1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Этим у с т а н о в л е н о, что т; является простой ступенькой при всяком г = 1, 2,..., и, и тем самым лемма доказана. ° 'З 5. Интегральные теоремы о среднем значении На рис. 8 показано, как выглядит функция ~р (х) для функции р. График функции ьз образован двумя сплошными линиями, лежащими над отрезками [а,с] и [с, Ь], где а < с < Ь. В точке с функция у имеет разрыв. Рис 8 Специфическое строение функций ьз„наглядно можно выразить, говоря, что они образуют аппроксимацию функции у типа слоеного торта.
5.3. ВТОРАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА О СРЕЛНЕМ ЗНАЧЕНИИ ° Теорема 5.2 (вторая интегральная теорема о среднем значении). Пусть даны промежуток [о, Ь) С К и функции У: [а, Ь] — К ид: [а, Ь] — ~ К. Если функции д, ]д] и гд интегрируемы по промежутку [а, Ь] и функция ~ — монотонна, то найдется с Е [а, Ь] такое, что имеет место равенство: ь 4 ь | У(х)д(х)йх = ~(а) д(х) йх+У(Ь) д(х) ~Хх. (5.5) ь 4 1 = у(х)д(х) дх = д(х) Их.
(5.6) Доказательство. Сначала докажем некоторое вспомогательное утверждение. Предположим, что функция д абсолютно интегрируема на промежутке [а, Ь], то есть д и ]д] суть интегрируемые на [а, Ь) функции. Пусть дана функция <р, невозрастающая на промежутке [а, Ь] и такая, что произведение уд интегрируемо на [а, Ь], у(а) = 1 и р(Ь) > О. Н о к а ж е м, что в этом случае найдется с е [а, Ь) такое, что 102 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Зададим произвольно и Е Я. Согласно лемме 5.2, найдется функция у„, для которой р[х) >Мх) >р[ ) — — „ 1 при любом х Е [а, Ь].
При этом 1 ч-~ ~р„= — р ть, и где каждая из функций ть является простпой ступенькой, то есть для нее существует Сь Е [а, Ь! такое, что ть[х) = 0 при х > Сь и ть(х) = 1 при х < ьсь. Пусть С(х) = д(1) Ж. а Функция С непрерывна и, следовательно, принимает на [а, Ь! наименьшее и наибольшее значения.
Пусть р = тшп С(х), д = гпах С(х), аа~а,Ь! ее~а,Ь) р = С(хд), д = С(хг), где хь Е [а,Ь! и хг Е [а, Ь!. Имеем: ь ь 1 ~. = ~ ал м ) ~ = — К ~ ~ (еа( ) а = " В=1 а а ьь =„-'К~.я =-„'Кацо. "1=1 ь=1 а Каждое из слагаемых в последней сумме лежит между р и д, из чего следует, что р < Е„< д. При каждом и Е Я имеем: ь [1 — 1 ! < — г[ [д( ')[4х. 1 1 и / а Отсюда вытекает, что 1„— + 1 при и -а оо и, значит, р < 1 < д. З 6. Интегралы и суммы.
Формулы численного инте р р г и ованил 1ОЗ Так как функция 0 непрерывна и р = С(х1), д = С(хг), где хг и хз — точки промежутка [а, Ь], то найдется с Е [а, Ь] такое, что 1 = С(С). Существование 4 б [а, Ь], для которого выполняется равенство (5. ), таким образом, д о к а з а н о. Пусть У и д — произвольные функции, удовлетворяющие всем условиям теоремы. Если У(а) = У(Ь), то равенство (5.5) выполняется, каково бы ни было с Е [а,Ь]. Будем считать, что У(а) ~ У(ь). Зля х Е [а, Ь] положим: У(х) — У(ь) '(х) = у(.) — у(ь) (5.7) Функция у — монотонна.
Имеем: х(а) = 1, х(Ь) = О. Отсюда видно, что функция у — невозрастающая. По доказанному, найдется ~ Е [а, Ь] такое, что ь | <р(х)д(х) Нх = д(х) ~Ь. ь 4 | [У(х) — У(ь)]д(х) Нх = [У(а) — У(Ь)] д(х) дх. а а Отсюда ь ь | У(х)д(х)н(х) = У(а) д(х) Их — У(Ь) д(х) дх+ У(Ь) д(х) Ых = а а а а 4 ь = У(а) д(х) дх+ У(Ь) д(х) Их. Теорема доказана. ° 3 а м е ч а н и е.
Предположим, что в условиях теоремы дано, что функция д: (а, ) — + : ( Ь) — + 2 непрерывна в основном в промежутке (а, Ь). Подставляя в последнее равенство выражение для ~р(х) согласно формуле (5.7), получаем: Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Если функции д и ]д] интегрируемы по промежутку [а, Ь], а функция у — ограничена, то функция уд интегрируема по [а, Ь]. Действительно, функция,Гд, очевидно, является непрерывной в основном.
пусть 1 < оо таково, что ],Г"(х)] < т для всех х е [а,ь]. тогда ] Г(х)д(х)] < 1 [д(х)] для всех х Е (а, Ь), откуда следует интегрируемость функции Гд по промежутку [а, Ь]. ~6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования В этом параграфе устанавливаются некоторые результаты, касающиеся связи определенных интегралов с конечными суммами. Доказываются некоторые полезные неравенства между интегралами и конечными суммами. Эти неравенства найдут применение в теории рядов, излагаемой во второй части книги в главе П. Здесь же приводятся только примеры на применение этих неравенств.
Доказывается теорема о представлении интеграла функпии как предела некоторых конечных сумм. Функции, для которых такое представление возможно, называются функциями, ингпегрируемыми е смььсле Римана. Приводится определение понятия функции, интегрируемой в смысле Римана, и понятие интеграла Римана функции. Доказывается, что всякая функция, определенная и непрерывная на замкнутом отрезке [а, Ь] С 2, интегрируема в смысле Римана и ее интеграл по промежутку [а, Ь] является интегралом Римана функции 1 по промежутку [а, Ь].
В заключительной части этого параграфа описываются некоторые методы приближенного вычисления определенных интегралов. Теория численного интегрирования составляет обширный раздел современной математики. Далее приводятся самые начальные результаты из этой области. Описываются две формулы приближенного интегрирования — формула трапеций и формула Симпсона. 6.1.
ИНТЕГРАЛЫ И НЕРАВЕНСТВА СОЛЕРЖА ИЕ СУММЫ Интегральное исчисление может служить средством для установления разного рада неравенств. Для этой цели полезно следующее предложение. м Тнорнма 6.1. Пусть т и и — целые числа такие, что т < и, и Г: [т, н] — и есть монотонная функция. Тогда: З 6. Интегралы н суммы. Формулы численного интегрирования 105 если функция 1 убывающая, то имеют место неравенства и-1 П ~.т > /1в~а> ~ т; й=т й=т+1 т (6.1) если у есть возрастающая функция, то в-1 в 1 у[с< /кса< 1 1д. й=т й=т+1 (6.2) Рис.
9 Возьмем произвольно значение и такое, что т < к < и — 1. Для всех Ф Е [/с, к + 1) имеем: УЖ) > П~) > У(й+ 1), откуда, очевидно, следует,что Доказательство. Предположим, что У есть убывающая функция. Дальнейшие рассуждения иллюстрируются рис. 9. Сумма в левой части неравенства (6.1) равна площади фигуры, составленной из тех прямоугольников на рис. 9, у которых нижнее основание лежит на оси Ох, а верхнее располагается выше графика функции.
Сумма справа равна площади заштрихованной части этой фигуры. 1О6 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Суммируя данные неравенства почленно по и в пределах от и = т до Й = и — 1, получим: а-1 о-1 йй1 а-1 ~1О)>1 | Жа>2 1О>1). й=П1 й= та я=а Имеем." и справедливость неравенства (6.1) установлена. Случай, когда (' есть возрастающая функция, сводится к рассмотренному заменой ~ на — у. Лемма доказана.
° П ив ем ва п и м е а на и именение не авенств 6.1 и 6.2 Пример Х. Рассмотрим сумму Ял(п) = ~ Й", й=1 где Л ф — 1 — вещественное число. Предположим, что й > О. Тогда функция х является возрастаюл щей на полуоси [О, оо). л Применим первое из неравенств (6.2), полагая в нем Дх) = х, т = 1 и заменяя и на и + 1. Получим следующую о ц е н к у с в е р х у для суммы Ял(п): и+1 Ял(п) < х 11х = л (и+ 1)л+1 1 + 1 Полагая во втором из неравенств (6.2) т = О, найдем, что З 6. Интегралы и суммы. Формулы численною интегрирования 1О7 откуда заключаем, что Л+1 < Лл(~).
Согласно глеореме Лаеранжа о среднем значении, (и+ 1)л+1 — пл+1 = (Л+ 1)(п+ В)л где О < д < 1. Имеем: В л +о)л л(1+ 6) Влл Величина ~1+ -~ является ограниченной на множестве 1ч. Из полученных неравенств вытекает, что для всякого Л > О выполняется неравенство: Л+1 = — + 0(пл). Л+1 (6.3) Рассмот им с чай -1 < Л О. В этом случае функция хл является убывающей и требуемый результат мы получим, применяя неравенство (6.1) к функции у(х) = х . л Сначала воспользуемся п е р в ы м из неравенств (6.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
