1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(4.26) Определитель данной системы будет: 1, 7, О р, б, у д, О, б 2 тэ У' э'1 = б — руб+4у = ~б — — у) + ~4 — — ) 7 2 1 ~ 4) По условию, у и б не обращаются одновременно в нуль. Так как квадратный трехчлен я~ + ря + д не имеет вещественных корней, то е — — ) О. Отсюда следует, что Л ~ О, и, значит, система р' уравнений (4.26) однозначно разрешима относительно 4, и и ю.
Пусть Ф,и,ю есть р е ш е н и е этой системы. Тогда Р(я) — ( + )Жя) =( '+ря+а)Рг(я), где Р1(я) есть полипом. В итоге мы получаем: Р(я) Р1(я) он+ ю Я(я) Я (я) (ня + ря + д)8 ' + (4.27) Рг(г) Применяя к рациональной функции аналогичные построе- Яг(я) Р ния, найдем член в разложении рациональной функции — на простей- ой+ ю шие дроби, предшествующий (я2 + ря + ч)з По условию, В(я) не делится на квадратный трехчлен я~ + ря + д и, значит, — по крайней мере, одно из чисел у, б отлично от нуля. Коэффициенты а„9, у, б все суть вещественные числа.
Имеем: Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Рассмот им некото ые п и м е ы. Пример Х. Построим разложение на простейшие дроби рациональной функции: У(х)— 1 (х — 1)(х — 2)...(х — и) Имеем: 1(х) = ~ и=г * Умножив обе части этого равенства на (х — к) и полагая затем х = Й,получим: 1 п-ь 1 (й — ц.( — й).' и требуемое представление получено. Пример 2.
Найдем разложение на простейшие дроби рациональ- ной функции: 1 (хз 1)и ' Имеем: (х — 1)" = (х — 1)"(х+ 1)" и, в соответствии с общей теоремой, искомое разложение должно иметь вид: + + + (хз — 1)" х — 1 (х — 1)а — + (х — 1) и (х+ 1)о х+1 (х+1)з + 3 ача состоит в том чтобы найти числа: иыиз,...,и и оыоз,...,е . Умножив обе части равенства на (х — 1)", получим: (х+ 1)" = и„+ и„, (х — 1) + " + и,(х — 1)" ' + (х — 1)" В(х). Данное равенство можно переписать следующим образом: Р1(х) = У(х) + о[(х — 1)" ), Действуя таким образом и далее, через конечное число шагов мы Р найдем все члены разложения — на простейшие дроби, знаменатели которых суть степени квадратного трехчлена з + рз + д.
85 З 4. Техника неопределенного интегрирования 1 где Р1(х) = (х 1 Цп' , а у(х) = и„+и„-г(х — ц+. +и»(х — ц" г есть полипом степени не вьппе и — 1. Отсюда видно, что У(х) есть поливом Тейлора порядка и — 1 функции Р(х) в точке х = 1 и, значит, и„= Рг(Ц, и г = Р1(Ц, и, вообще, при каждом к = О, 1,..., и — 1 Рг,,»и(и+ Ц... (и+й — Ц,»С„"~» г и» вЂ” — „,— г — 1~ 2"+»к1 2"+" Коэ и центы и можно найти аналогичными вычислениями.
По- ступим следующим образом. Заменяя в равенстве (хз — ц -'-. (х — ц» +'-. (х+ ц» »кп »=1 х на -х, получим: 1 ~ ( — Ц»и» ~~ ~ (-Ц»и» (хг Ц °,~~ (.1 Ц» +,Г~(. Ц» »а» »»г Отсюда следует, что и» = ( — Ц"и» при каждом и = 1,2,...,и, и з ача о азложении а иональной нк (х2 цп на и остейшие оби таким об азом е ш е н а.
4.3. ПРимеРы неОНРелеленных интеГРАлОВ Здесь будут рассмотрены некоторые важные случаи элементарных функций, у которых неопределенный интеграл берется в конечном виде, то есть является элементарной функцией. Предположим, что каждой паре вещественных чисел (х,у) сопоставлено некоторое число Р(х, у). функция Р: (х,у) Е Ж х К ~ Р(х, у) называется полиномом относитиеоьио переменных х и у, если она допускает представление: Р(х,у) = ~ а„,х"у", 86 Гл. 5.
Интегральное исчисление функций одной переменной для любых х, у Е К, где число слагаемых справа конечно, коэффициенты а„„вЂ” постоянные, а показатели р и и суть неотрицательные целые числа. Функция Р: (х, у) Е Ж~ ~-+ Е(х,у) называется рациональной фуюсцией двух переменных, если Р(х, у) Р(х,у) = где Р и Я суть полиномы относительно переменных х, р Е й. | Рг(х, ~/Р(х)) дх сводится к интегралу от рациональной функции заменой переменной ах+ Ь ох+ а действительно, из последнего равенства следует, что п(ад — Ьс)$" дх (Йр (а сйп)2 аг" — Ь х= а — сР' и,наконец, „~ах+ Ь~ / (аг" — Ь 1 п(аа — Ьс)й 1 ~ и ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ ~ ~ и ~ | Функция, стоящая здесь под знаком интеграла, — рациональна.
2) Интеграл (4.28) в случае, когда Р(х) есть полипом второй степени с вещественными корнями, сводится к уже рассмотренному. Это можно сделать следующим образом. ах+ Ь 1) Пусть Р(х) = — дробно-линейная функция, где ад-Ьс ф О, ох+ д и пусть Рс(х,у) есть рациональная функпия двух переменных. Тогда интеграл 87 З 4. Техника неопределенного интегрирования Пусть г'(х) = а(х — х1)(х — хз), где хз, хз Е Ж. Тогда имеем: /Р(х) = (х — хг) а(х — хз) Отсюда ясно, что в этом случае в каждом промежутке, в котором выполняется неравенство г (х) > О, интеграл (4.28) есть интеграл вида, рассмотренного в 1). 3) Рассмотрим интеграл вида (4.28), где В(х, у) есть рациональная функция двух переменных в предположении, что Г(х) есть квадратный з трехчлен с комплексными корнями г'(х) = х + рх + д.
Подстановкой данный интеграл сводится к интегралу где В1 есть рациональная функция двух переменных. 1/ 11 Функция и ~ — ~и — — ~ взаимно однозначно отображает полуось 2 я (О,оо) на К. 1/ 1~ Произведя подстановку 4 = — ~и — — ), после очевидных преобра- 2~ и)' зований получим: где Вз есть рациональная функция. 4) Пусть  — рациональная функция одной переменной. Подстановка е* = и, х = 1пи приводит к равенству: В(е*) дх = / В(и) — = ~ Вг(и) ои.
| Ни Здесь В1 есть рациональная функпия. Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной 88 5) Пусть В есть рациональная функция двух переменных и требуется найти неопределенный интеграл функции Г(х) = Л(сов х, вшх) в некотором интервале (а, 6) С ( — я, и). Предположим, что Р(х) определено для всех х из этого интервала. Подстановка и = Сб —, х = 2агссби х 2' приводит к равенству: Ни 2и 1 — ии 1 2 ("'х" х) "х- и интеграл, таким образом, сводится к интегралу от рациональнои функции. 6) Интегралы х" е~* йх, х сов йх г1х, х" вш кх г1х, (4.29) где и ) 0 — целое, легко находятся с помощью правила интегрирования по частям. Рассмотрим п е р в ы й из этих интегралов (4.29). Положим: А„= х"е *Их. Тогда получим: А = — х"е~* — — " ~е"*Нх = -х е — — А„ и Г 1 „а и й Это позволяет последовательно понижать показатель степени множителя, стоящего при ее~ под знаком интеграла.
Через конечное число шагов приходим к интегралу: А,=/ *Ш ка -ы е — е вшх = Л е +е г!и — Фи совх = 2 ! В вычислениях, приведенных здесь, Й может быть произвольным к омплексным числом. Поэтому два других интеграл ( . ) ла в (4.29) сводятся в 3: к рассмотренному применением формул Эйлера (см. главу ): 89 Интегралы где Р(х) — полинам, сводится к интегралам вида (4.29).
Практически удобнее вычислять их, пользуясь методом неопределенных коэвд4иии- ентое. Индукцией по числу и — степени полинома Р(х), легко устана- вливается, что (4.30) Лифференцируя равенство (4.30) почленно, получим: Р(х) = Я'(х) + кЯ(х). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и в этом равен- стве,получим следующую систему уравнений: йип + ия-1 из которых числа ио, ид,..., и„легко определяются последовательно.
Аналогичным образом, если Р(х) есть полинам степени не выше дд, то где д.д и Ъ' суть полиномы степени не вьппе и. Отсюда: Р(х) сов йх = (У'(х) + Иl'(х)] сов Йх +( — Ы7'(х) + $" (х)] вших. Полагаем: З 4. Техника неопределенного интегрирования где Я(х) — полипом степени не выше и. Пусть Р(х) = аох" + адх" д +. + а, фх) = иох" + идх" ' + . + и„.
Йио Вид + пио низ + (и — 1)ид У'(х) + йЪ" (х) = Р(х), -ЙУ(х) + У'(х) = О. = ао, =ад, =аз, 90 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Это есть система уравнений,из которой легко определяются коэффициенты полиномов У1х) и У(х). А именно, выражая У(х) через У'(х), из второго уравнения получим сначала равенство: У"(х) + й У(х) = Р(х). После этого, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, приходим к системе уравнений, из которой легко определяются коэффициенты полинома У. Затем У определяется по формуле: 1 / 17 = -У.
й Аналогично находится интеграл 7) Интегралы где Р(х) — полипом, сводятся к интегралу от рациональной функции интегрированием по частям. Чтобы показать это, достаточно рассмотреть случай Р(х) = х". Имеем: | / и+1 ~1 и+1 /,и+1 ~ и+1) н+ и+1 ' х х Г " и+' +1 = — 1пх — / — 11х = — 1пх —, и+1 и+1 и+1 ~11+1 Аналогично: | / и+1 х"агс1кхйх = агс1кхй ~ оп+1) и+1 / и+1 х = — агс1йх — | — Иагссйх = и+1 / и+1 х и+1 / и-~-1 1 +1 / ( +1Н +1) 91 З 4. 'Гехника неопределенного интегрирования 8) Интегралы Р[х) агссов х дх, Р(х) агсвш х ((х, где Р[х) — полипом, сводятся к интегралам, рассмотренным в 5), за- меной х = зшг в первом, х = сов г — во втором.
9) Вычислим интеграл: еаа соз тх дх. Имеем: е (а+на)х (а-Йа)а +е е'* сов тх = 2 > откуда получаем: / (а+Оп)х (а-(аа)а'( аа — — +, ) — [осовтх+ твштх). 2 ~ о+гт а — гт ) аз+те 10)ааа Р бР У фУ У:* ГЯ вЂ” Р У. ке [ — В,В]. Положим: Р[х) = Вз — хз ох. о (4.31) Ланный интеграл встречается достаточно часто. Он легко находится с помопгью приемов, описанных выше. Это требует, однако, сравнительно громоздких выкладок.
Приведем простые геометрические соображения, позволяющие сразу указать, чему равен этот интеграл. Используем связь между задачей вычисления площади и интегрированием функции, отмеченную в п. 1.3 этой главы. Кривая, задаваемая в декартовой ортогональной системе координат ж ю=~а1 — Р, а, а~ и~ у В с центром в начале координат, лежащая в верхней полуплоскости у > О. Пусть М есть точка [О, В), О = [О, 0) — начало координат на плоскости [см. рис. 5). Гл. 5.
Интегральное исчисление функций одной переменной Рис. 5 Возьмем произвольно х такое, что 0 < х < В. Пусть Х = (х, 0), г = ( „'а' — Р) Интеграл (4.31) равен площади криволинейной трапеции ОМУХ. Последняя же равна с у м м е площади кругового сектора, ограниченного радиусами ОМ и ОУ и дугой МУ данной окружности и площади треугольника ОХУ. Угол сектора равен х у = агсзш В и, значит, площадь сектора равна В2 — агсзш 2 В Плошадь треугольника ОХУ, очевидно, равна — х Ва — хз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
