1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Достаточные условия интегрнруемостн Имеет место следующий а н а л о г критерия Гейне существования предела (глава 2, теорема З.З). ° Лемма З.з. Пусть даны промежуток Х С Й и функпия отрезка Ф, определенная в этом промежутке. Для того чтобы число Х Е С было пределом Ф(Хз), когда Хз стягивается к точке хв Е 1, необходимо и достаточно, чтобы для всякой последовательности (Ь„) „ен отрезков, содержагцихся в 1, стягивающейся к точке хе, выполнялось соотношение: Х = 1пп Ф(сз„). Доказательство. Докажем н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что Х = 1пп Ф(Хз). Пусть (Ь„)„ен есть последовательность Ь хц отрезков, содержащихся в 1, стягивающаяся к точке хв. Зададим произвольно е > О. Пусть ХХ есть окрестность точки хв, выбранная так, что если хе Е Хз и Ь С У, то )Ф(О ) — Ц < е. Так как последовательность отрезков (Хз„)„ен стягивается к точке хв, то найдется номер й Е Я такой, что для всякого п > и отрезок Хз„ содержится в ХХ.
Для всякого и > й выполняется неравенство: )Ф(Ь„) — Ц < е. Так как е > О было выбрано произвольно, то тем самым д о к азано, что Х = 1пп Ф(Хз„). Необходимость условия леммы установлена. Докажем д о с т а т о ч н о с т ь этого условия. Предположим, что для всякой последовательности отрезков (Ь„)„ен, содержащихся в 1, стягивающейся к точке ха, выполняется равенство: Х, = 1пп Ф(Ь„). и оо Зададим произвольно е > О. Д о к а ж е м, что найдется окрестность ХХ точки хв такая, что если отрезок Ь Е Г(Х) удовлетворяет условиям хе Е 2 С ХХ, то ~Ф(хх) — 4 < Допустим, напротив, что такой окрестности у данной точки хе не существует.
Пусть (ХХ„=ХХ (хв))„ен есть последовательность окрестностей точки хв, которая является ее канонической базой. В силу сделанного допущения, при каждом и найдется отрезок Ь„Е Г(1) такой, что хв Е Хз, С С У„, и в то же время ~Ф(Хз ) — Ц > е. 52 Гл. б. Интегральное исчисление функций одной переменной При и — оо последовательность отрезков (Ь ) еи стягивается к точке ха и, значит, в силу условия леммы, Ф(Ь„) — ~ Х при и — ~ оо.
Это, однако, противоречит тому, что при каждом п выполняется неравенство ~Ф(11 ) — 4 > Таким образом, допущение, что точка ха не имеет окрестности, обладающей требуемыми свойствами, приводит к противоречию. Следовательно, мы получили, что существует окрестность У точки ха такая, что если Ь Е Г(Х), причем ха Е Ь С ХХ, то )Ф(11) — Ц ( е. В силу произвольности е > О, тем самым у с т а н о в л е н о, что Х = 1пп Ф(Ь).
аа Лемма доказана. ° 3.1.2. Будем говорить, что функция отрезка Ф в промежутке Х = (а, д) н е и р е р ы в н а в точке ха Е 1, если О = 1пп Ф(Ь). д аа Отметим, что длина, как функция отрезка, непрерывна в каждой точке промежутка ( — со, оо) = И. ° Лемма 3.2 (признак непрерывности функции отрезка в точке).
Пусть Ф есть функция отрезка в промежутке 1 = (а, й). Предположим, что существуют функции отрезка ф и 9, заданные в 1, непрерывные в точке ха Е 1 н такие, что для всякого отрезка Ь С 1, содержащего точку ха, Ф(Ь) лежит между 9(Ь) и Ф(Ь). Тогда функция отрезка Ф также непрерывна в точке ха. Доказательство. Лействительно, пусть (Ь ) еи есть последовательность отрезков, содержащихся в промежутке 1, стягивающаяся к точке ха. Тогда, согласно лемме 3.1, при п -+ оо будет 0(Ь„) -+ О и Ф(Ь„) — О.
При всяком п величина Ф(Ь„) лежит между 9(Ь„) и Ф(Ь ) и, стало быть, Ф(Ь„) — О при и — + оо. Так как последовательность отрезков (Ь„)„ен, стягивающаяся к точке ха, была выбрана произвольно, то из доказанного, согласно лемме 3.1, следует, что О = 1пп Ф(Ь), а-аа 53 З 3. Достаточные условия интегрируемости 3.1.3.
Пусть Ф есть функция отрезка, заданная в промежутке 1 = (а, Ь), те — внутренняя точка промежутка 1 = (а, Ь), те Е (а, Ь). Предел Ф(Ь) 1пп а *, [гг! если таковой существует и конечен, называется плоганосгаью 4уннции отрезка Ф в точке яе и обозначается далее символом Х>Ф(яе). Для произвольной функции отрезка ее плотность определена т о л ь к о для внутренних точек промежутка, в котором рассматривается данная функция отрезка, причем бесконечное значение плотности не допускается. Отрезки 21 = [а1,1У1! и 122 = [аг,® будем называть приньнаюи1иии, если н а ч а л о одного из них является к о н ц о м другого, то есть если либо Д = аг, либо 132 = а1.
Коли отрезки 121 и сгг — примыкающие, то их объединение представляет собой отрезок. Предположим, что данные примыкающие отрезки являются ограниченными, то есть числа а1,131, аг,фг все конечны. Тогда, очевидно, имеет место равенство: [ьъ1 О Ьг! — [Ь1! + [Ьг! ° (3.1) Функция отрезка Ф, определенная в промежутке 1 = (а, Ь), называется аддипгиеной, если для любых двух примыкающих отрезков 121 и 2 г выполняется равенство: Ф(1!11 О,б 2) = Ф(1."11) + Ф(Ь2). П иве ем п уме ы. Пример 1. Пусть дана функция 1: (а, Ь) — Ж, интегрируемая по промежутку (а,Ь).
Для произвольного отрезка б = [тг,яг! С (а,Ь) полагаем: 1пьу(1г ) = 1(т) дт. (3.2) и, значит, функция отрезка Ф непрерывна в точке те, что и требовалось доказать. Лемма доказана. ° Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Тем самым мы получаем некоторую функцию отрезка, заданную на промежутке (а, Ь). Эта функция, в силу установленных выше (см. и.
2.3) свойств интеграла, является аддитивной. Пример 2. Пусть 1 = К = ( — оо, оо). Равенство (3.1) показывает, что функция 1: 12 ~ — ~ [1ь[ — длина отрезка, является аддитивной. Пример 3. Пусть Г: 1 — К есть вещественная функция, определенная на промежутке 1 = (а, Ь). Для произвольного отрезка 12 = [Х1, х2] положим Ф(12) = Г(Х2) — Р(х1).
Определенная так функция отрезка Ф, как очевидно, является аддитивной. 3.1.4. Способом казанным в после нем п име е п.3.1.3 может быть оп елена любая итивная нк ия от езка в п оизвольном и оме- ж тке множества Й как показывает сл ю ая лемма. ° Лемма З.З. Пусть 1 = (а, Ь) С Й н Ф: Г(1) — К есть аддитивная функция отрезка в промежутке 1. Существует функция Р: Х вЂ” В такал, что для любого отрезка Ь = [х1, х2] Е Г(1) выполняется равенство: Ф(ь) = Р(х2) Р(Х1) ° Лоиазательстно.
Пусть Ф: Г(1) — К есть аддитивная функция отрезка в промежутке 1. Определим некоторую функцию Г: Х вЂ” ~ К следующим образом. Возьмем произвольно точку хо Е 1. Для х Е 1 полагаем: — Ф([х,хо]), если х ( хо', О, если х = хо,' Ф([хо, х]), если х > хо. Г(х) = А) Х1 ( Х2 ( ХО~ В) Х1 ( ХО ( Х2~ С) ХО ( Х1 ( Х2 В случае А), в силу свойства аддитивности Ф, имеем: — Г(Х1) = Ф([Х1,хо]) = Ф([Х1,хг]) + Ф([хз,хо]) = Ф(13) — Р(х2).
П о к а ж е м, что определенная так функция Р: 1 — К и есть искомая. Зададим произвольно отрезок 1з = [х1,х2]. Требуется доказать, что Ф(Ь) = Г(х2) — Г(х1). Если одна из точек х1, Х2 совпадает с хо, то выполнение равенства (3.3) следует из определения функции Г. Будем считать, что х1 ф.
хо, х2 ф хо. Возможны т и сл чая: з 3. Лостаточвые условия янтегрвруемоств Отсюда Ф(Ь) = Р(хг) — Р(хг) и, значит, для этого случая равенство (3.3) верно. В случае В) имеем: Ф(Ь) = Ф([хд,хо]) + Ф([хо,хг]) = — Г(хг) + Г(хг) и равенство (3.3), таким образом, для данного отрезка Ь выполняется. Наконец, в случае С) имеем: Г(хг) = Ф([хо, хг]) = Ф([хо,хг]) + Ф([хг, хг]) = Р(хг) + Ф(Ь), откуда следует (3.3). Лемма доказана. ° 3 а м е ч а н и е 1.
Всякая функция Р, удовлетворяющая условиям леммы, называется порождающей функцией для аддитивной функции отрезка Ф. 3 а м е ч а н и е 2. Пусть Р: Х- К есть порождающая функция отрезка для аддитивной функции отрезка Ф. Тогда любая функция Гг, определенная равенством Рг(х) = Р(х) + С, где С вЂ” постоянная, для всех х е 1 также является порождающей функцией для Ф. И обратно, если Рз есть произвольная другая порождающая функция для оддитивной функции отрезка Ф, то разность Рз — Р постоянна на промежутке Х.
Пействительно, если Гг(х) = Г(х)+ С, где С вЂ” постоянная, то для всякого отрезка Ь = [хг, хг] имеем: Рг(хг) — Рз(хг) = Р(хг) — Р(хг) = Ф(ы), так что Гг является и о р о ж д а ю щ е й функцией для аддитивной функции отрезка Ф. Предположим, что Р и Рз — две различные порождающие функции для аддитивной функции отрезка Ф. Покажем, что разность Рг — Р постоянна на промежутке 1. Пля любого отрезка Ь = [хг, хг] имеем: Ф(Ь) = Р(хг) — Р(хг) = Гг(хг) — Рг(хг), откуда (3.4) Гг(хг) — Р(хг) = Гг(хг) — Р(хг). Фиксируем произвольно точку хо Е 1. Пусть х Е 1,причем х Ф хо.
Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Полагая в равенстве (3.4) х~ = х и хз = хо в случае х ( хо, и хг = хо и хз = х в случае х ) хо, получим." Гз(х) — Г(х) = Г~(хо) — Г(хо). Отсюда Гг(х) = Г(х) + С, где С = Гз(хо) — Г(хо) = сопзФ. Это равенство в е р и о также и для х = хо. Таким образом, разность Я вЂ” Г постоянна в промежутке 1, что и требовалось доказать. 3.1.5. окажем иекото ое тве ение относительно связи свойств ад итивной нк ии от езка и ее по ож аю ей нк ии. ° Лемма 3.4.
Пусть Ф: Г(Х) — + К есть аддитиввая функции отрезка в промежутке Х = (а, д). Тогда для того, чтобы функция отрезка Ф была непрерывна в точке хо Е Х, необходимо и достаточно, чтобы ее порождающая функция Г была непрерывна в этой точке. ХХля того чтобы Ф имела плотность в точке хо Е (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы ее порождающая функция Г была диффереппируема в точке хо. При этом если производная Г (хо) определена и конечна, то Г'(хо) = ПФ(хо). Доказательство. Пусть Ф есть аддитивиая функция отрезка, заданная в промежутке 1 = (а, Ь), Г: 1 — К вЂ” ее порождающая функция. Предположим, что функция отрезка Ф непрерывна в точке хо Е 1.
Зададим произвольно последовательность (х„) „ен точек промежутка 1, сходящуюся к точке хо и такую, что х„ф хо при каждом и. Пусть Ь„есть отрезок с концами хо и х„. Последовательность отрезков (Ь„)„ен, очевидно, стягивается к точке хо при и — оо. Значит, Ф(Ь„) — ~ О при и — ~ оо. Имеем: 1Ф(Ь„)~ = ~Г(х„) — Г(хо)~ при каждом и. Мы видим, что (Г(х„) — Г(хо)( — О при и — оо, откуда вытекает, что Г(х„) — Г(хо) при и — оо. 57 З 3. достаточные условия интегрируемости Так как последовательность (х )„ен такая, что хо = Бщ х„, была и оо выбрана произвольно, то тем самым доказано, что функция Г непрерывна в точке хо.
Обратно, предположим, что функция Г непрерывна в точке хо. Зададим произвольно последовательность отрезков (Ь„) „еи такую, что хе Е Ь„= (х„,у„] при каждом и и х„— + хе и у -+ хо при п — + оо. Так как функция Г в точке хо непрерывна, то Г(х„) — Г(хе) и Г(у„) — Г(хе) при и — оо. Отсюда вытекает, что Ф(сз ) — 0 при Так как последовательность отрезков (ся ) ен, стягивающаяся к точке хо, была выбрана произвольно, то, согласно определению непрерывности функпии отрезка (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
