1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Рассмотрим функцию 1: х ь вкп х. Функция Р: х ~ ~х~ непрерывна и при каждом х ф О дифференцируема. При этом если х) О,тоР'(х) =1=вяпх,аеслих< О,тоР'(х) = — 1=вкпх. Согласно определению, отсюда следует, что функпия Г(х) = ~х~ является первообразной функции вяп. Точка, в которой функция Р не имеет производной, в данном случае е д и н с т в е н н а: это точка О. Пример 4. Пусть 1(х) = (вяп (вш х)) сов х для всех х Е 2. Положим Р(х) = ~ вш х~.
Функция Р— непрерывна. Пусть Е есть множество всех чисел х Е К вида х = тиг, где и — произвольное целое число. Тогда: если х ф Е, то Р(х) ф. О, и в этом случае функция Г дифференцируема в точке х, причем Р'(х) = 1(х); если же х Е Е, то функция Г не имеет производной в этой точке. Так как множество Е счетно, то мы получаем, что Р'(х) = 1(х) в промежутке 1 = ( — оо, оо) в основном, и, значит, Г есть первообразная функции 1.
В этом примере множество точек, в которых первообразная функции 1 не имеет производной, оказывается бесконечным. Пример Б. Определим функцию д: И вЂ” ~ И, полагая И(х) = О, если х — иррационально, и И(х) = 1, если х — рационально. Функция д не является непрерывной ни в одной точке х Е Й. Пусть Р есть функция, тождественно постоянная на промежутке ( — оо,оо). Функция Р— непрерывна, и для всякого х ф Я имеет место равенство Г'(х) = О = п(х). Множество Я счетно.
На основании определения первообразной, отсюда вытекает, что функция Г является первообразной функции д на промежутке [ — оо, оо], и, значит, д интегрируема в этом промежутке. Функция Н, построенная в этом примере, известна под названием функции Дирихле. Если функция Р является первообразной функции 1, то мы будем говорить, что, в свою очередь, У есть производная Р, и писать З 1. Определение понятий интеграла и интегрируемой функции В общем случае величина Р (х) = — (х) ИР дх определена лишь в основном, то есть всюду, кроме, может быть, точек не более чем счетного множества, и равенство также выполняется лишь в основном, — то есть всюду, кроме, может быть, точек, образующих не более чем счетное множество.
1.1.2. окажем п е ложение об его ха акте а кото ое в альнейшем позволит нам избежать многок атного повто ения сове шенно о но- тинных асс ж ений. ° Лемма 1.1 (об условиях, выполняющихся в основном). Пусть А С К и Рг(х), Рз(х),..., Р (х) суть высказывания, каждое из которых истинно в А в основном, то есть при каждом з = 1, 2,..., т множество Е; тех х Е А, для которых Р;(х) есть ложное утверждение, является не более чем счетным.
Пусть Е=ЦЕ;. а=1 Тогда Е не более чем счетно и для всякого х, не принадлежащего Е, истинны все предложения Р;(х) одновременно. Доказательство. То, что множество Е не более чем счетно, следует из теоремы 7.2 главы 1,которая утверждает,что объединение любого не более чем счетного семейства не более чем счетных множеств не более чем счетно.
Предположим, что х ф Е. Так как Е, С Е при каждом 1 = 1,2, ..., т, то, значит, х ф Е, для любого 1. Отсюда вытекает, что для данного х каждое из высказываний Р;(х) является истинным, что и требовалось доказать. ° Доказанное предложение кратко можно сформулировать следующим образом. Если имеется конечное множество высказываний и известно, что каждое из них истинно в основном на множестве А, то все эти предложения истинны одновременно на множестве А в основном, то есть существует не более чем счетное множество Е С А такое, что для любого х Е А, не принадлежащего Е, каждое из данных предложений истинно.
18 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной 1.1.3. Продолжим изучение понятия первообразной функции. Справед- ливо следующее утверждение. ° Лемма 1.2. Пусть функция Х со значениями в С определена в промежутке (а, Ь) н интегрнруема по промежутку Х = (а,Ь) и пусть à — ее первообразная в промежутке 1.
Если комплексная функция д, определенная в (а, Ь), такова, что 1(х) = д(х) в (а,б) в основном, то д также интегрируема по 1, и Г является ее первообразной. доказательство. Согласно условию леммы, существуют не более чем счетные множества Ез и Ез такие, что для каждого х ф Ез функция Г дифференцируема, причем Г' = 1(х), а для всякого х ф Ез выполняется равенство Дх) = д(х). Пусть Е = Ез 0 Ез. Множество Е не более чем счетно и, согласно лемме 1.1, для каждого х ф .Е одновременно Г'(х) = 1(х) и 1(х) = д(х), то есть Г'(х) = д(х) в основном. функция à — непрерывна в Х и, следовательно, является первообразной для функции д.
Лемма доказана. ° Если функция Х интегрируема по промежутку Х = (а, Ь) и Г есть ее первообразная на 1, то, как следует из леммы 1.2, любая другая функция Х~ такая, что 1(х) = Х~ (х) при х ~ Е, где Е не более чем счетное множество, также интегрируема по промежутку 1 и Г является первообразной функции Х~.
Свойство функции Х быть или не быть интегрируемой по промежутку 1, таким образом, не зависит от того, как функция Х продолжена на то не более чем счетное множество Е, на котором Х(х) не определено. Если 1 интегрируема по 1, то свойство функции Г быть или не быть первообразной Х на этом промежутке Х также не зависит от выбора продолжения.
Пусть 1 — произвольный промежуток, 1 = (а,б). Если функция Г является первообразной функции Х на отрезке 1, то из определения первообразной непосредственно следует, что для любого промежутка Х = (с, Н) ограничение Г на Х является первообразной ограничения Х на промежутке (с, а). Таким образом, если функция интегрируема по промежутку 1, то она интегрируема также и по любому промежутку 1 С 1. 1.2. Интвггнрукмость лнннйной комвннА нн ннтвгрнрувмых н мзмй 1.2.1. Цель этого раздела — доказать, что с у м м а двух интегрируемых функций интегрируема и и р о и з в е д е н и е интегрируемой функции на число также есть интегрируемая функпия. 19 З 1.
Определение понятий интеграла н интегрируемой функции окажем п ложение кото ое обье иняет эти ва тве ж ения. ° Теорема 1.1. Если комплексные функции 1 и д интегрируемы по промежутку Х = (а, Ь), то для любых чисел Л Е С и р Е С функция Ь = ЛХ+ рд также интегрируема в промежутке 1. При этом если Г есть первообразная функции У, а С есть первообразная функции д в 1, то функция Н = ЛЕ + рС является первообразной функции Ь в промежутке 1.
Доказательство. Функции 1 и д определены в интервале (а, Ь) в основном. Согласно определению первообразной, найдутся не более чем счетные множества Ез и Ез такие, что для всякой точки х Е (а, Ь) 1 Ег значение 1(х) определено и выполняется равенство У( ) =Г( ) и для любого х Е (а, Ь) Л Ез величина д(х) определена, причем д(х) = С'(х). Положим Е = Ег 0 Ез.
Множество Е не более чем счетно и, согласно лемме 1.1, для всякого х Е (а, Ь) 1Е о д н о в р е м е н н о Х(х) = Е'(х), д(х) = С'(х) Функция Н для всякого х Е (а, Ь) ~ Е дифференцируема, причем Н'(х) = ЛГ'(х) + рС'(х) = ЛХ(х) + рд(х) = Ь(х). Функции Е и С на отрезке 1 непрерывны и, следовательно, Н также непрерывна на этом промежутке. Итак, функция Н непрерывна в промежутке 1, и существует не более чем счетное множество Е С (а, Ь) такое, что для всякого х Е Е (а, Ь) ~ Е имеет место равенство: Ь(х) = Н'(х).
Согласно определению первообразной, это и означает, что Н есть первообразная функции Ь на промежутке Х, а функция Ь интегрируема по этому промежутку. Теорема доказана. ° я Следствие. Если для комплексной функции 1 ее вещественны и мнимая части интегрируемы по промежутку 1, то и сама функция 1 интегрнруема по этому промежутку. Доказательство.
Лействительно, пусть и = Ке1, п = 1пз1. Тогда 1 = и+Ы, откуда, в силу теоремы 1.1, непосредственно вытекает утверждение следствия. 20 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной 1.2.2. Вопрос об интегрируемости комплексных функций сводится к вопросу об интегрируемости вещественных функций. Справедливость этого утверждения вытекает из следствия теоремы 1.1 и теоремы, доказываемой далее. ° Теорема 1.2. Пусть | есть хомплексны функция, интегрируемая по промежутку 1 = (а, Ь), и à — ее первообразны.
Тогда функции д = Веу и Й = 1п1 1 ннтегрируемы по промежутку 1. При этом С = В.еГ есть первообразны функции д, а Н = 1т à — первообразная функции Ь. Доказательство. Из условия теоремы следует, что каждая из функций С и Н непрерывна в промежутке 1. Согласно определению первообразной, найдется не более чем счетное множество Я С (а, Ь) такое, что для всякого х Е (а, Ь) ~ Я функция Г дифференцируема, причем У(х) =Г'( ). Отсюда следует, что для всякого х Е (а, Ь) ~ Я функции С и Н также дифференпируемы в точхе х. При этом С'(х) = Ве1(х) = д(х), Н'(х) = 1щ1(х) = 6(х). Таким образом, С'(х) = д(х) и Н'(х) = Ь(х) в интервале (а.,Ь) в основном, откуда и следует, что Ве Г = С и 1п1 Г = Н суть первообразные функций В.е 1 и оп 1", соответственно.
Теорема доказана. ° Следствие. Пусть функция 1 интегрируема в промежутке 1. Ясли 1(х) Е В для всех х из интервала (а, Ь), то 1" имеет в промежутхе 1 первообразную, которая является вещественной функцией. Доказательство. Действительно, пусть à — произвольны первообразнзя функции 1'.
Тогда, согласно теореме 1.2, функция В,е Г является первообразной для функции В.е 1 = 1'. Функция В.е Г и есть требуемая первообразнзя 1. Следствие доказано. ч 1.3. ПеРВООБРАзнАЯ ФУнк ии пОстОЯККОГО знАкА. ПРОизвол в Опгеделении пегвоовРАзной. Опге еленный и неопге- ЛЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ ° Теорема 1.3. Пусть 1 есть вещественная функдия, интегрируемая на промежутке 1 = (а, Ь), и пусть Г: 1 — В есть ее первообразная в 1. Тогда: если 1(х) > 0 в основном в промежутке (а, Ь), то фунхдия Г— возрастающая; 'З 1. Определение понятий интеграла н интегрируемой функции 21 если 1(х) < О в основном в промежутке (а, Ь), то функция Р— убывающая; если 1(х) = О в основном в промежутке (а, Ь), то функция Р является постоянной на промежутке 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
