1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Доказательство. Предположим, что Х(х) > О в основном. В силу условия теоремы, найдутся такие не более чем счетные множества Ег и Ея, что в каждой точке х Е (а, д) 1 Ег имеет место Х(х) = Р'(х) и для любого х 6 (а, Ь) ~ Ея будет 1(х) > О. Положим: Е = Ег 0Ея. Тогда, согласно лемме 1.1, множество Е не более чем счетно, и если х Е (а, Ь) не принадлежит Е, то о д н о в р е м е н н о 1(х) = Р'(х) и 1(х) > О. Таким образом, д о к а з а н о, что существует не более чем счетное множество Е такое, что для всех х 6 (а, Ь) ~ Е функция Г дифференцируема, причем Р'(х) > О. Функция à — непрерывна. На основании теоремы 4.6 главы 4, все условия которой здесь выполнены, отсюда вытекает, что Р есть в о зрастающая функция.
Аналогичным образом, применяя теорему 4.6 главы 4, получим, что если 1(х) < О в промежутке (а,Ь) в основном, то функция Р— у б ы в а ю щ а я. Наконец, следствие 1 теоремы 4.6 главы 4 позволяет заключить, что если Х(х) = О в основном в промежутке (а, Ь), то функция Р является постоянной на1. Теорема доказана. ° Следствие 1. Пусть 1 есть комплексная функция, интегрируемая по промежутку Х = (а, д) и Р— ее первообразная в 1. Если 1(х) = О в основном в интервале (а, Ь), то функция Р тождественно постоянна на отрезке 1.
Доказательство. Предположим, что функции Х и Р удовлетворяют условиям следствия. Пусть д = Не 1, С = Не Г, Ь = 1гп Х и Н = 1гп Р, С есть первообразная функции д, Н является первообразной Ь. Зля всякого х 6 (а, Ь), для которого 1(х) = О, также и д(х) = Ь(х) = О. Функции д и Ь, следовательно, равны нулю в основном в интервале (а, Ь).
На основании теоремы 1.3, отсюда следует, что функции С и Н постоянны в Х, а значит, и Р есть постоянная на промежутке 1 функция, что и требовалось доказать. я Следствие 2. Предположим, что комплексная функция Х интегрируема по промежутку 1 = (а, Ь). Если функции Рг и Рз являются первообразными функпии Х, то их разность Ря — Рг постоянна в промежутке 1. 22 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Локазательстио. Действительно, разность Гз — Гз, согласно теореме 1.1, является первообразной функции ~-1 = О, откуда, согласно следствию 1, вытекает, что функция Гз — Гг иа множестве 1 постоянна, что и требовалось доказать.
Допустим, что комплексная функция 1 интегрируема по промежутку 1 и Г: 1 — С вЂ” первообразная функции 1 на этом промежутке. Зададим произвольно комплексное число С. Так как производная от постоянной тождественно равна нулю, то, в силу теоремы 1.1, функция х ь Г(х) + С также является первообразиой функции 1 на 1 = (а, Ь). Следствие 2 теоремы 1.2 позволяет заключить, что таким образом может быть получена любая первообразная функции 1. Совокупность всех функций вида х ~-~ Г(х) + С, где С вЂ” постоянная, мы будем обозначать символом [Г(х)] . Совокупность всех первообразных функции 1 в 1 называется неоиределенныи интпегралом 4ункции У в промежутке 1 и обозначается символом У(х) дх.
Таким образом, мы получаем равенство: 1(х) дх = [Г(х)], где à — произвольным образом выбранная первообразиая функции 1. Формально, в этой записи ие хватает указания иа промежуток, в котором определена первообразиая функции. Такое указание должно делаться отдельно каждый раз, когда возможно недоразумение. Предположим, что комплексная функция 1 интегрируема по замкнутому промежутку [а, Ь] С Й и функция Г: [а, Ь] — ~ С есть первообразная функции 1 на [а, Ь]. Разность Г(Ь) — Г(а) не зависит от выбора первообразной Г функции У.
Действительно, предположим, что Гг есть другая первообразная функции 1 иа промежутке [а,Ь]. Тогда, согласно следствию 2 теоремы 1.3, разность Я вЂ” Г есть функция, постоянная иа промежутке [а, Ь], Гз(х) = Г(х) + С, где С Е С вЂ” постоянная, для всех х е [а, Ь]. Отсюда следует,что Гг(Ь) — Гг(а) = (Г(Ь) + С) — (Г(а) + С) = Г(Ь) — Г(а), что и требовалось доказать. 23 'З 1.
Определение понятий интеграла в интегрируемой функции Величина Р(Ь) — Р(а) называется определенным интегралом или просто интегралом 4ункции у" по промежутку (а, Ь(. При этом пишут: ь 1(х) дх = Р(Ь) — г'(а). а Данное равенство обычно называют формулой Ньютона — Лейбница. Одна из основных задач, решение которой способствовало созданию математического анализа, — это за ача о вычислении пло а и. Существует связь между задачей об интегрировании функции и задачей определения площади плоской фигуры.
Откладывая описание этой связи в полном виде до конца данной главы, ограничимся здесь некоторыми общими замечаниями. Понятие площади плоской фигуры само по себе нуждается в точном определении. Такое определение будет дано только в главе 13 второй части настоящей книги на основе теории кратных интегралов. Здесь мы будем опираться на представления о площади, известные читателю из курса математики средней школы. На плоскости зададим декартову ортогональную систему координат. При этом если точка Р имеет координаты (х, у), то, как обычно, мы будем использовать обозначение Р = (х, у). Пусть дана функция у: [а, Ь] -+ К. Простоты ради, будем считать, что функция у неотрицательна и непрерывна.
Символом А обозначим точку (а,О). Пусть В есть точка (Ь,О). Точки А и В лежат на оси абсцисс. Положим М = (а, г'(а)), И = (Ь, ~(Ь)). Рассмотрим плоскую фигуру, состоящую из всех точек Р = (х, у) на плоскости, которые лежат между дугой М1я графика функции у и отрезком АВ, то есть таких, что а < х < Ь и 0 < у < у(х) (см. рис. 2). Эту фигуру назовем криволинейной трапецией. Рна 2 24 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Пусть Я есть площадь криволинейной трапеции АМ1ч'В.
Покажем, что имеет место равенство: ь Я = У(х) сЬ. а (1.1) Я'(х) = Дх). Иными словами, д о к а ж е м, что функция Я(х) является первообразной в точном смысле функции у на промежутке [а, д]. Пусть хо Е [а, Ь]. Зададим произвольно е > О. Пусть 6 > 0 таково, что для всякого х Е [а, Ь], удовлетворяющего неравенству ]х — хо[ < б, выполняется неравенство: Пусть х Е [а,Ь], причем х ~ хо и ]х — хо] < 6. Рассмотрим разность Я(х) — Я(хо). Рис. 4 Рис 3 Зададим пРоизвольно отРезок о = [хы хг] С [а, Ь]. Положим: Х1 = = (хы 0), Хг = (хг, 0), У1 = (х1, 4 (х1)) и Уг = (хг, Дхг)). Точки У1 и Уг принадлежат графику функции у. Множество всех точек Р = (х,у), проекции которых на ось Ох принадлежат отрезку Х1Хг, лежащих между осью Ох и дугой У1Уг графика функции у, то есть таких, что выполняются неравенства х1 < х < хг и 0 < у < Дх), обозначим символом Т(у"; х1, хг).
Определим некоторую функцию Я: [а,Ь] — К, полагая Я(а) = О, а для случая а < х < Ь пусть Я(х) есть площадь криволинейной трапеции Т(у; а, х). Покажем, что для всех х Е [а, Ь] имеет место равенство з 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции В случае х ) хе криволинейная трапеция ТЦ;а,х) является объединением множеств ТЦ;и,хе) и Т(У;хе,х) (см. рис. 3) и, значит, Я(х) = плош.Т(У; а,х) = шюш.Т(У; а,хе) + плош.ТЦ;хе,х), то есть Я(х) — Я(хе) = плош.ТЦ;хе,х).
Теперь заметим, что для всякого х', лежащего между хе и х, имеем: У(х.) — -' < У(х') < У(х.)+ -'. 2 2 Отсюда следует, что множество ТЦ;хе,х) содержится в прямоугольнике, основанием которого служит отрезок [хе, х], а высота равна 6 Е У(хе) + —, и в случае, когда У(хе) ) —, содержит в себе прямоугольник Г с тем же основанием и высотой У(хе) — —. Тогда 2 (х — хо) [У(хе) — -1 < плош Т(У;хе,х) < (х — хе) ~У(хе) + — ] (Левое из этих неравенств, очевидно, будет верно также и в случае, Г когда У(хо) < —.) 2 Для данного х имеем, таким образом: ( ) Рассмотрим случай х < хе (см. рис. 4).
В этом случае, очевидно, имеем Я(хо) — Б(х) = плош.Т(У; х, хе) и выполняются неравенства: (хо — х) ~У(хо) — — ~ < плош.Т(У;х,хо) < (хе — х) ([У(хе) + — 1. Отсюда получаем, что ! Я(хо) — Я(х) у( )! ! Я(х) — Я(хо) у( )1, Е , Таким образом, для всякого х Е [п,б), отличного от хе и такого, что выполнено неравенство [х — хе[ < б, справедливо неравенство (5.2). Гл. 5.
Интегральное исчисление функций одной переменной Так как е > О произвольно, то из доказанного, очевидно, следует, что 1(хо) = Я'(хо). Так как хо есть произвольная точка промежутка [а, Ь], то функция Я, таким образом, является первообразной функции 1 в промежутке [а, Ь]. Приведенное рассуждение не может считаться доказательством того, что всякая непрерывная функция на замкнутом отрезке [а, Ь] С И интегрируема по этому отрезку, поскольку оно опирается на понятие площади, точное определение которого не было дано. Цель, которая преследовалась здесь, — вывести формулу для вычисления площади, опираясь на интуитивные представления о ней.
1.4. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ПО ОБЪЕПИНЕНИЮ ПРОМЕЖУТКОВ Справедливо следующее утверждение. ° Теорема 1.4. Пусть даны промежуток 1 = (а, Ь) и функция 1" (а, Ь) — ~ С. Пусть а < с < Ь. Положим: 1г =1П [ — оо,с], 1г =1й [с,оо]. Если функция 1 интегрируема по каждому из частичных промежутков 11 и 1г, то она интегрируема и ло всему промежутку 1.
Доказательство. Пусть Гг есть первообразнэл функции 1 в промежутке 11, Гг — первообразная 1 в промежутке 1г. Определим функцию Г, полагая для х Е 1: в случае х < с — Г(х) = Гг(х) — Г1(с), в случае х > с — Г(х) = Гг(х) — Гг(с) и, наконец, в случае х = с пусть Г(х) = О. Функция à — непрерывна в точке с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
