1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Отсюда, в силу леммы 3.2, вытекает, что функция Ф = 1 непрерывна в каждой точке промежутка х Е 1. Согласно лемме 3.6, функция отрезка Ф аддитивна. Д о к а ж е м, что в каждой точке хо Е (а, Ь), — в которой функция 1 непрерывна, — построенная функция отрезка Ф имеет плотность, причем Пусть точка хо е (а, Ь) такова, что функция 1 в точке хо — непрерывна. Зададим произвольно е > О.
В силу непрерывности У в точке хе, найдется б > 0 такое, что (хо — б,хе+б) С (а,Ь) и для всякого х Е (хо — б, хе + б) выполняется неравенство: )У(х) — у(хе) ! < е/2. ° Теорема 3.2 (признак сравнения интегрируемости функции). Пусть 1 есть вещественная функция, определенная и непрерывная в основном в промежутке (а,Ь).
Тогда если существуют функции и (а, Ь) — К и и: (а, Ь) — К, интегрируемые по промежутку 1 = (а,Ь) и такие, что и(х) < 1(х) < и(х) для всех х Е (а, Ь), то функция 1 интегрируема по промежутку 1. 64 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Пля всех х Е (хо — 6, хо + 6), очевидно, имеем: /(хо) — е/2 < /(х) < /(хо)+ е/2.
Пусть Ь вЂ” произвольный отрезок такой, что ],О ] < 6 и хо Е еь. Функции Л: х ~ У(хо) — и/2 и р: х ~-+ /(хо) + е/2 интегрируемы на промежутке,б.. При этом Л(х) < /(х) <,и(х) для всех х Е еь и, стало быть, согласно лемме 3.5, ео хо (хз — х1)[/(хо) — и/2] = Л(х) Ых < Ф(Ь) < р(х) Йх = = (хз — х1) [/(хо) + е/2].
Из полученных неравенств, очевидно, следует, что [У(хо) — е/2][Ь] < Ф(Ь) < [У(хо) + е/2]]Ь], и, значит, Ф(Ь) ],О,] 2 — У(хо) « — е. Так как и > 0 — произвольно и для достижения последнего неравенства потребовалось лишь, чтобы отрезок Ь содержал точку хо и длина его была меньше 6, то тем самым у с т а н о в л е н о, что Х1Ф(хо) = У(хо). Таким образом, в промежутке Х = (а, Ь) существует непрерывная аддитивная функция отрезка, имеющая в (а, Ь) плотность, равную /(х) всюду, кроме точек не более чем счетного множества. Отсюда, согласно теореме 3.1, следует интегрируемость функции / по промежутку 1. Теорема доказана. ° Следствие.
Если отрезок [а, Ь] ограничен, а функция /: [а, Ь] — К непрерывна, то У интегрируема по отрезку [а, Ь]. Доказательство. Пействительно, если функция / удовлетворяет всем условиям следствия, то в силу теоремы Вейерштрасса о непрерывной амуниции (глава 2,теорема 5.2), функция / — ограничена. Пусть | > — оо есть нижняя, Ь < оо есть верхняя границы функции У на отрезке [а, Ь]. Положим: и(х) = 1, е(х) = Ь. Для функций 3', и и 65 З 3. достаточные условия интегрируемости е и отрезка 1 = [а, Ь] выполнены все условия теоремы 3.2 и, значит, ~ интегрируема по [а, Ь]. Следствие доказано.
%' 3 а м е ч а н и е. Попутно установлено, что если функция у удовлетворяет условиям теоремы и Г есть ее первообразная, то в каждой точке х б (а, Ь), в которой функция У непрерывна, функпия Г дифференцируема, причем Г'(х) = Дх). ° Теорема 3.3. Пусть функция у": (а, Ь) — С определена на открытом промежутке (а, Ь) С К. Тогда если функция у интегрируема на всяком сегменте [о,р] С (а, Ь), то она интегрируема также и по всему промежутку (а, Ь). Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Требуется доказать, что существует непрерывная функция Г: (а, Ь) — К такая, что Г'(х) = ~(х) в интервале (а, Ь) в основном. Зэдадим произвольно точку хе с (а, Ь) и пусть (Оп)вен и (Дв)пел есть последовательности точек промежутка (а, Ь), определенные следующим образом. Если а = — оо, то о„= хе — и, а если а ) — оо, то о„= а+, где 1 = хе — а, и аналогично, если Ь = оо, то,З„= хе+ и, и+ 1' и а если Ь < оо, то р'„= Ь вЂ”, где и = Ь вЂ” хе. При каждом и имеем: в+1' а < о„< хе < р„< Ь. Последовательность (а ) еи — убывающая, последовательность ф„)„ен — возрастающая и а„- а, Ь„- Ь при п — + оо. Теперь определим некоторую функцию Г: (а, Ь) — С.
Полагаем Г(хе) = О. Пусть точка х б (а,Ь) отлична от хе. Тогда, согласно условию теоремы, функция ~ интегрируема на замкнутом промежутке с концами х и хе. В атом случае мы полагаем: Функция Г является первообразной функции ~ на каждом из промежутков [а„,р'„]. В частности, ограничение функции Г на промежутке [о„,р„] непрерывно и существует не более чем счетное множество Е„С (а„, Д,) такое, что в каждой точке х Е (о„, ~3„) ~ Е„функция Г дифференцируема, причем Г'(х) = 1(х). Положим Гл.
5. Интегральное исчисление функций одной переменной В силу результатов З 7 главы 1, множество Е, как объединение последовательности множеств, каждое из которых не более чем счетно, является не более чем счетным множеством. Пусть х Е (а, Ь). Тогда имеем: о < х < Ь и найдется номер и такой, чтоа <х<д~. Пусть Ь > 0 таково, что окрестность с7 = (х — 6, х + 6) точки х содержится в промежутке (о„,~3„]. Ограничение функции Р(х) на отрезке (а„,,б ] непрерывно.
Мы получаем, следовательно, что в некоторой окрестности точки х функция Е совпадает с некоторой непрерывной функцией. Отсюда вытекает непрерывность функции Р в точке х. Так как точка х Е (о, Ь) была взята произвольно, то тем самым доказано, что функция Р на промежутке (а, Ь) непрерывна. Пусть х Е (а, Ь) ~ Е. Найдем и такое, что а„< х < ~3„. Так как Е„С Е, то х ф Е„и, значит, функция Е дифференцируема в точке х, причем имеет место равенство: Г'(х) = 7'(х).
Мы получаем, что функция Р удовлетворяет всем условиям определения первообразной функции у в интервале (а,Ь). В частности, это означает, согласно определению, что функция 7" интегрируема по промежутку (а, Ь). Теорема доказана. ° м Теорема 3.4. У всякой монотонной функции, определенной на произвольном интервале (а, Ь) множества 2, множество точек разрыва не более чем счетно. Доказательство. Пусть 7': (а,Ь) — И есть монотонная функция. Простоты ради, будем считать, что функция у — возрастающая. Случай убывающей функции сводится к этому заменой 7" на — у.
Пусть В есть множество точек разрыва функции 7". Для произвольной точки х Е (а, Ь) пусть 1(х) есть предел слева функции у в этой точке, г(х) — предел у в точке х справа. Тогда, как было показано ранее, для всякой точки х Е (а, Ь) выполняется неравенство: 1(х) < г(х) и точка х Е (о, д) является точкой разрыва функпии Х в том и только в том случае, если 1(х) < г(х). Пусть х Е В.
Для этого х определен интервал Ях), т(х)). Как было показано ранее, всякий интервал (а„З) множества К содержит, по крайней мере, одно рациональное число. Построим отображение множества В в множество всех рациональных чисел Я, сопоставляя каждому х Е гг рациональное число, лежащее в интервале (1(х), т(х)). Пусть ~р есть это отображение. Докажем, что отображение ~р взаимно однозначно. Возьмем произвольно элементы х1 и хг множества В такие, что х1 ф хз. Будем считать, что хг < хэ. 3 4. Техника неопределенного интегрирования Возьмем произвольно х такое, что х1 < х < хз. Тогда, согласно теореме 3.1 главы 2, г(х1) = шг" ~(Ф) и, значит, г(х1) < у(х).
Аналогично ге(яьь) заключаем, что так как 1(хз) = зпр Дг), то у(х) < 1(хз). Мы получасе(ае я) ем, следовательно, что ~о(хг) < г(хд) < )"(х) < 1(хз) < у(хз) и, значит, ср(х1) ~ у(хз). Точки хд и хз множества В были взяты произвольно и, тем самым, взаимная однозначность отображения у установлена. Множество Я счетно. Таким образом, В допускает взаимно однозначное отображение в некоторое счетное множество. Отсюда следует, что множество В не более чем счетно. Теорема доказана. ° Следствие. Всякая функция у": 1 — ~ К, которая определена на интервале Х = (а, Ь) множества и и является монотонной, интегрируема на этом интервале. Доказательство.
Пусть ~: (а,Ь) — + К есть монотонная функция. Зададим произвольно сегмент [а,)3], содержащийся в интервале (о, Ь). В силу монотонности функции ~, любое значение функции )' на этом сегменте лежит между ~(гг) и )".()3) и, следовательно, функция у на промежутке [а,)3] ограничена. В силу теоремы 3.4, функция у на промежутке [ег,)3] непрерывна в основном.
Отсюда, в силу теоремы 3.2, вытекает интегрируемость функции у по сегменту [сг, )3]. Таким образом, данная функция ~: (а, Ь) — К интегрируема на всяком сегменте [ег,)3] С (а,Ь). В силу теоремы 3.3, отсюда вытекает интегрируемость функции ~ по интервалу (а, Ь). Следствие доказано. ~ 4. Техника неопределенного интегрирования Формально здесь речь идет о технике отыскания первообразных некоторых элементарных функций.
Производная произвольной элементарной функции снова является элементарной функцией. Но для первообразных это, вообще говоря, не так. Первообразная элементарной функции может не быть элементарной функцией, и эта ситуация является в некотором смысле типичной. Но в тех случаях, когда первообразная элементарной функции 1(х) также элементарная функция, важно уметь найти эту первообразную. Если это имеет место, то говорят, что неопределенный интеграл [ У(х) ох берется в конечном виде. Напомним, что согласно определению, данному в п. 1.3 этой главы, неопределенный интеграл функции есть совокупность всех ее первообразных. 68 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Здесь рассматриваются только функции, определенные на промежутках множества 2.
Две первообразные функции у на некотором промежутке 1 С К отличаются на постоянное слагаемое. Основное содержание параграфа, как уже сказано, составляет описание техники неопределенного интегрирования, то есть основных приемов для нахождения первообразной элементарных функций в тех случаях, когда это возможно. В настоящее время имеются компьютерные программы, реализующие все приемы неопределенного интегрирования, которые здесь описываются.
Тем не менее знание техники неопределенного интегрирования является необходимым элементом математического образования. 4.1. ОБ ие сВедениЯ О неОНРеделенных интеГРАлАх 4.1.1. Напомним, что функция называется элементарной, если она может быть получена за конечное число шагов выполнением арифметических действий и операции образования суперпозиции из некоторых основных функций, а именно, — из степенной, показательной и логарифмической функций, функций, тождественно постоянных в К, а также из прямых и обратных тригонометрических функций.
Всякая элементарная функпия в любом интервале, содержащемся в области ее определения, непрерывна и, значит, в силу результатов З 3, интегрируема. Производная элементарной функции есть функция элементарная, что с очевидностью следует из правил дифференцирования и формул дифференцирования базисных элементарных функдий (доказанных ранее). В противоположность этому первообразнэя элементарной функции может и не быть элементарной. Это имеет место даже для достаточно простых функций. Например, первообразные функций 1 зшя е* — е Д+т4' я ' х' не являются элементарными функциями. Доказательство этого факта, однако, достаточно сложно и не может быть здесь приведено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
