1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В том случае, когда первообразная какой-либо элементарной функции не является элементарной функцией, неопределенный интеграл У(х) ах называют неберущимся. З 4. Техника неопрЕделенного интегрирования Обозначим через Е совокупность всех элементарных функций. Пусть ьŠ— множество всех функций, являющихся производными функций из Е. Как следует из сказанного, ьЕ С Е, причем РЕ ф Е. Множество Т>Е есть в точности совокупность тех элементарных функций, первообразные которых также элементарные функции. Класс функций, у которых неопределенный интеграл является элементарной функцией, весьма узок. В связи с этим приобретают значение различные методы приближеннаео вычисления неопределенных интегралов.
Задача о приближенном вычислении неопределенных интегралов представляет собой частный случай задачи о численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом параграфе будут описаны основные случаи, когда перво- образная данной элементарной функции также является элементарной функцией, и указаны приемы, с помощью которых первообразная может быть найдена.
Совокупность этих приемов составляет то, что обычно называют техникой неопределенного интегрирования. Предположим, что функция 1 интегрируема по промежутку 1 = = (а, Ь). Всякая первообразная функпии 1 в промежутке (а, Ь), как было показано в З 2, есть функция вида г'(х) + С, где à — некоторая фиксированная первообразная функции 1, а С вЂ” постоянная. Совокупность всех первообразных функции 1 на промежутке (а, Ь), согласно данному выше определению, есть неопределенный интеграл функции ) на промежутке 1 и обозначается символом: (х Е 1) 1(х) ах.
Выражение (х Е 1) в этой записи традиционно опускается. Также в подобных случаях будем поступать и мы. Пусть даны произвольный промежуток 1 С Й и функция 1: 1 -~ С. Тогда символом [~(х)],е~ или просто [1] обозначается совокупность всех функций д: 1 — С таких, что разность 1 — д есть функция, постоянная на промежутке 1. Пусть даны произвольные функции 1: 1 — С и д: 1 — С. Тогда определены классы функций [1] и [д].
Мы полагаем Ы+ [у] = У+д] и для произвольного числа Л Е С Л[1] = [Л1]. 70 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Таким образом, операции сложения и умножения на произвольное число определяются для классов функций, каждый из которых состоит из функций, отличающихся в промежутке 1 на постоянное слагаемое.
Неопределенный интеграл функции У в промежутке 1, согласно определению, может быть представлен в виде: где à — какая-либо первообразная функции 1 в промежутке 1. Из свойств пе вооб азных становленных вьппе см. 1 вытекают сл ю ие с в о й с т в а неон еленных интег алов. 1. Для любых функций 1 и д, интегрируемых в промежутке 1 = = (а, 6), и любых чисел Л, д имеет место равенство: (Л1(х) + рд(х)) йх = Л 1(х) Их+,и д(х) Их. П. Пусть 1 и д суть интегрируемые в промежутке 1 = (а, О) функции, Г и С вЂ” их первообразные. Если одна из функций 1С и дг интегрируема в промежутке 1, то также и другая интегрируема в 1. При этом имеет место равенство: Для последнего равенства удобна следующая форма записи: Г(х) пС(х) = [Р(х)С(х)] — С(х) ВР(х).
1П. Предположим, что функции 1 и ~о, определенные в интервалах 1 = (а, о) и 1 = (р, д), соответственно, удовлетворяют условиям теоремы 2.7. Тогда | хЪР~Мяа=| д )а /, „„, где правы часть равенства понимается следующим образом: если З 4. Техника неопределенного интегрирования то Интеграл записывается также в следующем виде: Предложения 1, 11 и ПП составляют перечень основных правил, используемых для отыскания представления неопределенного интеграла элементарной функции в тех случаях, хогда это возможно. 4,1.2. П иве ем список п остейших интег алов кото ые мог т быть вы ажены че з элемента ные нк ии.
1) Пусть а ф — 1. Тогда во всяком промежутке, в котором функция х определена, выполняется равенство: (4.1) Во всяком промежутке, не содержащем точки О, — = 'рп]х]]. (4.2) 2) Лля всякого й Е С (4.3) е ~Ь= 3) Формулы для производных функций соз х и зшх, установленные ранее, позволяют заключить, что имеют место равенства: (4.4) 72 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной (4.6) (4.7) 6) Для всякого Л > О (4.8) 7) Для любого Л > О в промежутке [ — Л, Л] (4.9) (4.1О) 9) Рассмотрим интеграл: и Е 1Ч. Имеем: | (х — р)" г1х = —Ђ (х — р)" ~ и + 1 4) Во всяком промежутке (а,Д) таком, что созх ~ О для всех х Е (гг,13), 5) Во всяком интервале (гг,13) таком, что е1пх ~ О для всех х Е (гг,Д), = [ — ссйх].
дх я1п х [а™М 8) Пусть и ф -1 — целое число, р = д + гт — комплексное число. Тогда на всяком промежутке множества Й, не содержащем точки р. Если т ф О, то справедливо равенство: — = ] — 1п[(х — д) +т ]+загсг8 — ~ . (4.11) | г1х 1 1 х — 91 х — р ],2 т гй / (~2 + 1)е ' где и Е 1Ч. Имеем: 1г = [агсййх]. Установим о м л аю ю вы ажение 1 че ез 1 п и каж ом Ж 1 г~г1г / гМ / (12 1 1)п / (12 1 1)а+1 / (12+ 1)а+1 73 З 4. Техника неопределенного интегрирования ~ ~ г ~ Г а ~ 1 4 д4 (22 ~ 1)и+1 а+ (4.12) Интеграл справа преобразуем по формуле интегрирования по частям. Имеем: 4'И 1 И(В+1) 1 ( 1 Й (42 4 1)в+1 2 (22 4 1)в+1 2п 1 (~2 ~ 1)в Отсюда 12Ю 4 1 1 112 ($2 + 1)в+1 2п(42 + 1)в 2п / (42 + 1)в Подставляя это выражение в правую часть равенства (4.12), получим: 2п — 1 4.13 2п(42 + 1)" 2п (.
) сСбх = 28 — — х) . '1 2 Равенство (4.7) может быть получено из (4.6) заменой переменной по формуле х= — — 2 ) 2 согласно предложению П1. Равенства (4.8) и (4.9) получаются заменой переменной по формуле из равенств: М Г 1й | = [агс$8 Ф], / = [агсяп2] = [- агссоз4], 22 4 1 Значение 11 нам известно. Равенство (4.13) позволяет по индукции определить интеграл 1„для любого натурального п. Явное выражение для интеграла 7 легко может быть написано для любого п Е Я.
Мы предоставляем эту работу читателю. Функция сааб не значится в приведенном в главе 3 списке базисных сов х элементарных функций. Она задается формулой сааб х = ., и область ярх ее определения есть множество всех х Е Ж, для которых зшх ~ О. Имеет место равенство: Гл. 5. Интегральное исчисление функций одиой пеРеменной которые, в свою очередь, суть следствия установленных ранее (см. п. 1.3 главы 4) выражений для производных функций агсзшх и агссозх. П ив ем выво о м л 4.10 и 4.11 .
Равенство (4.10) следует из полученного ранее выражения для производной функции (х — р), где гл — целое число. Имеем: х ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 дх / дх / (х — о+йт)йх х — р / х — о — Ьг / (х — д)я+гг (х — д)дх, ( дх ( . )г + .г ~~ / (х , )г +,.г' П е р в ы й интеграл справа преобразуем, принимая во внимание соотношение (х — о)дх = -Н((х — д) +т ~. 2 Отсюда (х — д)дх 1 ( д((х — д) +г ) ~11 (х — о)г + гг 2 .( (х — й)г + гг ~ 2 Во в т о р о м интеграле произведем замену переменной интегрирования, полагая х — о г Тогда х = гг + о, откуда получаем: йх г 1 ~1ь' = г = [агсгИ г1 (х — о)г + гг / гг(гг + 1) Отсюда и формула (4.11) доказана. 4.2. Инткггиговлник гл ионлльных функ ий 4.2.1.
Рациональной называется всякая функция вида: аох +агх ~+ +а гх+а (4.14) Р: х Е К ь-> Ьох" + Ьгх" '+ + Ьч гх + Ь 75 З 4. Техника неопределенного ннтегрнровання где ае, ад,..., а д, а,, Ье, Ьд,..., Ь„д, ܄— произвольные комплексные числа. Если степень числителя, стоящего в правой части равенства (4.14), меньше степени знаменателя, то есть т ( п, то говорят, что рациональная функция Р является правильной дробью. Рациональные функции образуют важный частный случай функций, у которых неопределенный интеграл берется в конечном виде, то есть является элементарной функцией.
Отыскание неопределенного интеграла функции в случае, когда он является элементарной функцией, часто можно свести к интегрированию рациональной функции. Интегрирование рациональных функций основано на использовании некоторого специального представления рациональной функции. Напомним некото ые све ения о полиномах и а иональных нк иях о ной пе еменной известные из к са алгеб ы. Функция Р: С вЂ” + С называется полиномом степени не выше и, если она допускает представление: Р(х) =се+сдх+схх + +с х (4.15) Р(х) = Я(х)(х — с), где Я(х) — полипом. Если коэффициенты полинома Р суть вещественные числа и число с является корнем Р, то также и число с, сопряженное с с, есть корень полинома Р. Действительно, если коэффициенты полинома Р суть вещественные числа, то для всякого х Е С имеет место равенство: где се, сд, сх,..., с„суть комплексные числа — коэффициенты полинома Р.
Число с Е С называется корнем полинома Р, если выполняется равенство Р(с) = О. Справедливо следующее утверждение, обычно называемое теоремой Безу. Пусть Р(х) есть полинам степени и > 1, с — комплексное число. Тогда имеет место равенство Р(х) = Я(х)(х — с) + Р(с), где Я(х) есть поливом степени не выше и — 1. Из теоремы Безу, очевидным образом, следует, что если число с Е С является корнем полинома Р, то Р(х) делится на разность х — с, то есть Гл.
5. Интегральное исчисление функций одной переменной Отсюда следует, что если Р(с) = О, то также и Р(Б) = О. Справедливо следующее утверждение о азложении п оизвольного полинома пап остейшие множители, доказательство которого читатель может найти в курсе алгебры. Пусть Р(з) = Ааз" + Агг +. + Ан-гз+ А, (4.16) где Ао,Аы...,А 1,А„— комплексные числа, причем Ао ~ О, есть полипом степени и.
Тогда Р(з) допускает представление Р(з) = Ао(г — зг) "(г — зг) ' .. (з — гь) " (4. 17) в котором з1, зг,..., гь суть попарно различные комплексные числа— корни полинома, Р, тг > О, тг > О,..., ть > О суть целые числа, причем тг+тг+ +ть=и. Если все коэффициенты полинома Р(г) суть вещественные числа, то Р(г) допускает представление Р(г) = Ао(з — хг)" (г — хг)"... (з — хь)'" х х(г +ргг+щ)" (г +ргг+дг)"... (г +р~з+ф)", (4.18) где хг,хг,... хь, р1,дм...рийг суть вещественные числа, причем числа х. попарно различны, каждый из квадратных трехчленов г + руз+ О„ г г = 1, 2,..., 1, не имеет вещественных корней и трехчлены гг + р г + ду, являются попарно различными.
Выполняется равенство: тг + тг + ...ть + 2(зг + зг + + з~) = и. (4.19) 3 а м е ч а н и е 1. Число тй, г' = 1,2,...,к, в равенстве (4.17) называется кратностью корня зу иолииома Р. 3 а м е ч а н и е 2. Представление полинома Р(г), содержащееся в равенствах (4.17) и (4.18), будем называть каноническим разложением данного полинома. При этом будем говорить, что (4.17) есть разложение в комплексной области, (4.18) есть разложение в вещественной области.
3 а м е ч а н и е 3. Доказательство указанного выше утверждения о разложении полинома на множители опирается на теорему Безу и следующее утверждение, по традиции называемое «основной теоремой алгебры». 77 З 4. Техника неопределенного интегрирования Всякий полипом Р(я) степени и ) 1 имеет, по крайней мере, один комплексный корень.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
