значение этого предела, если он существует и конечен, есть ь ~(х) ох. а Аналогично, если функция ~ интегрируема по промежутку (а, Ь], то для того, чтобы ~ была интегрируема по [а, Ь], необходимо н достаточно, чтобы существовал конечный предел: ь 1ип 1' 1(8)~й. х а/ Значение этого предела, если он существует н конечен, есть интеграл: ь У(х) бх. а Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что функция У интегрируема по промежутку [о, Ь]. Пусть Г есть перво- образная функции 1 на отрезке [а, Ь]. Функция Г непрерывна на [а, Ь] и, значит, Г(а) = 1пп Г(х), Г(Ь) = 1пп Г(х).
х а ь Отсюда заключаем, что з 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства Имеем: ь в Г(Ь) — Г(х) = У(1) ж, Г(х) — Г(а) = У(1) а и мы, следовательно, получаем, что ь ь е | Ях) г1х = 1пп ~(1) М = 1пп у"(й) М. Этим доказана необходимость условия теоремы. Покажем д о с т а т о ч н о с т ь.
Предположим, что функция 1". интегрируема по промежутку (а, Ь] и существует конечный предел: ь 1пп Д$) Ж. е а„ь Положим: ь х Г(х) = — ~(1) г1ь' = Д~) Ж. е ь функция Г является первообразной функпии у в промежутке (а, Ь]. Определим функцию Г1 . [а,Ь] -+ С, полагая Гг(х) = Г(х) при х6 (а,Ь] и Гь(а) = 11щ Г(х) = — 11щ Д(ь) М. Так как Гг(х) = Г(х) в каждой точке х Е [а, Ь], отличной от а, то Гд(а) = 1пп Г(х) = 1пп Гь(х).
Отсюда следует, что функция Г1 непрерывна в точке а. Пусть а < х < Ь. Так как Г непрерывна в точке х и в некоторой окрестности точки х Функции Г и Гг совпадают, то, следовательно, также и функция Гг непрерывна в этой точке. Мы получаем, что Функция Гг непрерывна на отрезке [а, Ь]. 40 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Пусть точка х Е (а, Ь) такова, что функция Г дифференцируема в этой точке, причем Г (х) = у(х). (2.11) Так как Гь совпадает с Г в интервале (а, Ь), то, значит, функция Г1 также дифференцируема в точке х. При этом Г,(х) = Г (х) = у(х). Множество Е точек х Е (а,Ь), для которых н е выполняется равенство (2.11), не более чем счетно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
