1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Полагал в нем Дх) = хл, т = 1 и заменяя а на п — 1, получим: в+1 ЯЛ(11) > хЛдх = + 1)л+1 Л+1 1 ЛЕ1 ял(п) < ххах = Л+1' о Из найденных неравенств вытекает, что и в этом случае справедливо асимптотическое соотношение (6.3). Рассмот им сл чай Л = -1. Применяя в т о р о е из неравенств (6.1), получим оценку снизу для величины: Гл. 5.
Интегральное исчисление функций одной переменной 108 Применяя неравенства (6.1),получим: Отсюда получаем неравенства: 1+1пи > ~ — > 1п(и+1), 1 из которых следует, что Е-- 1 — = 1пи+ 0(1) при и — + оо, й (6.4) Рассмотрим разность 1 При каждом и имеем: В„+1 = В„+ — — 1п(и + 1) + 1пи. Для вски+1 кого х > О, согласно теореме 1.5 главы 3, выполняется неравенство: х — 1 1пх > . Отсюда вытекает, что х 11 1 1п(и + 1) — 1п и = 1п (1 + -) > —, и) и+1' и, значит, В +1 < В„, при каждом и, то есть последовательность (В„)„ен является убывающей. В силу соотношения (6.4), данная последовательность является ограниченной и, стало быть, существует ко- нечный предел Этот предел называется постоянной Эйлера и обозначается символом С.
Приближенное значение постоянной Эйлера: С = 0.577 215 664 901 532 860 60. и+1 / л а=1 1 )'В я=2 З 6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования Постоянная Эйлера возникает во многих вопросах. Об ее арифметической природе известно очень мало. В частности, неизвестно, является ли постоянная Эйлера рациональным числом или же она иррациональна? Иример 2. Укажем некото ю асимптотическ ю о енк с ммы: Е = С1пй. я=г Заметим, что ехр Е„= и! и исследование асимптотического поведения суммы Е„при п — оо позволит нам получить некоторую информацию о том, как ведет себя п! при больших и.
Функция 1п является возрастающей на промежутке (О, оо). Применяя (6.2), получим следующие неравенства: а+1 н | 1пхг1х > Е > 1пхдх. 1 1 Применяя правило интеерированая по частям, будем иметь: В результате получаем неравенства: (6.5) (и+1) 1п(п+1) — т > Е > п1цп — и+1. Отсюда следуют неравенства, характеризующие рост и! при п — оо: (6.6) В главе 12 книги будет доказана так называемая формула Стирликга, существенно уточняющая неравенства (6.6). 6.2. РИМАНОВЫ СУММЫ И ПОНЯТИЕ ФУНК ИИ ИНТЕГРИРУЕМОЙ В СМЫСЛЕ РИМАНА Пусть дан замкнутый промежуток [а, о] в множестве 1к'. По Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Будем говорить, что задано пуннтированное разбиение С промежутка [а, Ь] или, иначе, разбиение с отмеченными точками отрезка [а, Ь], если указана конечная последовательность точек а=хо <х1« .х 1<х =Ь промежутка [а, Ь] и при каждом г' = 1,2,...,т задана точка Ц такая, чтох, г<Ц<х;.
Формально, пунктированное разбиение есть пара последовательностей (хо,хы,х -ых .) и (Фг,Фэ,,Ф ) точек промежутка [а, Ь], удовлетворяющая всем указанным выше условиям. Числа х, называются узлами пунктированноэо разбиения (, а числа 1, — его отмеченными точками. Наибольшую из длин отрезков, на которые [а, Ь] делится точками х;, то есть наибольшее из чисел х1 — хо,хэ — х1,...,х — х ы будем обозначать символом ]]Ц и называть нормой пунктированного разбиения с. Пусть дана функция ~: [а, Ь] — В.. Возьмем произвольно пунктированное разбиение с отрезка [а, Ь]. Пусть хо = а < х1 « х г < х = Ь суть узлы этого пунктированного разбиения, 8ы 8э,..., 8 — его отмеченные точки. Положим: В(~,() = ~,1(1,)(х; — х, 1).
э=1 Величина В(1,() называется интееральной суммой или суммой Римана функции 1, отвечающей пунктпированному разбиению С. Пусть дана функция ~: [а, д] — С. Функция ~ называется интеэрируемой в смь|сле Римана по промежутку [а, Ь], если существует число Ь Е С, для которого по всякому е > О, найдется 6 > О такое, что для любого пунктированного разбиения ( промежутка [а,Ь], удовлетворяющего условию [[Ц < б, выполняется неравенство: [В(у,г,) — Ь] < е.
В этом случае говорят, что Ь есть интеграл Римана функдии ~ по про- межутку [а, Ь]. З 6. Интегралы н суммы. Формулы численного интегрирования 111 ° Теорема 6,2. Всякая функция ~: [о,Ь] — Ж, непрерывная на промежутке [а, Ь], где — оо < а < Ь < со, интегрируема в смысле Римана по этому промежутку, и интеграл функции ~ по промежутку [а, д] совпадает с интегралом Римана функции у по [а, Ь]. Локазательстно. Пусть у: [а, Ь] — К есть непрерывная функция. Согласно теореме Гейне о равномерной непрерывноспьи непрерывкой Яункции на замкнутом отрезке (см.
глава 2, п. 5.3.2, теорема 5.3), функция ~ равномерно непрерывна в промежутке [а, Ь]. Пусть ю есть модуль непрерывности функции у. Зададим произвольно пунктированное разбиение С промежутка [а,Ь]. Пусть хв = а < < х1 « .. х„ = Ь суть у з л ы этого разбиения, 1ь Е [хь ых,], г = 1,2,...г, — его отмеченные точки. Положим: ь г(4) = у(х) ох — В(у,с) = ь г =|л м -~ям — )= с=1 а =~[| ы~-а.к — .~] ь=1 яь — 1 Имеем: При х Е [хь-1, хь] и $ Е [х, ы х;] [х — Ь[ < ]х; — х; 1] < Щ], откуда следует, что при каждом 1 = 1, 2,..., г [у(х) — у(ьь)[ < ы(с) 112 Гл. 5.
Интегральное исчисление функций одной переменной для всех х Е [х, 1, х;]. Отсюда вытекает, что при каждом г' = 1, 2,..., г выполняются неравенства: ь У'(х)1х-'~ ~(ц)(х;-х;,) < в=1 а < а(Щ[) ,'~ (х, — х, 1) = (Ь вЂ” а)ю(][Ц). Таким образом, мы получаем, что для любого пунктированного разбиения С промежутка [а, Ь] выполняется неравенство: | Дх) 4х — Я(у, с) < (д — а)ю(Ц[[). а (6.7) При 1 — ~ 0 будет ю(1) — ~ О. Зададим произвольно е > О. Пусть Ь > 0 таково, что для любого $ Е [О, Ь) выполняется неравенство: ю(г) < Тогда для всякого пунктированного разбиения С промежутка [а, Ь], такого, что Щ[ < б в силу неравенства (6.7), будем иметь: | ь ,г'(х) с~х — гь(У, С) < е.
а В силу произвольности е > О, тем самым установлено, что интеграл функции у по промежутку [а, Ь] является также ее интегралом Римана потому же промежутку. Теорема доказана. й Полагая здесь г = 1, 2, ., т и складывая полученные неравенства почленно, в результате будем иметь: З 6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 6.3.
Числкннок инткгрировлник функ ий. Формулл трлпк ий Пусть дан произвольный отрезок [а, Ь] С 2. Функции, определенные на промежутке [а, Ь], у которых первообразнэя является элементарной функцией, составляют достаточно узкий класс в множестве всех функций, интегрируемых по данному промежутку [о, Ь].
В связи с этим возникает задача о построении методов, позволяющих строить приближенные значения интеграла | ь У(х) Их, а сколь угодно близкие к его истинному значению, не зная первообразной функции У. В полном объеме эта задача рассматривается в курсах по теории вычислений. Здесь мы укажем две простые формулы для приближенного вычисления интеграла, хоторые дают удовлетворительное решение задачи о приближенном вычислении интеграла.
Начнем с некоторых вспомогательных рассуждений. Пусть функция Г: [0,1] — 2 интегрируема по промежутку [0,1]. Положим 1 ТЯ = ~(х) ох — — [.г(0) + у(1)]. 1 о (6.8) Для любых двух функций г" и д и любых вещественных чисел Л и д, очевидно, имеет место равенство: Т(Ч+ пд) = ЛТ(У) + рт(д). (6.9) | 1 у(х) Их о (6.10) Далее, заметим, что ТЯ обращается в нуль для функций ~(х) = 1 и 1(х) = х.
Отсюда следует, что ТЦ) = 0 для всякой функции вида ,г(х) = Йх +1, где Й и 1 — постоянные. Величина Т(у') есть значение ошибки, которая получается, если для вычисления интеграла Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной заменить функцию ~(х) полиномом не выше первой степени, совпадающей с У на концах промежутка [О, 1]. Предположим, что функция У принадлежит классу Р~, и ее вторая производная является ограниченной функцией.
Полагаем: ][До = зцр ]у (х)!. *о[од[ (6.П) ° Лемма 6.1. Для всякой функции 1" класса Эз на промежутке [О, 1] имеет место неравенство: 1 ]Т(у)! = у(х) ««х — -[у(0)+ у(1)] < —, (6.12) 1 ]!.«[]з а ТУ) = У(х) «Ь. о 1 Введем вспомогательную функцию о (х) = -х(х — 1). Имеем: о" (х) еа 1. 2 Отсюда получаем: 1 1 | ~(х)«[х = «г"(х)~(х)«[х.
о о Интеграл с п р а в а преобразуем, применяя кратную формулу интегрирования по частям. В результате получим: 1 «1 ТЦ) = о'(хЩх) — о (х)у'(х) ~ + — у" (х)х(х — 1) «[х. (6.13) о а 2 [ о Заметим, что «внеинтеграпьные» члены в и р а в о й части равенства (6.13) обращаются в нуль. Первое слагаемое обращается в нуль в силу того, что, согласно предположению, У(0) = у(1) = О, второе равно нулю, потому что ««(0) = п(1) = О. Доказательство. Предположим сначала, что функция у удовлетворяет условиям: у(0) = У(1) = О. При этом предположении имеет место равенство: 1 З 6. Интегралы и суммы.
Формулы численного интегрирования 115 Мы получаем в результате, что для данной функции у' 1 ТЦ) = — ~л(х)х(х — 1) Нх. 2 / о Отсюда вытекает, что 1 ]Т(,~)] < ]],~]]з — ]х(х — 1)] сЬт /1 ]]У]]2 ~ 2„( ) 12 о Теперь освободимся от ограничения ДО) = Д1) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
