1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если х Е (а, Ь) 1Е, то Г1 (х) = У(х). Функция Гы таким образом, непрерывна на замкнутом отрезке [а, Ь] и 1'(х) = Г[(х) в интервале (а,Ь) в основном. Следовательно, Гь есть первообразная функции 1 на промежутке [а, Ь]. Функция у имеет первообразную в промежутке [а, Ь] и, значит, согласно определению интегрируемой функции, у интегрируема по этому промежутку. Случай, когда изначально предполагается интегрируемость у по отрезку [а,Ь), рассматривается аналогично. Теорема доказана. ° У Слвдствив. Предположим, что функция у интегрируема по промежутку (а, Ь). Пусть Г есть ее первообразная на (а, Ь).
Если пределы 1пп Г(х) = Ь е Ь-О 1пп Г(х) = К, е а+О Г Ь Дх) Нх = Х вЂ” К. а Локазательство. Пусть функция у удовлетворяет всем условиям следствия. Зададим произвольно точку с Е (а, Ь). Функция 1 интегрируема по каждому из отрезков (а, с] и [с, Ь). При х б (а, с] имеем: существуют и конечны, то функция У интегрируема по промежутку [а, Ь], причем имеет место равенство: 41 З 2. Определенные интегралы и их простейшие свойства Если же х Е [с, Ь), то | У(г) Ю =.Ь'(х) — Г(с).
с Из условий следствия вытекает, что существуют и конечны преде- лы: В силу теоремы 2.4, отсюда следует, что ~ интегрируема по каждому из отрезков [а, с] и [с, Ь]. При етом Теорема 2.3 позволяет заключить, что функция ~ интегрируема по промежутку [а, Ь]. Согласно теореме 2.3, имеем: 2.5. ПРАВилО интеГРиРОВАниЯ НО чАстЯм Вве ем некото ые альнейщие обозначения.
Пусть даны интервал (а,Ь) и функция Ф: (а,Ь) — ~ С (функция Ф: (а, Ь) — К). Предположим, что существуют пределы: 1пп Ф(х) = К, 1пп Ф(х) = Ь. х а+О х-Ь-О Полагаем: , =ь-о Ь вЂ” К = 1пп Ф(х) — 1пп Ф(х) = Ф(х) ~ х Ь-О х а+О с=а+О с 1пп ( У($) й = Г(с) — К, х а+О/ что и требовалось доказать. Следствие доказано. х Бщ / ~(г) с1г = Ь вЂ” Р(с). х-~Ь-О ОЬ ь | у(г) 1г = Ь вЂ” Г(с). с Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной В случае, когда Ф есть вещественная функция, в этой записи допускаются бесконечные значения Е и К. Требуется только, чтобы разность Š— К им ела ем ыс л, то есть не обращалась в одно из выражений оо — оо или ( — со) — ( — оо). Далее нам потребуется следующее простое предложение.
° Лемма 2.1. Пусть функдии 1 и д интегрируемы по промежутку 1 = (а, Ь) и пусть Г и С вЂ” их первообразные в 1. Тогда функция Ь = = 1С+ Гд интегрируема по промежутку 1 и функция Н = РС является ее первообразной в этом промежутке. Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Функпия Н непрерывна в каждой точке х Е 1. Из условия леммы следует, что найдутся не более чем счетные множества Ег и Ез такие, что для всякого х Е (а, Ь) ~ Ег (2.12) и для любого х Е (а, Ь) ~ Ез (2.13) д(х) = С (х). Положим: Е = Ез О Ез. Согласно лемме 1.1, множество Е не более чем счетно и если х Е (а, Ь) 1 Е, то для этого х выполняются равенства (2.12) и (2.13) о д н о в р е м е н н о. Отсюда следует, что для всякого такого х функция Н = ГС дифференцируема, причем Н'(х) = Р'(х)С(х) + Г(х)С'(х) = У(х)С(х) + Р(х)д(х).
Функция Н, таким образом, непрерывна на 1 = (а, Ь) и Н'(х) = Ь(х) в интервале (а, Ь) в основном. Согласно определению, это и означает, что Н есть первообразная функции л. Лемма доказана. ° ° Теорема 2.5 (правило интегрирования по частям). Пусть функции 1 и д интегрируемы в промежутке 1 = (о, Ь), Г и С вЂ” их первообразные в этом промежутке. Если функция Рд интегрируема по 1, то также и функция 1С интегрируема по этому промежутку. При этом если Ф есть первообразная Рд„то разность РС вЂ” Ф является первообразной для функции 1С. 43 З 2.
Определенные интегралы и их простейшие свойства Если функция Рд ннтегрируема по замкнутому промежутку [а, Ь] н существуют конечные пределы Бп1 Р(х)С(х), 1пп Р(х) С(х), а а+О ь ь | а=ь-О у(х)С(х) Нх = Р(х)С(х) ) — / Р(х)д(х) Йх. (2.14) а=а+О 3 а м е ч а н и е. Способ преобразования интегралов, который дается равенством (2.14), называется правилом иитеерироеания по часптль. Доказательство теоремы. Пусть функции у и д интегрнруемы по интервалу (а, Ь). Из леммы 2.1 следует, что тогда функция Ь = у С+ Рд интегрируема по (а, Ь), причем функция Н = РС является первообразной Ь. Если функция Рд интегрируема по (а, Ь) и Ф есть первообразная Рд, то функция уС = Ь вЂ” Рд также является интегрируемой по (о, Ь) и функция Н вЂ” Ф = РС вЂ” Ф есть ее первообразная. П е р в о е утверждение теоремы доказано. Покажем в т о р о е. Предположим, что существуют конечные пределы: 1пп Р(х)С(х).
а Ь-О 1пп Р(х) С(х), а а+О Тогда функция Ь интегрируема по [а, Ь]. При этом ь *=Ь-О Ь(х) дх = Р(х)С(х) ! а=а+О а (2.15) Если функция Рд интегрируема по [а, Ь], то отсюда вытекает интегрируемость по [а, Ь] функции уС. При этом ь ь ь | Ях) С(х) Йх = Ь(х) Их — Р(х)д(х) Йх. Принимая во внимание равенство (2.15), отсюда получаем (2.14). Теорема доказана. ° то функция уС также интегрируема по [а,Ь]. При этом имеет место равенство: 44 Гл. 5. Интегральное исчисление функций Опвой переменной ь | и-1 ь и(х)о~"~(х) дх = ~~> ( — 1) и~ ~о~" ~ + ь=о а а ь + ( — 1) и (х)о(х) дх. а (2.16) Доказательство. Положим: Ф(х) = ,'~ ( — 1) и~ ~(х)о~" ~(х).
(2.17) Функция Ф непрерывна в промежутке [о, Ь) и дифференцируема в основном в интервале (а, Ь). Пусть точка х такова, что в этой точке производная Ф(х) определена и конечна. дифференцируя сумму в правой части (2.17), получим: Ф (х) = ,'Ь (-1) и~ ~(х)о~" ~(х) + ) (-1) и~ + ~(х)о~" ~(х). Во второй сумме заменим индекс суммирования, полагая к+ 1 = у, а затем переименуем у в й. В результате получим: Ф (х) = ~(-1) и~ ~(х)о~" ~(х) + ~~Ь (-1) и~ ~(х)о~" ~(х).
Слагаемые, соответствующие значениям й, удовлетворяющим неравен- ствам 1 < Й < и — 1, в эти суммы входят с разным знаком и после приведения подобных членов в сумме сокращаются. В результате полу- чим: Ф'(х) = и(х)о~"~(х) + (-1)" ~и~"~(х)о(х). (2.18) ° Теорема 2.6 (о кратной формуле интегрирования по частям). Допустим, что функции и и о, определенные на промежутке [а, Ь) С Й, принадлежат классу С" 1([о, Ь)), причем производные и~" Ц и о~" дифференцируемы в основном в интервале (а, Ь). Тогда если функция и~"~о внтегрнруема по промежутку [а, Ь), то функция ио~"~ также интегрнруема по этому промежутку.
Прн этом имеет место равенство: З 2. Определенные интегралы н нх простейшие свойства Функция Ф', в силу условий следствия, интегрируема по промежутку [а, Ь]. Равенство (2.18) позволяет заключить, что если одна из функций ии1"~ и ( — 1)" ~и~"~е интегрируема по промежутку [а, Ь], то и другая будет интегрируема по этому промежутку. При этом: | и(х)е~"~(х) ах = Ф(Ь) — Ф(а) + ( — 1)" и1"~(х)и(х) ах. а а Теорема доказана. ° 2.6. ПРАВИЛО ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Исходя из формулы для производной суперпозиции (теорема 1.4 главы 4), установим один важный с п о с о б преобразования интегралов, называемый п авилом замены пе еменной интее и рванин. ч м(ч) | ~(чч(~))чч'(~) ~й = 1(х) йх.
(2.19) Перед доказательством отметим следующее. 3 а м е ч а н и е. Функция (1 о чч) р', вообще говоря, определена в промежутке з лишь в основном. Доказательство теоремы. Пусть выполнены все условия теоремы. Так как функции Г и ~р непрерывны, то их суперпозиция Г о р есть непрерывная на промежутке з функция. Пусть Е1 есть множество значений 1 Е (с, а) таких, что функция чч не является дифференцируемой в точке 1, а Ез есть совокупность всех ° Теорема 2.7. Пусть функция 1 внтегрируема по промежутку 1 = (а, Ь).
Пусть Г есть ее первообразнвя в 1. Предположим, что дана непрерывная функция у: .7 — К, где з = (с, а), такал, что х(1) 6 1 для всех $ Е Х и выполнены следующие условия. 1. Функция х дифференцнруема в интервале (с, а) в основном. П. Множество значений М Е .Г, таких, что ~р(1) Е (а, Ь) и функция Г не является дифференцируемой в точке х = у(1), не более чем счетно. Тогда функция (Х о х) х' интегрнруема в промежутке 1 и функция Г о чч является ее первообразной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
