1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В силу теоремы 7.1, из доказанного следует, что для всякого отрезка Ь = [хг, хз] С ]а, д] имеет место равенство: и2 ~у( ~) = Пх) 1х. Ф1 7.2. ОБЪЕМЫ ТЕЛ БРА ЕНИЯ Всюду в этом разделе и далее Ез означает обычное трехмерное евклидово пространство, которое является предметом изучения курса аналитической геометрии и школьного курса геометрии. 7.2.1. Общую задачу определения того, чтб есть объем множества в Ез, мы оставляем пока без рассмотрения, имея в виду обратиться к ней в главе 13 второй части этой книги. Будем опираться на известные из школьной математики наглядные представления о том, чтб есть объем тела.
Предположим, что в пространстве Ез задана декартова ортогональная система координат. Запись (х,у,х) подразумевает координатное задание некоторой точки в этой системе координат. З 7. Приложения интегрального исчисления Пусть задана неотрицательная, ограниченная и непрерывная в основном функция У: [а, 6] — К. На плоскости я = 0 построим криволинейную трапецию ТЦ; а, Ь), состоящую из всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: а < х < 6, О < у < г(х).
Обозначим через Н тело, зачерчиваемое плоской фигурой Т(1; а, 6) при вращении вокруг оси ОХ (см. рис. 12). Множество Н состоит из всех точек Х = (х, у, я) пространства Ез, координаты которых удовлетворяют неравенствам: а < х < 6,,/р~ + гз < У(х). Т еб ется вычислить объем тела Н. Пусть 0 = [х1,хз] С [а,Ь].
Обозначим через НЦ, Ь) тело, зачерчиваемое криволинейной трапецией ТЦ; Ь), где 0 = [х1, хз] есть отрезок на оси Ох, лежащий в промежутке [а, Ь]. Пусть Ъу(Ь) есть обьем тела НЦ, 6,). Мы получаем, таким образом, некоторую функцию отрезка, обозначаемую символом 7у. Т.2.2. Геомет ически очев ы сле ю е с в о й с т в а вве енной нк ии от езка Ъ'. А.
Функция отрезка Ъ' — аддитивна. Б. Функция отрезка $" — непрерывна, н в каждой точке х б [а, 6], в которой функция ( непрерывна, плотность аддитивной функции отрезка Ъ' равна я[1(х)]~. Свойство А не нуждается в комментариях. Поясним свойство Б.
По условию, функция 7' — ограничена. Пусть 0 < у(х) < В = савве < оо для всех х Е [а, 6] (см. рис. 13). Тогда тело На содержится в прямом круговом цилиндре, высота которого равна [,0[= хз — х1, а радиус основания равен В. Это и есть тот цилиндр, который зачерчивается при вращении вокруг оси ОХ прямоугольника, одной стороной которого является отрезок А, а длина другой стороны равна Я. 132 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Объем цилиндра равен итс~[Ь[, откуда получаем, что для всякого отрезка Ь С [а, 6] имеет место неравенство: О < Ъгу(Ь) < иВ~[Ь]. Мы видим, что здесь выполнены условия критерия непрерывности функции отрезка, который содержится в лемме 3.1, и н е и р е р ы вн о с т ь функции отрезка Ъгу тем самым у с т а н о в л е н а.
Рис. 13 Предположим, что в точке хе функция 1 непрерывна. Тогда, каково бы ни было е > О, по нему найдется 6 > О такое, что если [х — хе[ < 6, то [У(х) — У(ха)] < е, и для всякого отрезка Ь = [хг, ха] С [о, Ь], лежащею в интервале (хе — 6, хе + 6), тело НЦ, Ь) будет содержать в себе цилиндр с высотой [Ь] и радиусом основания ~Дха) — е], и о д н о в р е м е н н о содержаться в цилиндре с той же высотой и радиусом основания У(хс) + е. Отсюда вытекает, что имеют место неравенства: т[г (хо) — с] «и[г(хо) + е] . г Ъг(~1) г Так как е > Π— произвольно и для достижения последних неравенств нужно было только, чтобы отрезок Ь содержался в интервале (хе — 6, ха + 6), отсюда следует, что в точке ха плотность аддитивной функции отрезка Ъг(Ь) равна и[у(х)] .
В силу теоремы 3.1 этой главы, из доказанного следует, что справедлива следующая формула для вычисления объема тела вращению ь Ъ'(Н) = и [Дх)] дх. З 7. Приложения интегрального исчисления 7.2.3. Установим о м л ля вычисления объема тела по чаемого и в енин к иволинейной т апе и век г оси ОУ. Пусть 0 ( а ( Ь и функция у: [а, Ь] -+ 1к ограничена и непрерывна в основном в промежутке [а,Ь]. Пусть С есть множество точек пространства Ез, зачерчиваемое криволинейной трапецией ТЦ; а, Ь) при вращении вокруг оси ОУ (см.
рис. 14). Рос. 14 Зля произвольного отрезка гл = [хг, хз] пусть С( л) есть тело, получаемое при вращении криволинейной трапеции Т(~;Ь) вокруг оси ОУ, С(сь) есть множество всех точек, координаты которых х, у, е удовлетворяют неравенствам: С~,*~~С*Ос*С Множество С(гл) представляет собой своего рода «втулку». Пусть Ъ'(Ь) есть объем тела С(Ь).
Функция отрезка У(Ь), получаемая таким образом, аддитивна. П о к а ж е м, что зта функция отрезка непрерывна и в каждой точке х Е (а, Ь), в которой непрерывна функция у, плотность аддитивной функпии отрезка У равна 2тхДх). Лействительно, пусть о есть отрезок [хг,хз] С [а, Ь] и пусть га есть точная верхняя, а у — точная нижняя границы функции у на — а промежутке Ь.
Криволинейная трапеция ТЦ; сь) содержит в себе прямоугольник, основанием которого является отрезок Л = [хг, хз], а высота равна г Множество Т(у; сь) содержится в прямоугольнике с тем же основанием и высотой ~а. Вращая зти прямоугольники вокруг оси ОУ, мы получаем две цилиндрические «втулкиз, у каждой из которых внутренний радиус равен 134 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной к(х' ,— х',),~ < Ъ'(Ь) < я(хз — х',)7д.
(7.1) По условию, функция у является ограниченной. Пусть О < г(х) < < т'. < со для всех х Е [о, Ь]. Из неравенств (7.1), в частности, вытекает, что У(лг) < ггТФ(А), где фунхция Ф определена соотношением: Ф: Ь = [хм ха] ~-+ хз — х,. з 2 Функция отрезка Ф непрерывна и потому, как следует из леммы 3.2, непрерывна также и аддитивная функция отрезка Ъ'.
Предположим, что функция 1 непрерывна в точке хе Е (а, Ь). тогда хг — ~ хо и хз - хе при,~ — + У(хо) и УА — У(хо). Отсюда вытекает, что 1пп = У(хе) 1пп = 2хйхе)хо, ~'(~1) . ха — х', ~А|-о ]га] ~А~ о хз — хг и, следовательно, плотность аддитивной функции отрезка ъ" (А ) в точке хе равна 2гг~(хе)хе. Применяя теорему 3.1, заключаем, что обьем тела С может быть вычислен по формуле: ь Ъ' = 2к ху(х) дх. а 7.3.
ЛИНА КРИВОЙ И ПЛО АЛЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРА ЕНИЯ 7.3.1. К рассмотрению понятия длины кривой мы вернемся в главе 8. Здесь мы дадим определение того, чтб есть длина кривой и укажем способ ее вычисления в простейшем частном случае, когда речь идет о кривых, которые являются графиками функций одной переменной.
хг, а внешний радиус — хз, высота одной «втулки» равна у, а высота д1 другой — 1д. Тело С(Ь) содержится в одной из данных «втулок» и одновременно содержит другую. Отсюда вытекают неравенства: 135 З 7. Приложения интегрального исчисления Пусть даны отрезок [а, Ь] С й и функция,7: [а, Ь] — Ж. Определим по 7" некоторую функцию отрезка Л следующим образом. Для отрезка ьь = [хг, хз] С [а, Ь] полагаем Л7(ьь) равным длине отрезка на плоскости, соединяющего точки Уг = (хг, ~(хг)) и Уз = (хз, ~(хз)), то есть Эта функция в общем случае не является аддитивной (см. рис. 15).
(Читателю предлагается описать все функции ~, для которых функция отрезка Лг аддитивна.) Рис. 15 Функция Лу(б,) непрерывна в точке хе Е [а, Ь] в том и только в том случае, если в этой точке непрерывна функция у. (Напомним, что функция отрезка Ф называется непрерывной в точке хо Е [а, Ь], если Ф(Ь) -+ О, когда отрезок Ь стягивается к точке хе, то есть если для всякого е > О можно указать окрестность У точки хе такую, что если хе Е Ь С У, то выполняется неравенство: [Ф(Ь)] ( е.) Аддитивная функция отрезка 1у, определенная в промежутке [а, Ь], называется длиной дуги кривой у = 7(х), если она непрерывна и плотность |Иу(х) функции 1у определена в промежутке [а, Ь] в основном, причем имеет место равенство: Р1~(х) = РЛ~(х) в промежутке [а,Ь] в основном. Этим условием аддитивная функция отрезка 1у определена однозначно.
Пействительно, если 1~ и 1з — две непрерывные аддитивные функции отрезка такие, что РЬг(х) = РЛ1(х) в промежутке [а, Ь] в основном, а также и т (х) = РЛ~(х) Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной в основном в том же промежутке [а, Ь]. Отсюда вытекает, что Р11(х) = Р)г(х) в промежутке [а, Ь] в основном.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
