1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Доказательство данной теоремы, также как и вывод из этой теоремы сформулированного выше утверждения о разложении полинома на простейшие множители, приводятся в курсе алгебры. (Позднее в главе 8 этой книги будет дано чисто аналитическое доказательство основной теоремы алгебры.) Всякая рациональная функция может быть представлена как сумма некоторых элементарных функций простейшего вида, содержащихся в списке, приведенном в п. 4.1.2. Справедливо следующее предложение. Пусть Р и Я суть полиномы, причем 0 < бей Р < бей Я и коэффициенты Р и Я вЂ” вещественные числа, и Фя) = (я — *1)"'(я — тз)"... (я — т )' х х(я +Р1я+ дг) '(я +ргя+ чг) ~...
(я +р~я+Ф)" (4.20) есть каноническое разложение полинома Я в вещественной области. Тогда существуют вещественные числа иняз, где з = 1, 2,..., т, и для каждого з число а принимает значения 1,2,...,г, и числа еья„, шьэ,, где ь. = 1,2,..., 1, и для каждого к число 11ь принимает значения Р(я) 1,..., зь такие, что для каждого я, для которого отношение ~(г) =— Я(я) определено, выполняется равенство "3 Зя 1=1 сс.=1 И=Г Вяся С точностью до порядка слагаемых представление рациональной функпии вида (4.21) е д и и с т в е и н о. Пусть Р(я) и Я(г) суть произвольные полиномы с комплексными хоэффипнентами, причем 0 < беяР < бек Я и д( ) ( )г1( )гг ( )г — разложение полинома Я на простейшие множители в комплексной области. Тогда существуют комплексные числа и „,, где з' = 1,2,...,т, и при каждом з индекс а.
меняется от 1 до г, такие, что для всех г, для которых Я(г) ~ О, выполняется равенство: ПЪ '3 Р(я) т ч- изч, (4.22) 78 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной С точностью до порядка слагаемых представление (4.22) е д и вственно. Доказательство сформулированной теоремы обычно излагается в курсе алгебры, и по этой причине мы его не приводим. 3 ам е ч а н не.
П р а в ы е части равенств (4.21) и (4.22) называются разложением рациональной функции Р/Я на простейшие дроби. Равенство (4.21) есть разложение рациональной функции на простейшие дроби в вещественной области, (4.22) — в комплексной области. 4.2.2. Приведем некоторые соображения относительно фактического построения разложения рациональной функции на простейшие дроби. Условимся относительно терминологии. Будем называть старшими членами разложения данной рациональной функции на простейшие дроби те слагаемые и»»» х + 1в»»» и (яг+р»а+ й»)»» (х — х )"» в правой части равенства (4.21), знаменатели которых содержат выражения я — хд и я + р»я+ в» в наибольших возможных степенях, г Для отыскания коэффициентов и р,, и»в» и и~»в в равенстве (4.21) может быть применен так называемый метод неопределенных козффиииентов, состоящий в следующем. Умножая обе части равенства (4.21) на Я(г), получим равенство: уп / гг »(с=К(К...,ь-;г»-. )гьь1=1 ь;=1 8» +~ (~( „,,, > „,к,'+р,*+цс"-~')кьь [42з) »яз р»=» где Ц, у' = 1, 2,..., т, $/», и = 1, 2,..., 1, — некоторые полиномы.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г слева и справа, получим систему линейных уравнений относительно подлежащих определению коэффициентов и,, и»в» и ю»р». Эта система р а з р е ш и м а, поскольку разложение рациональной функции на простейшие дроби существует. Более того, зта система однозначно разрешима. Коли числа и „,, и»л и гв»р» образуют р е ш е н и е полученной системы, то равенство (4.23) в е р н о для всех ю 79 З 4. Техника неопределенного интегрирования Поделив обе его части на Ц(к), получим искомое разложение рациональной функции Р(к)(Я(е) на простейшие дроби. Точно так же можно действовать, если требуется построить разложение рациональной функции на простые дроби в комплексном с чае.
достоинством метода неопределенных каэ44ициентое построения разложения на простейшие дроби является его универсальность. Вместе с тем следует отметить, что он ведет, зачастую, к достаточно громоздким вычислениям. Приведем соображения, которые во многих случаях существенно упрощают отыскание коэффициентов в разложении рациональной функции на простейшие дроби. Если для рациональной функции все корни знаменателя Я вЂ” вещественные и числа тыгз,...,г р ~ й Я ной а иональной нк ии на остейшие д оби можно пол чуть ос- таточно быст о ейств я сле ю м об азом.
Пусть Я(к) = ф(к)(к — т )'~, где ф есть полипом такой, что Я (т)~0. Умножим обе части равенства (4.21) на (к — ид)'~. В результате получим: — нде + (я хз) Р1 (е) ° Р(е) Яд(з) Это равенство верно для всех г ф т . Обе части этого равенства определены и непрерывны также и в точке е = ху. Полагал в последнем равенстве я = я„мы сразу получим: Р(хд) 1И 1) Таким способом могут быть определены все коэффициенты и „,, у = 1,2,...,ти. В том частном случае, когда г1 = гз = = г = 1, т еб емое азложение анной опальной ии на и остейшие оби тем самым б ет пол чено. В общем случае, чтобы построить разложение на простейшие дроби рациональной функции, можно действовать двумя способами. 80 Гл. 5.
Интегральное исчисление функпнй одной переменной Пе вый с и о с о б. Предположим, что для некоторого з коэффициент при 1 (г — х )'з определен. Будем искать последовательно коэффициенты при ( ..)(гз-ь) для к = 1, 2,..., г — 1. Имеем: Р(з) нугз Р(з) — пу„, Яу (н) Я(з) ( 'з)" Ф ) Числитель и знаменатель этой дроби обращаются в нуль при г = ху и, следовательно, имеют общий делитель вида: (з — х )', где 1 < з < г;. Сократив на этот общий делитель, получим рациональную функцию, разложение которой на простейшие дроби получается, если в разложении на простейшие дроби исходной рациональной функции вычеркнуть слагаемое (г — х )'з Применяя аналогичное построение к полученной рациональной функции, найдем коэффициент при ( ху) ' Продолжал это построение дальше, найдем все коэффициенты иую где к = 1,2,...,г,.
Укажем о б ю о м л ля этих коэ центов. Положим: Р(з) Ь(з) = ~) ( ). Умножая обе части равенства (4.21) на (г — х )'~, получим равенство: гЗ Л (з) = ~ пзь(з ху) ' " + (з ху) Ж(з). к=1 81 З 4. Техника неопределенного интегрирования Здесь Вз есть рациональная функция — сумма всех тех слагаемых в формуле (2.21), которые соответствуют номерам у, отличным от данного. Сумма ~) ихя(я — хй) З = Н (я — х ) я=г представляет собой полипом степени не выше гу — 1. При я — + хй функция Вй(з) стремится к конечному пределу.
В результате получим, что Д(я) = Н (я — ху) + о(~я — х ~'з откуда ясно, что Н (я — х ) есть полином Тейлора порядка г — 1 4ункции Д в точке х . Отсюда получаем равенства: ,1г -ЙУ хя (, ь)1,~ г,-ь й возможный с п о с о б таков. Сначала найдем все коэффициенты кхгз, у = 1, 2,..., т. После того, как эти коэффициенты определены, рассмотрим разность: Числитель последней дроби обращается в нуль при 3 =1,2,...,т, и, следовательно, делится на произведение (я — хз)(я — хз)" (з — х ). Знаменатель Я также делится на этот множитель. Сократив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, получим дробь такую, что ее знаменатель делится на степень я — хй, которая, по крайней мере, на единицу меньше, чем у исходной рациональной функции.
Продолжая построение дальше, аналогичным образом найдем коэффициенты иу„з г, у = 1, 2,..., т, и через конечное число шагов требуемое разложение данной рациональной функции на простейшие дроби будет получено. 82 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной В том случае, если полипом Я вЂ” знаменатель данной рациональной функции Р У=— Я имеет комплексные корни (предполагается, что коэффициенты полиномов Р и Я являются вещественными числами), то каноническое разложение Я(2) в вещественной области содержит множители вида (я~+ра+ +о)', где р, д Е К.
При этом оба корня квадратного трехчлена 22+ ря+ д — комплексные. Старшие члены вида (4.24) ( '+Ря+ У)' Р в разложении рациональной функции — на простейшие дроби могут быть получены следующим образом. Пусть Я(2) = (2~ + ря+ д)'В(2), где а ) 0 — целое число, квадратичный трехчлен 2 + ря + о не имеет вещественных корней и полипом В(2) на 2~ + ря + о не делится.
Рассмотрим разностгп Р(2) оя+ ю Р(2) — (па+ ю)В(2) Я(2) (22 + ря+ ~)з (22 +ря+ у)еВ(2) где о и ю — вещественные числа, которые определим из условия: числитель последней дроби, то есть полипом Р(2) — (оя + ю)В(2), делится на 2~ + ря+ д. Сокращая числитель и знаменатель этой дроби на общий множиР1 (2) тель, получим рациональную функцию —, знаменатель которой моа1(2) ' жет иметь делителем только такую степень полинома 2 + ря+ о, показатель которой заведомо меньше а.
Покажем, что числа и и п такие, что полипом Р(2) — (па+ ю)В(2) делится на 2 +ря+ д, существуют. Пусть аг+ Д есть о с т а т о к от деления полинома Р(2) на квадратный трехчлен 2~ + ря+ д. Тогда получим: Р(2) = А1(2) (2 + ря + д) + сгя + ~9. Аналогично, пусть В(2) = А2(2) (2~ + ра + д) + уа + б, где уя+б есть о с т а т о к отделения полинома В(2) на 2~+ра+д.
З 4. Техника неопределенного интегрированна 83 Р(я) — (ог+ ю)В(я) = = [Аг(я) — (ог + ю)Аз(я)1(я + ря + д) + аг + ~3 — (он + ю)( уя + б). Требуемая цель будет достигнута, если найдется число 4 такое, что ад+13 — (он+ ю)(7я+ б) = 4(г +ря+д). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г слева и справа, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов 4, о, ю: + уо О; рФ + бо + ую = а; 4т + бю =,О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
