1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 23
Текст из файла (страница 23)
З 7. Приложения интегрального исчисления Пусть А(Ь) = А(х1, хз) есть работа, которая производится данной силой при прохождении отрезка Ь = [х1, хз] в направлении от х1 к хз. Тем самым на промежутке [а, Ь] определена некоторая функция отрезка. Пусть на прямой даны точки х1, хз и хз, причем х1 < хз < хз. Тогда работа, которая производится при прохождении промежутка [х1, хз], равна сумме А(х1,хз) + А(хз,хз). Отсюда вытекает, что функция отрезка А является аддитивной. Из физических соображений очевидно, что большая сила производит большую работу, то есть если Г1(х) < Гз(х) для всех х из промежутка [х1,хз], то работа, производимая силой Г1 при прохождении отрезка [х1, хг], будет меньше, чем работа, которая производится силой Гз при прохождении того же отрезка.
Предположим, что для некоторого отрезка сь = [х1,хз] С [а, Ь] сушествуют постоянные Н1 и Нз такие, что для всех х Е [х1, хз] выполняются неравенства Н1 < Г(х) < Нз. Сравнивая работу, производимую силой Г при прохождении отрезка б, = [х1,хз], с работой, которая на этом же отрезке выполняется постоянной силой, равной либо Н1, либо Нз, получаем, что имеют место неравенства: Н1(хг — х1) < А(Ь) < Нг(хз — х1). Будем считать, что функция Г ограничена и [Г(х) [ < Н < оо для любого х Е [а, Ь].
В силу теоремы 7.1, из сказанного, очевидно, следует, что если функция Г непрерывна в основном, то для любого отрезка Ь = [х1, хз] С С [а, Ь] работа силы Г(х) на этом отрезке выражается формулой: (7.3) А(Ь) = Г(х) Их. 3) Оп еленне п т н мате нальной точки по ее ско ости н око ниах Пусть рассматривается движение материальной точки вдоль прямой и пусть х($), а < Ф < Ь, есть ее координата в момент времени Ф. Тогда для произвольного отрезка времени [г1, $з] разность х(1з) — х($1) есть путь, пройденный точкой за промежуток времени [$1, йз].
144 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Как было отмечено в главе 4 (п. 2.4), скорость сс(Ф) и ускорение со(1) данной точки в момент времени $ равны производным х'(8) и х" (1), соответственно. Часто возникает задача — описать движение точки, зная либо ее скорость, либо ее ускорение, каи функцию времени. Из сказанного выше следует, что ешение азанных з ач сво ится и вычислению некото ых интег алов. А именно, если х(с) = хо для Ф = а, то для произвольного 8 Е [а, Ь], согласно формуле Ньюпсона — Лейбница (см. п.
1.3 этой главы), путь, пройденный точкой за промежуток времени [а, 1], выражается через скорость формулой: с х(с) — х(а) = и(т) Йт, а (7.4) Аналогично, если и(а) = ио, то для произвольного Ф Е [а,о] скоросспь точки х(с) в момент времени й выражается через ускорение равенством: с и(1) = оо + со(т) Йт. и (7.5) Чтобы выразить путь точки х(Ф) через ускорение, воспользуемся дсормулой Тейлора с остапсочным членом в интегральной дсорме (формула (2.21), п. 2.7). Полагая в формуле (2.21) сс = 2 и принимая во внимание, что х'(а) = о(а), а х" (с) = пс(с), получим с х(с) = х(а) + (с — а)о(а) + (с — т) ш(т) ат.
а 4) Ф о м л а ля вижения тела б ошенного ве тихально вве х со сяо остью анной и . Рассмотрим задачу о движении тела, на которое действует сила тяжести. Под действием этой силы тело получает ускорение, равное — д. Пусть о(с) есть скорость тела, а х(1) его высота в момент времени с Е [О, со), причем хо = О. Имеем: и'(1) = — д. Применяя равенство (7.5), получим, что о($) = оо — д1. 145 З 7.
Приложения интегрального исчисления Формула (7.4) теперь позволяет написать формулу для движения тела, брошенного вертикально вверю хЯ = хо + и(т) дт = ио1 — —. дг 2 о (7.6) Здесь х(Ф) означает высоту брошенного тела в момент времени 1. б) Ф о м л а ля величины кинетической эне гнн мате иальной точки. с и(г) = и — / Йт. Г Р(т) о Имеем и(Т) = 0 и, следовательно, т | Р(т) о Пусть х(Ф) есть координата точки в момент времени $. При этом считаем, что х(0) = О.
Предположим, что по прямой движется материальная точка с массой т и постоянной скоростью, равной и, и начинал с некоторого момента времени, на данную точку начинает действовать направленная против движения точки тормозятая сила и действие этой силы продолжается вплоть до того момента времени Т, когда скорость точки становится равной нулю. Покажем, что работа, произведенная тормотэ зящей силой за промежуток времени, равна — и не зависит ни от величины этой силы, ни от характера изменения тормозящей силы со временем. Простоты ради будем считать, что торможение материальной точки начинается в момент времени Ф = О.
Пусть и(г) есть скорость точки в момент времени й, а ш($) — ее ускорение в этот момент. Имеем: ш(1) = и'($), ш(Ф) = — — и и(8) > 0 при 0 < 1 < Т. р'(с) т Отсюда получаем, что для 1 Е (О, Т] имеет место равенство: 146 ь'л. 5. Интегральное исчисление функдий одной переменной | Н р'[~(х)] ьЬ. о Произведем в интеграле замену переменной интегрирования, полагая х = х(ь). Получим: т т А = Г($) х'И) а = Р(ФМ) а.
о о Лалее имеем; Отсюда Г(ь) = — тс'(ь) и мы получаем, что работаа, выполняемав бонной сивой, вычисляется но дьорвьрвеь т А = — то'(ь)и(ь) ьц. о (7.7) Подынтегральное выражение является производной функции: т[о(й)]з Отсюда получаем д р р г о е выражение дьья величины работы: т[е(Т)] те 1 ти 2 2 ! 2 (7.8) Лля всякого й Е [О,Т) имеет место равенство х'(ь) = и(й) > О, и, стало быть, функция х является непрерывной и строго возрастающей на промежутке [О, Т]. Положим Н = х(Т). В пропессе т о р м о ж е н и я рассматриваемое материальное тело проходит, таким образом, отрезок [О, Н].
Пусть х Е [О, Н] и Ф = Ф(х) есть то значение $, для которого х(й) = х. Сила, которая действует на тело, когда оно находится в точке с координатой х, очевидно, равна Г[ь(х)]. 3 а м е т и м, что х ь 1(х) есть функция, обратная функции х. В соответствии с формулой (7.3), работа А, которая выполняется данной силой, равна интегралу: З 7. Приложения интегрального исчисления 147 Мы видим, что значение работы А, произведенной при торможении материальной точки с массой гп, движущейся со скоростью е, равно упп 2 щэ и не зависит от характера тормозящей силы.
Величина — называется 2 кинетической энергией материальной точки. 7.5. ОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРАНС ЕНЛЕНТНОСТИ ЧИСЛА е Число г Е С называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого полинома, все коэффициенты которого целые числа. Если число г не является алгебраическим, то оно называется трансцендентным. Иначе говоря, число г Е С трансцендентно, если выполнено следующее условие: для всякого полинома Р степени п ) — оо, коэффициенты которого целые числа, имеет место неравенство Р(х) ~ О. ° Теорема 7.4. Множество А С С всех алгебраических чисел не более чем счетно. Доказательство. Данная теорема представляет собой не слишком трудное упражнение на тему: <счетные множества».
Пусть п Е Я, 'Р— множество всех полиномов степени не выше н, коэффициенты которых сю к = О, 1, 2,..., и, суть целые числа, удовлетворяющие неравенствам ~сь~ < п. Множество 'Є— конечно, и число его элементов не превосходит (2н + 1)"+'. Пусть А есть совокупность всех чисел, каждое из которых является корнем хотя бы одного из полиномов Р, принадлежащих Р„. Множество А„— конечно, число его элементов не превосходит п(2п+ 1) "~'.
При всяком п Н 1Ч справедливо Ан С А. Для всякого ~ е А существует п е И такое, что ~ Е А . Из доказанного следует, что Таким образом, множество А является объединением некоторой последовательности конечных множеств, откуда вытекает, что А не более чем счетно. Теорема доказана. ° 148 Гп. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной э Всякое рациональное число х является алгебраическим. Действительно, пусть х Е Я.
Тогда х = †, где р — целое число, а =р Я д Е 1Ч. Отсюда следует, что 4х — р = О, так что х является корнем полинома с целочисленными коэффициентами, Отметим без доказательства некоторые свойства алгебраических чисел. э Сумма и произведение любого числа алгебраических чисел также алгебраические числа. 1 э Если х й А, х ф О, то также и — й А. х э Если Р есть полипом, коэффициенты которого являются алгебраическими числами, то все корни этого полинома есть алгебраические числа. ° Лаьгма 7.1. Пусть функция У является полиномом степени не выше и. Тогда имеет место равенство: | е *7"(х) дх = Р(0) — е Р(Ь), о (7.9) Из этого результата Ф. Линдемана вытекает неразрешимость задачи о квадратуре круга, то есть невозможность построить с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого была бы равна площади круга с данным радиусом й.
Доказательство перечисленных свойств алгебраических чисел требует привлечения некоторых нетривиальных соображений, относящихся к алгебре, и мы его не приводим. Так как множество всех вещественных чисел несчетно, то из теоремы 7.4 следует, что подавляющее большинство вещественных чисел суть трансцендентные числа. Однако задача — указать число, которое было бы трансцендентным, — является весьма непростой. Первые примеры трансцендентных чисел были построены Ж. Лиувиллем в 1844 г. Значительно труднее оказалось установить трансцендентность тех или иных конкретных вещественных чисел. В 1873 году Ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
