1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пусть Г1 и Гз суть производящие функции для данных функций отрезка. Эти функции непрерывны. При этом Г1(х) = Р)1(х) в каждой точке, в которой величина Р11(х) определена и Гг (х) Р12 (х) всюду, где величина Р1з(х) определена. Мы, следовательно, получаем, что Г2(х) = Г1(х) т~(х ) = РЛ~(х ) Это означает, что 1,(Л) И Л,(Ь) и-и. Ф ~-*. Ф ' (7.2) Так как 1у(Ь) > ]Ь[, то РЛу(хо) > 1 и из равенства (7.2) вытекает, что )~(Р) ио Л~(~1) Это проясняет геометрический смысл условия ХМу(хо) = РЛу(хо).
в основном. Так как функции Г1 и Гг непрерывны, то отсюда вытекает, что Г1 и Гг отличаются на постоянное слагаемое и, значит, 11 = 1г. Кривая у = ~(х) называется спрямляеиой, если для нее существует функция отрезка 1у, удовлетворяющая всем перечисленным условиям. Произвольному отрезку Ь = [х1,хг] С [а, Ь] отвечает дуга графика функции у, состоящая из точек (х, 7(х)) таких, что х Е ьъ.
Величину 1у(Ь) мы будем называть длиной дуга графика функции 1(х), отвечающей отрезку Ь. Пусть точка хв Е [а, Ь] такова, что каждая из функций отрезка 1у и Лу имеет плотность в точке хо, причем: 137 З 7. Приложения интегральною исчисления Оно означает, что длина достаточно малой дуги кривой р = у(х), содержащей точку 1'е = (хе, Дхе)), почти равна длине прямолинейного отрезка, соединяющего концы дуги. ° Теорема Т.2. Предположим, что функция У: [о, Ь] — 1й непрерывна и днфференцируема в основном в промежутке [а, Ь]. Если функ- и *~/рЯ'~:~ р ру ры у уь,я *р р=л ) является спрямляемой.
При этом для всякого отрезка ьъ = [х1, хз] С [а, д] имеет место равенство: Доказательство. Предположим, что функция у удовлетворяет всем условиям теоремы. Аддитивнэя функция отрезка Ф, определенная условием Ф([хг,хз]) = Дхз) — У(хг), непрерывна и в каждой точке х Е [а, Ь], в которой функция у дифференцируема, имеет конечную плотность. При этом справедливо равенство: ПФ(х) = У (х). Для всякого отрезка ьь = [х1, хз] имеет место неравенство: Л~(Л) Ф(Л) ' Для всякой последовательности отрезков (гл ) ен, стягивающейся к точке х, отношение Ф(А„) ]~ ] при и -+ со, согласно лемме 3.1, стремится к пределу, равному у'(х). Отсюда следует, что для всякой такой последовательности отрезков отношение л,(л.) имеет своим пределом при и — оо величину; Ляг+ ~.
138 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Для Ь = [х1,хз] положим: Определенная этим равенством аддитивная функция отрезка 1у непрерывна, и ее плотность равна [У'(х)]з + 1 в промежутке [а, Ь] в основном. Отсюда следует, что ~~х) = О~~у(х) в промежутке [а, Ь] в основном. Таким образом, мы получаем, что функция 1г отрезка удовлетворяет всем условиям определения длины дуги кривой у = Г(х), данного выше. Теорема доказана. ° Т.3.2. Выв ем о м л ля пло и пове хности в ения в мжнмнмпу фу ~ Р л ус 6,60 Р д о п о л н и т е л ь н о потребуем, чтобы для всех и Е [а, Ь] выполнялось неравенство Г'(х) > О. В пространстве зададим декартову ортогональную систему координат.
Пусть Ох, Оу и Ох — оси этой системы координат. В плоскости Оху построим г р а ф и к данной функции Г (см. рис. 16). Пусть Р есть поверхность вращении, зачерчиваемвя в пространстве при вращении графика функции г вокруг оси Ох. Наша цель — указать ф о р м у л у для вычисления площади указанной поверхности вращения. Сначала дадим определение того, чтб мы будем здесь понимать под термином <площадь поверхности вращения».
Определение, которое будет дано здесь, относится только к сл чаю лове хностей анного спе иального в а а именно — нове хностей в ения. Вопрос о том, чтб есть площадь поверхности в общем случае, будет рассмотрен во второй части книги. Мы предполагаем известным, что такое площадь для простейших поверхностей вращения, изучаемых в школьном курсе геометрии, в 139 З 7. Приложения интегрального исчисления частности, таких как цилиндр или боковая поверхносгаь усеченного конуса.
Риа 1б Пусть Ь = [хз,хз] есть произвольный отрезок, содержыцийся в промежутке [а,б]. Отметим точки Уг = (хм у(хг)) и Уз = (хз,Дхз)) на графике функции У, и пусть Ф7(Ь) есть площадь полосы, зачерчиваемой отрезком УгУз при вращении вокруг оси Ох (см. рис. 16). Эта полоса представляет собой боковую поверхность усеченного конуса, радиусы оснований которого равны у'(х~) и Дхз), а высота равна [Ь] = хз — хз. В силу формул, известных из курса элементарной математики, имеем: ф7(~) = г[УгУз][У(х~) + У(хз)]. Заметим,что [УзУг[ = Мы получаем, таким образом, некоторую функцию отрезка в промежутке [а, б]. Эта функция не является аддитивной.
Если функция 7' непрерывна в точке хо е [а, б], то функция отрезка Ф у также непрерывна в этой точке. Будем говорить, что поверхность, описываемая графином функции 1' при вращении в пространстве вокруг оси Ох, к в а д р и р у е м а, если существует непрерывная аддитивнэя функция отрезка Р~ такая, что в основном в промежутке [а, б] плотность РР7(х) определена и РР~(х) = РФ7(х) в основном в промежутке [а, Ь]. Этими условиями функция Ру определяется однозначно. Гл.
5. Интегральное исчисление функций одной переменной Для отрезка гг = [хг, хз] С [а, Ь] величину Рг(Ь) мы будем называть плогцадьго часгпи данной поверхности вращения, соответствующей отрезку Ь. Эта часть зачерчивается д у г о й графика функции у, лежащей над отрезком га при вращении ее вокруг оси Ох. Следующая теорема устанавливает некоторое остаточное словие кв и емости пове хности в ения, получаемой в результате вращения графика функции. ° Теорема 7.3. Предположим, что функция г: [а, Ь] — И непрерыв на н дифференцируема в основном в промежутке [а, Ь] и у(х) ) 0 для всех еа,й.е ф~ ~ 6~4КК*'+1 ~ рг щ [а, Ь], то поверхность вращения, описываемая кривой у = Дх), является ивадрируемой.
При этом для всякого отрезка Ь = [хг, ха] С [о, Ь] имеет место равенство: Р~(Ь) = 2т у(х) [Г(х)]з + 1 дх. хг Доказательство. Предположим, что функция у удовлетворяет всем условиям теоремы. Аддитивная функция отрезка Ф, определенная условием Ф([хг, хз]) = Дхз) — Дхг), непрерывна и в каждой точке х Е [а, Ь], в которой функпия у дифференцируема, имеет конечную плотность. При этом справедливо равенство ПФ(х) = у'(х). Лля всякою отрезка Ь = [хг,хз] имеет место равенство: Ф~(~) = и[у(хг) + у(хз)] ~ ~ + 1 = ~ Ф(а )1' = и[Дхг) + у(хз)] Для всякой последовательности отрезков (Ь„)„ен, стягивающейся к точке х, отношение Ф(~ ) [~1 ] при и — оо, согласно лемме 3.1, стремится к пределу, равному У'(х). Отсюда следует, что для всякой такой последовательности отрезков отношение 141 З 7.
Приложения интегрального исчисления имеет своим пределом при и — ) оо величину 2'У(')2(((ГГ( ())' + 1 Д Л=[х),х] Я2 Р1[Ь) =2н У[х) [у [х)]г+1йх. Я2 Определенная этим условием аддитивная функция отрезка Ру непрерывна и ее плотность равна 2 2( )~/[~'( )) '-1 в промежутке [а, Ь] в основном. Отсюда следует, что РР~[х) = Рф~[х) в промежутке [а, Ь] в основном. Из доказанного видно, что все условия данного выше определения квадрируемости поверхности вращения выполняются. Существование функции отрезка, удовлетворяющей требованиям, содержащимся в этом определении, установлено.
А именно, Р и является такой нк ней от зка. Теорема доказана. ° 7.4. НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА Понятие интеграла имеет многочисленные приложения в физике [как и в других науках). П ив ем п и м е ы кото ые мог т сл жить лишь весьма непол- ной иллюст а ией этого. 1) Масса и ямолинейного сте жня. Пусть дан прямолинейный стержень, изготовленный из некоторого неоднородного материала. Будем считать, что этот стержень лежит на некоторой оси, а есть координата одного его конца, Ь вЂ” координата другого, причем а < Ь. Пусть й = [хг,хэ] есть произвольный отрезок, содержащийся в [а, Ь]. Гд. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Обозначим через р(Ь) массу той части стержня, которая образована точками стержня, координаты которых лежат между хг и хз. Тем самым на промежутке [а, Ь] определена некоторая функция отрезка,и.
Из физических соображений естественно считать, что эта функция отрезка аддитивна. Полагаем, что функция отрезка р непрерывна. Физический с мыс л этогодопущения состоит в следующем: сте жень не имеет точек в кото ых была бы сос е оточена нен левал масса. Пусть р(х) есть ил о т н ос т ь функции отрезка р в произвольной точке х Е [а, Ь]. Величина р(х) называется паогпностью в точке стержня с коордппатпой х. Напомним (см. и. 3.1), что, по определению, плотность функции отрезка р в произвольной точке х отрезка [а, Ь] есть предел отношения д(~1) на множестве всех отрезков, содержащих точку х при условии, что [Ь[ — ~ О.
Применяя теорему 3.1, получаем, что если множество точек, в которых величина р(х) не определена, — не более чем счетно, то масса прямолинейного стержня равна интегралу: | ь р(х) дх. а 2) Работа силы. Пусть дана материальная точка, которая перемещается вдоль прямой под действием силы, направленной по этой прямой.
Коли сила и о с т о я н н а и Р есть ее величина, то при перемещении на расстояние, равное з, производится некоторая работа А, значение которой выражается формулой: Выв ем о м л ля вычисления аботы в сл чае ког а значение силы есть величина пе еменная. Будем предполагать, что значение силы зависит т о л ь к о от положения материальной точки на прямой, то есть Р является функцией координаты х рассматриваемой материальной точки Г = Г(х). Будем считать, что каждой точке х промежутка [а, Ь] сопоставлена некоторая сила Г(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
