1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 11
Текст из файла (страница 11)
п. 3.1.2), зто и означает, что 0 = 1пп Ф(Ь), и яо то есть аддитивная функция отрезка Ф непрерывна в точке хе. Пусть функция отрезка Ф имеет в точке хо Е (о,Ь) плотность РФ(хо) = Ь. Покажем, чтоХ =Г(хо). Зададим произвольно последовательность точек (х ) ен промежутка (а, Ь) такую, что хо = 1пп х и х„ф хе при каждом и. и оо Пусть л „есть отрезок с концами хе и х„. Последовательность отрезков (оо „) ен, очевидно, стягивается к точке хе при и — оо. Отсюда следует, что Ф(а „) 1~1 ! Если х„( хо, то Ф(Ь ) = Г(хо) — Г(хв), /Ь„/ = хо — х„. Если же х„) хо, то Ф(Л„) = Г(х„) — Г(хо), /Ь„/ = х„— хо. Отсюда видно, что во всех случаях Ф(~-~в) Г(хв) Г(хе) 1Ь| х — ха и, значит, для данной последовательности (х„) еи Г(х ) — Г(хо) при п — со.
58 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Так как последовательность (х )„ен, удовлетворяющая указанным выше условиям, была выбрана произвольно, то тем самым доказано, что Г(х) — Г(хо) х — хо Это означает, что функция Г дифференпируема в точке хо, причем Г'(хо) = Ь = 1~Ф(хо). Д о к а ж е м, что и обратно, если функция Г дифференпируема в точке хо е (а, 5), то функция отрезка Ф имеет в этой точке плотность.
Положим: Г'(хо) = 1' Зададим произвольно е > О и найдем по нему б > О такое, что если О <!х — хо! < б, то Г(х) — Г(хо) (3.5) х — хо Ф(Ь) Ф (3.6) Коли точка хо совпадает с одним из концов отрезка Ь, то Ф(Ь) Г(х) — Г(хо) ~Ь! х — хо где х есть другой конец этого отрезка, и в данном случае неравенство (3.6) в ы и о л н я е т с я. Предположим, что х1 < хо < хг.
Пусть Г(хг) — Г(х1) 1, Г(хо) — Г(Х1) Г(хг) — Г(хо) 1 Х2 Х1 ХΠ— Х1 Х2 — ХО сг=; ~3= ХО Х1 Хг — ХО Хг — Х1' Хг — Х1 Имеем: а > О, ~3 > О, о + /3 = 1, Г(х2) — Г(х1) Г(хо) Г(х1) хо — х1 Г(х2) Г(хо) х2 хо + > Х2 Х1 ХΠ— Х1 Хг — Х1 Хг — ХО Хг — Х1 то есть В = сгР+ Ю. Пусть теперь Ь = [хг,хг] С 1 есть произвольный отрезок такой, что хо Е Ь и ~Ь~ < 5. Д о к а ж е м, что тогда З 3. Лостаточные условия ннтегрнруемостн 59 Так как [Р— 1[ < е и [Я вЂ” 1 [ < е, то отсюда вытекает, что [ — 1 [ = [сг(Р— 1 ) + ~3 Я вЂ” 1 ) / < [а (Р— 1 ) [ + ф ® — 1 ) [ < аз +,Зе = е, и неравенство (3.6) доказано. Число е > О было выбрано произвольно.
Следовательно, мы получили, что для всякого е > О найдется б > О такое, что для любого отрезка Ь С 1, содержащего точку хе, для которого [Ь[ < б, в ы п о ли я е т с я неравенство (3.6). Согласно определению, зто означает, что 1,= 1ш1 Ф(Ь) о-*, [Ь[ то есть 1, есть и л о т н о с т ь функции отрезка Ф в точке хе. Лемма доказана. ° Слндстнин.
Пусть функция 1: (а, д) — К интегрнруема по промежутку 1 = (а, Ь). Тогда функция отрезка 1п$1, определенная равенством (3.2), непрерывна в каждой точке х Е 1. Доказательство. Пействительно, пусть Р есть первообразная функции 1 в промежутке 1. Согласно определению первообразной (см. З 1), функция Р непрерывна на промежутке 1. Так как Р является порождающей функцией для функции отрезка 1п11, то, значит, согласно лемме 3.4, функция 1пС1 непрерывна в каждой точке х Е 1, что и требовалось доказать. Следствие доказано.
Из лемм З.З и 3.4 вытекает следующее утверждение. ° Теорема 3.1. Пусть Ф есть аддитнвная функция отрезка, заданная в промежутке 1 = (а, Ь) и непрерывная в каждой точке промежутка 1. Предположим, что функция Ф имеет в интервале (о, Ь) плотность всюду, кроме точек, принадлежащих не более чем счетному множеству. Тогда найдется функция 1": (а, Ь) — К, определенная на промежутке 1 в основном, интегрируемая по промежутку 1 и такал, что для всякого отрезка Ь = [хг, хе[ С 1 имеет место равенство: Ф(Ь) = 1п~у(Ь) = зх(х) йх. х~ 'бо Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной ДокнзательствО. Предположим, что аддитивная функция отрезка Ф удовлетворяет всем условиям теоремы. Пусть Г есть ее порождающая функция. В силу леммы 3.4, функция Г непрерывна в каждой точке х Е Х.
Пусть функция 1: (а, Ь) — ~ К такова, что 1(к) = ХХФ(х) = Г'(к) в каждой точке, в которой Ф имеет плотность. Тогда 1(к) = Г'(и) в интервале (а, о) в основном и, значит, Г есть первообразная функции 1 в промежутке Х. Отсюда следует, что функция 1 интегрируема по промежутку 1 и для любого отрезка Ь = [хг, тз] С 1 выполняется равенство: Ф(Ь) = Г(хз) — Г(т1) = 1(т) йт, х1 что и требовалось доказать. Теорема доказана.
° 3.2. ПОНЯТИЕ НИЖНЕГО ИНТЕГРАЛА Здесь вводится некоторое вспомогательное понятие — нижний интеграл функции по отрезку. Устанавливаются нужные для дальнейшего свойства нижнего интеграла. В частности, доказывается, что нижний интеграл есть аддитивная функция отрезка. окажем некого ые и ложения по готовительного ха акте а. Зада- дим произвольно промежуток 1 = (а, 6) С Й и функцию Х: (а, д) — ~ И.
Пусть дан отрезок Ь = [тмхз] С 1. Обозначим через ЛХ(Ь) совокупность всех функций <р: (тг,яя) — К, интегрируемых по отрезку Хг и таких, что у(т) < Х(х) для всех и Е (хм ха). Пусть Х,Х(Ь) есть множество всех чисел р Е И, каждое из которых равно интегралу по отрезку Ь функции, принадлежащей ЛХ(ХГ). Иначе говоря, у принадлежит Х Х(Л) в том и только в том случае, если существует функция р Н ЛХ(Ь) такая, что Точная верхняя граница множества Х Х(Ь) называется нижним интеаралом функции Х по отрезку Ь = [хг, кя] и обозначается 1 (Ь). Мы получаем, таким образом, в промежутке 1 некоторую функцию отрезка.
З 3. Достаточные условия иитегрируемости Может оказаться, что не существует функция у, которая была бы интегрируема по отрезку Ь = [хыхз] и удовлетворяла условию: у(х) < у(х) для всех х Е (хг,хз). В етом случае множества Лу(Ь) и Ьу(Ь) являются п у с т ы м и и, следовательно, 1 (Ь) = — оо. ° Лемма 3.5. Пусть дан отрезок Ь = [хы хз]. Предположим, что функции Л: (хм хз) — 2 и р: (хз, хз) — Ж интегрируемы по отрезку [х1, хз] и таковы, что для всех х Е (хг, хз) выполняются неравенства: Л(х) < у(х) < р(х). Тогда яя ~2 | Л(х) ах < 1 (Л) < р(х) а . Х1 ж1 (3.7) Доказательство. П е р в о е из неравенств (3.7) следует из определения нижнего интеграла и из того, что, в условиях леммы, функция А принадлежит классу Лу(Ь).
Для всякой функции ~р Е Лу(Ь) при всех х Е (хы хз) имеем: у(х) < < 1(х) < р(х). Отсюда вытекает, что для любой функции у Е Лу(УЛ) имеет место неравенство: я2 яя | у(х) Их < р(х) дх. ж1 х1 Мы получаем, что интеграл от функции р по промежутку Ь является верхней границей множества Ьу(Ь) и, следовательно, точная верхняя граница Ьу(Ь) не превосходит этот интеграл. Это означает, что справедливо также и в т о р о е из неравенств (3.7).
Лемма доказана. ° 1у(~"~) 1у(~1) + 1у(~"12) ° Лемма 3.6. Пусть Ь1 и Ьз — два произвольных прилегающих отрезка, содержащихся в (а, о). Пусть Ь = Ьг 0 Ьз = [р, д]. Тогда если для функции 1: (а, Ь) — 2 величина 1у(Ь) — конечна, то конечны также и величины 1 (Ь1) и 1 (Ьз), причем имеет место равенство: 62 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Доказательство. Будем считать, что отрезок Ь1 лежит л е в е е отрезка Ьэ. Этого, очевидно, всегда можно добиться изменением обозначений. Пусть Ьг = [р, г] и Ья = [г, и]. Возьмем произвольно функцию у Е Лу(Ь).
Ее ограничение на отрезке Ь;, г = 1,2, есть функция класса Л1(Л;). Отсюда следует, что каждое из множеств Лг(Ь,) — непусто, и, значит, 11(Ь;) > — оо при каждом г' = 1, 2. Имеем: ч и Ю | у(х) йх = |р(х)дх+ у(х) Ых < 1 (Ь1)+1 (Ьз). р р В силу произвольности функции у Е Лу(Ь), отсюда следует, что 11(Ь) = зцр ( у(х) дх < 11(Ьг) + 11(Ьз). (3.8) рейу(ь),Г р Зададим произвольно и > — оо и н > — оо такие, что и < 11(Ьг) и н < Ху(Ьз). Пусть функции 0 Е Лу(Ьг) и ф Е Лг(Ьг) таковы, что и < 0(х) йх, ю < Ф(х) ах. Определим функцию у, полагал ~р(х) = 0(х) при р < х < т и ~р(х) = 4(х) при т < х < д.
В точке т, являющейся общим концом отрезков Ьы Ью полагаем х(г) = 1'(г), Функция у принадлежит классу Лу(Ь) и, значит, Я т Я 1 (Ь) > у(х)Нх = 0(х)йх+ ю~(х) дх > и+о. р р т Переходя в этом неравенстве к пределу при и — 11(йг), получим: (3.9) — у( ) — — у( 1) + ~' Отсюда, в частности, следует, что величина 1 (Ьг) — конечна. Аналогично устанавливается конечность 11(Ьг). З 3.
Достаточные условия интегрируемости 63 Переходя в неравенстве (3.9) к пределу при и — ~ 1 (1ьз), в результате получим соотношение: Ху(у1) > Ху(б~г) + Ху(указ). (3.10) Из неравенств (3.8) и (3.10), очевидно, следует требуемое равенство. Лемма доказана. ° 3.3. ОсновнАя ткоркмА ов инткгриРУкмости функ ий ПО ПРОМЕЖУТКУ Тепе ь мы можем оказать о с н о в н о й ез льтат этого па аг а а — тес ем станавливаю ю э ективное остаточное словце инте- г и емости нкции на от езке.
,1Хоказательстно. Пусть функция у удовлетворяет условиям теоремы. Для произвольного отрезка гь пусть Ф(гь) есть нижний интеграл функции У по промежутку ух. Функции и и е интегрируемы по любому отрезку Ь, содержащемуся в 1. На основании леммы 3.5, имеем: 1пс,(у1) < Ху(у1) < 1ПФ„(Л). Функции отрезка 1п1„и 1пь„непрерывны в промежутке 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
