1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть |: [О, 1] — К есть произвольная функция класса Ю~. Положим г1(х) = ~(х) — йх — 1, где й = ('(1) — ДО), 1 = ДО). Очевидно, Уг(0) = (г(1) = 0 и, следовательно, по доказанному, ]Т(1г)] < —. Так как для функпии у(х) = йх+ 1 имеет место равен]]И ~ 12 ство Т(р) = О, то Т(~г) = ТЦ). Имеем также: У"(х) = Д'(х), откуда вытекает, что ]Яз = ]]11 )]з. Таким образом, мы получаем, что для всякой функции у класса Р~, определенной на промежутхе [О, 1], выполняется неравенство: 1 Т(6) = ТЦ) = ~(х) с1х — — [~(0) + ~(1)] < ]~ о Лемма доказана.
° Пусть дана функция ~, определенная и непрерывная на промежутке [а,Ь] С й. Положим 1= Ь вЂ” а. Зададим произвольно натуральное число п. Промежуток [а, Ь] разделим на и равных частей точхами И хь =а+ —, и и = 0,1,2,...,п. Обозначим через Хь точку (хюО) на оси Ох. Пусть Уь = (хь, Дхь)) — соответствующая ей точка на графике функции У. Пусть теперь |„есть функция, определенная условиями: ~„(хь) = =,г" (хь) для всякого и = О, 1, 2,...,п и 1".„(х) = Аьх + Вь в промежутке [хь ыхь] при каждом Й =1,2,...,п. 116 Гл. 5.
Интегральное исчисление функций одной переменной Рис. 10 Г р а ф и к ф у н к ц и и У есть ломаная, получаемая, если соединить последовательно отрезками точки 1'е и 1"~, Уг и Уя и т. д. (см. рис. 10). Если и достаточно велико, то функция ~„, как это очевидно из рисунка, будет близка к функции ~ и, значит, интеграл от функции у„по промежутку [а, Ь] близок к интегралу от функции по этому же промежутку [а, Ь]. Найдем интеграл от функции ~„по промежутку [хь ыхь], где 1 1 < й < п. Положим: 8ь = — (хь 1+ хь), л = хь — хь-1 = —. Ь Заметим, что хь — 1ь = 1ь — хь г — — —.
функцию у„в промежутке 2 [хь-ыха] представим в виде: ~„(х) = Аь(х — 1ь) + Сь, где Аь и Сев постоянные. Полагая х = хь ы х = хь, получим следуюшую систему уравнений: Ь Ь вЂ” — Аь + Сь = ~(хь 1), — Аь + Сь = Дхь), 2 ' 2 которой удовлетворяют числа Аь и Са. Складывая эти уравнения почленно, получим: Са = — [~(хь — 1) + ~(хь)]. 1 Величину Аь вычислять не нужно, ибо с„+абаз с„-ь/г З 6. Интегралы н суммы. Формулы численного интегрирования 117 В результате получаем, что (х)(1х = Сьй = — [,1(х]у 1) + ~(хна~. 2п Отсюда ь я | у» у» у.(.]у. = г.
| (.(.]у. = г — ]у(...].» ((..]]. (6.1»] а=г я=1 а яь-1 Сумму, стоящую в и р а в о й части равенства (6.14), будем обозначать символом Е (г"; а, Ь). После приведения подобных членов получаем: уу — 1 я=1 Е„(1;а, Ь) =— (6.15) а ( х ( Ь, О ( р ( у(х), и, значит, этот интеграл равен сумме площадей малых криволинейных трапеций Хь гУь гУьХь. Величина Е„(г'; а, Ь) возникает, если в этом представлении интеграла, как суммы площадей криволинейных трапеций, площадь криволинейной трапеции Хь 1Уь 1УьХь заменить площадью обычной трапеции с теми же вершинами Хь ы Уь ы Уь, Хю Сл ю антее ема ает о енк точности метр а т апе- ий численного интег и ования. Принимал величину Е„® а, Ь) за приближенное значение интегра,фу у' р у у(,»], у, р у~~яуяб, лиженного вычисления интег ала. Правая часть равенства (6.15) называется ууормулой порядка и для приближенного вычисления интеграла методом трапеций или, короче, о м лой т апе ий для и иближенного интег и овация.
Величина Е„(1; а, Ь) допускает следующее геометрическое истолкование. Предположим, что У(х) ) О для всех х Е [а, Ь]. Интеграл функции у по промежутку [а, Ь] есть площадь криволинейной трапеции, определенной неравенствами: 118 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной ь | ~з 1(х) 1*-~ Фо,Ь) < —,]]У[]з, к (6.16) Доказательство. Пусть функция у: [а, Ь] — К удовлетворяет всем условиям теоремы. Положим: Нь — — у (х) йх — — [у (хь з) + у (хь)]. 2п Произведя в интеграле с и р а в а замену переменной интегрирования по формуле: х=хь г+ — й и и полагая / у(1) = — 1 хь ь+ — й получим: 1 ~„"= [ р(~)а--[р(6)+Ю(1)]=Т(р). 1 о Применяя неравенство (6.12), будем иметь: [Ф ()! — — ЗУ (х) 5 — з][у[! .
Отсюда получаем: ~з [~ь! ~ з[й! ' Имеем, очевидно: ° Теорема 6.3. Пусть функция г': [а, Ь] — К принадлежит классу Ю~ и ее вторая производная ограничена. Пусть Е„(У; а, Ь) есть величина, определенная равенством (6.15). Положим также 1 = Ь вЂ” а. Тогда для всякого п Е Ы справедлива оценка: З 6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 119 откуда следует неравенство: 1з У(х)г1х — Р У;о,б) < — з~~УЬ. а Теорема доказана. ° 6.4. ФОРМУЛА СИМПСОНА ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
1 ~(Ф) Ж = аДО) + Я(1/2) + 'у~(1) о (6.17) было верным для случая, когда либо У(х) = 1, либо г"(х) = х либо, наконец, у(х) = хз. Полагая в равенстве (6.17) 1(х) = 1, затем у(х) Г— н х и, наконец, 1(х) = х, получим следующую систем линейных авнений относительно неизвестных коэ и центов а и 1 2 1 Р + 7 4 1 2 1 3 Решая эту систему, получим: 1 а =— 6 Точность формулы трапеций, как формулы численного интегрирования, во многих случаях оказывается недостаточной. Приведем другую формулу, которая позволяет, при той же затрате труда, достичь существенно ббльшей точности вычислений в предположении, что функция, интеграл которой вычисляется, достаточно гладкая.
Сначала проделаем некоторые вспомогательные построения. Рассмотрим отрезок (О, Ц. Найдем числа а, Д и у такие, что величина аДО) + Щ1/2) + уу(1) равна интегралу по отрезку [О, Ц функции у в случае, когда 1(х) есть произвольный квадратный трехчлен Ах + 2Вх+ С, где А, В и С вЂ” постоянные. Очевидно, достаточно, чтобы равенство Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной 120 1 | ~(х) Ых = — [ДО) + 4~(1/2) + Д1)], о (6.18) верную для случая, когда функция 7" (х) есть квадратный трехчлен.
Отметим о ин иятный сю и из. Полагая в (6.18) Дх) = хз, получаем, что это равенство в е р н о также и для этой функции, а, значит, равенство (6.18) выполняется для всякой функции 7", являющейся полиномом не выше третьей степени. Таким образом, множество функций, для которых равенство (6.18) является точным, оказалось шире, чем это требовалось с самого начала! Для произвольной непрерывной функции ~, определенной на отрезке [0,1], равенство (6.18), вообще говоря, не выполняется.
Положим: 1 Я(7') = Д8) Ж вЂ” — [г'(0) + 4г'(1/2) + 7'(1)]. о (6.19) Предполагая, что функция у принадлежит классу Р, мы устано- 4 вим некоторую оценку для величины Я(у). Для произвольной функции 7' Е Ю4 в промежутке [О, 1] положим: (6. 20) ° Лемма 6.2. Пусть функция 7, определенны ва промежутке [О, 1], принадлежит классу Р, причем ее четвертая производны ограничена. Тогда имеет место неравенство: 2880 ]]У]]4 (6.21) Лоиазательство. Предположим сначала, что 7' удовлетворяет следующим дополнительным условиям: г"(0) = ~~ — | = г"(1) = 0 и ~2) ~(1) = 1(1 — 1) для всех М Е [О, 1].
Имеет место равенство: Подставляя в равенство (6.17) найденные значения а, Д и 7,получим формулу: з 6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 121 1 Я(у) = 2 ДФ) ~й. е Положим: ез о(М) = — — —. 24 36 Имеем: о'"(й) = 1 и, следовательно, Я(~) = 2 а'"(ФЩФ) ~Ы. о Применим храганую формулу интеерировання по частаям (см. теорему 2.6).
Получим: 1 1 1 Я(~) = 2о'"'(М)Д(й) ~ — 2а" (й)~'(й) ~ + 2<г'(й)У" (1) — 2а(й)У '(й) ~ + о о о о +2 а'(1)~' ($) сй. о (6.22) Из условия У($) = у(1 — Ф) вытекает, что для всякого Ф Е [0,1] Уоо(1) = ( — 1)"Уоо(1 — 1), где 1 < и < 4. Полаган й = — и й = 1,3, 2 получим: и, значит, 1 В правой части равенства (6.22) 2а'"(гЩ$)~ обращается в нуль, 1О /11 так как, по условию, у(0) = 0 и у ( — ) = О. ~2) Произведя в последнем интеграле замену переменной й = 1 — и, в силу того, что Щ = у(1 — г), получим: 122 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной 1 Палее, 2о "(Ф)/'(Ф) = 0 так как нл(0) = 0 и /'( — 1 = О.
о ~2/ 1 Наконец, 2о'(Ф)/"(Ф) = О, так как <т'(О) = и'(-~ = О. о ~2/ 1 Из равенств: о.(0) = 0 и /"'(-1 = 0 следует, что 2<т(Ф)/"'(Ф)] = О. 12/ !о Таким образом, все «внеинтегральные» слагаемые в и р а в о й части равенства (6.22) обращаются в нуль. Это позволяет заключить, что при сделанных предположениях имеет место равенство: 1 Я(/) = 2 ~т($)/" (Ф) Ж. о Отсюда вытекает неравенство: 1 ]о(/)] < 2]]/]]4 / — — — ог = —. г ~' ' ]]л „/ 24 36 2880 о Неравенство (6.21), таким образом, доказано в предположении, что функция / удовлетворяет некоторым специальным условиям.
Теперь мы можем освободиться от этого ограничения. Лля любых двух непрерывных функций /г и /з, определенных на промежутке ]О, 1], имеет место равенство: ЯЖ+ ~г) = Я(Л)+ Я(Уг) и для всякой непрерывной функции /: ]О, 1] — К и любого числа Л Я(Л/) = ЛЯ(/). Наконец, отметим еще, что Я(/) = О, если / есть полипом не выше второй степени. Пусть дана произвольная функция / Е Р, определенны на отрезке [О, 1].
Пусть и(х) = рт~ + дт + г есть квадратный трехчлен такой, что н(0) = У(0), 'З 6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 12З и и(1) = У(1). Выписывы эти равенства полностью, мы получим систем линейных авнений относительно коэ и центов и г. Легко проверяется, что эта система р а з р е ш и м а и, значит, квадратный трехчлен и(х), удовлетворяющий требуемым равенствам, существует. Положим Уг = У вЂ” и. Имеем: Я(Уг) = Я(У) — Я(и) = Я(У). Функция 1 Уг обращается в нуль в точках х = О, — и 1.
'2 Так как производная четвертого порядка от квадратного трехчлена равна нулю, то У['(х) = У"(х) для всех х Е [0,1] и, следовательно, []У1][4 ]]У][4 При выводе неравенства предполагалось, что функция У удовлетворяет еще условию: У(х) = У(1 — х) для всех х Е [О, 1]. Определим функцию У2, полагая У2(х) = [Уг(х) + Уг(1 — х)]. 1 2 Очевидно, У2(х) = Уг(1 — х) и функция У2 обращается в нуль для 1 х=0,—,1. '2' Функция У2, таким образом, удовлетворяет всем требуемым условиям. Очевидно, Я(У2) = Я(Уг). Лля всякого х Е [О, 1] имеем: У2"(х) = -[У' (х) + У" (1 — х)].
Отсюда: ]У2 (х)] ( [[У (х)[ + ]У (1 — х)]] ( [[]У][4 + []У][4] )]У)]4. Так как х Е [О, 1] — произвольно, то мы, следовательно, получаем, что ]]Уз[[4 ( ][У[[4. По доказанному имеем: ® (У ) ~(~ ) 2680 ( 2ВВО' и, таким образом, нами установлено, что неравенство (6.21) в е р н о для всякой функции У Е 21 . Лемма доказана. ° Пусть У: [а, Ь] 4 И есть произвольная функция, определенны на промежутке [а, Ь] С К. 124 Гл. 5. Интегральное исчисление фувкпий одной переменной Зададим произвольно номер и Е ("'(.
Положим 1 = Ь вЂ” а, Ь = — и и разделим промежуток [а, Ь] на и равных частей точками х„= а + Йп, 1 й = 0,1,2,...,п. Положим 1ь = -[хь 4+ха]. 2 Метр п иближенного интег и овання нк ии, который мы рассмотрим сейчас, состоит в том, что за приближенное значение интеграла функции предлагается брать сумму: 0®а,Ь) = — ,'~ [((хь г)+4((Фь)+((хь)]. Ь (6.24) После приведения подобных членов в этой сумме, получим: а-1 а О(Д;,б(= — Д (+2~(( (+4~ Д~ (~(о(]. (625( ь~ а=1 а=1 ин лежит класс сена и и словцу что интег и емая нк я 'П и ее четве тая оизво ная — ог аниченнэя к ия. 4 ° Теорема 6А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
