1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 16
Текст из файла (страница 16)
1 2 Мы получаем, следовательно: Вз — хз Нх = — агсзш — + — х Вз — хз. (4.32) В2 2 В 2 о В проделанных рассуждениях предполагалось, что х ) О. П р а в а я часть полученного равенства есть, как нетрудно видеть, нечетная фуикиия переменной х. (Напомним, что функция у: М вЂ” ~ К, где М С Й, называется нечетной, если для всякого х Е М также и — х принадлежит М, причем имеет место равенство: у( — х) = — Д(х).) Интеграл в лево й части равенства т ак ж е представляет собой нечетную функцию х. Отсюда видно, что равенство (4.32) в е р н о также и при х < О.
93 З 4. Техника неопределенного интегрирования Проделанный вывод, формально, не может считаться строгим, поскольку понятие площади пока не имеет точного оп еления. Дифференцирование правой части равенства (4.32), однако, немедленно показывает справедливость полученного результата. 11) Геометрические соображения, аналогичные тем, которые использовались в предыдущем примере, можно использовать для вычисления интеграла: х (4.33) При этом, однако, построение оказывается несколько сложнее.
На плоскости рассмотрим кривую, которая в декартовой ортогой * и~ м шр'л * ур ': ю = Л~тя*. Пусть О = (О, О) — начало координат, М = (О, В). Возьмем произвольно х > О. Пусть х=[„0), г=[*,,/р+'). Най ем пло ь секте а ограниченного дугой М1 этой кривой и отрезками ОМ и ОУ (см. рис. 6). Обозначим эту площадь через й(х). Очевидно, й(х) равно разности плошадей криволинейной трапеции ОМУХ и треугольника ОХУ, то есть х й(х) = 4з+Взг — — х хе+ Вз. 1 2 е г и м способом. Вычислим величин й х Рассматриваемая кривая представляет собой ветвь гиперболы у — х — В =О, 2 2 3 образованную точками, для которых у > О.
На плоскости введем н о в у ю ортогональную систему координат, принимая за оси координат биссектрисы первого и второго координатных углов, то есть прямые х — у = О, х + у = О. Пусть (~,п) — координаты произвольной точки в этой новой системе координат. Тогда С есть р а с с т о я н и е точки до прямой х + у = О, взятое с надлежащим знаком, то есть х+у ~/2 Гл. 5.
Интегральное исчисление функпий одной переменной Аналогично, -х+ у ц=~ есть взятое с надлежащим знаком расстояние до прямой х — у = О. Рис. о Знаки выберем так, чтобы обе координаты точки М в н о в о й системе координат были положительны. Это приводит к следующим соотношениям: х+у -х+д ~/2 ~/2 Отсюда ~ — и ~+и ~/2 ~/2 и гипербола д~ — х~ = В~ в н о в о й системе координат будет задаваться следующим уравнением: 2~О = В~. В точках рассматриваемой ветви гиперболы выполняются неравенства у > ф, откуда у — х > О и у+ х > О, то есть данная ветвь лежит в квадранте ~ > О, и > О. В~(2 В~/2 Точка М имеет координаты ~ = и ц = 2 2 Пусть М и Т вЂ” это основания перпендикуляров, опущенных из точек М и У, соответственно, на прямую ц = О.
Вг Площадь треугольника ОУТ равна — ~ц = — и, следовательно, 2 4 н е з а в и с и т от выбора точки У. В частности, и площадь ОМХ Вз равна —. 4 Пусть Сесть ч е ты р е х у г о л ь н и к, ограниченный отрезком ОМ дугой МУ гиперболы, и отрезками УТ и ТО. Очевидно: площадь С = й~х) + площадь ОТУ = = площадь ИМУТ+ площадь ОХМ. Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной ь ь | У(х)д(х) «Фх = у(с) д(х) «1х. (5.1) Доказательство. Функция у по «пеореме Вейер«атрасса (теорема 5.2 главы 2) принимает в промежутке [а, Ь] свои наименьшее и наибольшее значения. Пусть гп = ппп у(х), а«*Ь М = шах У(х) а<а<Ь и с и и — точки отрезка (а, Ь] такие, что у(() = гп, ~(«1) = М.
Для всех х Е (а, Ь] имеем: д(х) < Ях)д(х) < Мд(х) Интегрируя данные неравенства почленно, получим: ь ь ь тп д(х) йх < у(х)д(х) Их < М д(х) йх. (5.2) Если | ь д(х) «Хх = О, а то из неравенств (5.2) вытекает, что тогда также и | ь у(х)д(х) сЬ = О. а В этом случае в качестве с можно взять произвольную точку интервала (а, Ь). ° ТЕОрвмл 5.1 (первая интегральная теорема о среднем значении). Пусть 1: (а, Ь] — ««н есть непрерывная функция, д: (а, Ь] -««и — неотрицатальнал функция.
Предположим, что функции д и гд интегрируемы по (а, Ь]. Тогда найдется значение с такое, что а < с < Ь и 97 З 5. Интегральные теоремы о среднем значении Будем далее считать, что ь д(х) ех > О. Положим: [ Х( )д(')4 В= ' ь ] д(х) Ых а Из неравенств (5.2) следует, что тогда гл < В < М.
В силу теоремы Коши о вромезхутлочных значениях (теорема 4.1 главы 2), найдется с, лежащее между С и и, и такое, что у(с) = В. Если т < В < М, то с ~ с и с ф и, и, значит, в этом случае либо С < с < и, либо С > с > и. В обоих случаях, очевидно, а < с < Ь, так что с есть в н у т р е н н я я точка промежутка [а, Ь].
Предположим, что одно из неравенств (5.2) обращается в равенство. Пусть, например, ь ь т д(х)сЬ = У(х)д(х) дх. (5.3) ь ь Ф(Ь) — Ф(а) = ~р(х) сЬ = [У(х) — гп]д(х) Их = О и, следовательно, функция Ф на промежутке [а, Ь] и о с т о я н н а. Отсюда вытекает, что Ф'(х) = О для всех х Е (а, Ь). Согласно определению первообразной, Ф'(х) = [У(х) -т]д(х) в промежутке (а,Ь) в основном. Мы получаем, таким образом, что [Дх) — т]д(х) = О в промежутке (а, Ь) в основном, то есть множество Е точек х Е (а, Ь) таких, что [у(х) — пь]д(х) ф О, не более чем счетно. функция х(х) = [у(х) — т]д(х) — неотрицательна и интегрируема по [а, Ь]. Пусть Ф есть ее первообразная в промежутке [а, Ь].
функция Ф вЂ” возрастающая и, стало быть, Ф(а) < Ф(х) < Ф(Ь) для всех х Е [а, Ь]. В силу равенства (5.3), 98 Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Функция д — неотрицательна и интеграл от нее по промежутку [а, Ь] отличен от нуля. Отсюда следует, что множество тех точек х Е (а, Ь), для которых д(х) > О, несчетно. Следовательно, найдется точка с Е (а, Ь) такая, что д(с) > 0 и с ф Е Лля этого с имеет место [~(с) — т]д(с) = О, так как с Е Е, и, значит, г(с) — т = О.
Таким образом, в этом случае 1(с) = т и, в силу (5.3), мы получаем, что равенство (5.1) выполняется для некоторого с Е (а, Ь). Аналогично рассуждаем в случае, когда В = М. Теорема доказана. ° 5.2. ЛЕММА О ПРИБЛИЖЕНИИ МОНОТОННЫХ ФУНК Ий СТУПЕНЧАТЫМИ Определим сначала некоторые вспомогательные функции.
Пля х Е И полагаем и(х) = 0 при х < 0 и и(х) = 1 при х > О. Функция и, очевидно, является возрастающей. В каждой точке х ф 0 функция и непрерывна. Имеем также: и( — 0) = 0 = и(0) и и(+О) = 1. Пусть дано произвольное число п Е 1Ч. Лля х Е К полагаем: сг„(х) = — ~~ и (х — — ) . (5.4) Функция а„является неубывающей, о„(х) = О при х < О, так как в этом случае все слагаемые в сумме, стоящей в (5.4) с п р а в а, обращаются в нуль. И а„(х) = 1 при х > 1, поскольку в этом случае все слагаемые в (5.4) с п р а в а будут равны 1.
На рис. 7 показано, как выглядит график функции а„(х) для и = 5. 99 З 5. Интегральные теоремы о среднем значении ° Лемма И. Для всех х из промежутка [О, 1] имеют место неравенства: 1 х > н„(х) > х — —. Доказательство. Пусть х Е [О, 1]. Если х = О, то о (х) = О, и, значит, в атом случае неравенства леммы выполняются. Далее будем предполагать, что 0 < х < 1. Пусть т — целое число такое, что т — 1 < пх < т. Тогда, очевидно, 0 < т, т — 1 < и и, значит, 0 < т < и. Отсюда заключаем, что т — 1 т — <х< —. и и Заметим, что для любых х и Ф будет О(х — Ф) = О, если 1 > х, и п(х-1) = 1, еслибы< х. Это позволяет заключить, что в сумме (5.4) те слагаемые, для которых Й > т, равны нулю, а остальные равны 1 и, следовательно, вся сумма равна т — 1.
Отсюда следует, что для данного х имеет место равенство: т — 1 т т (х)= <х< —. и и Так как х Е [О, 1] взято произвольно, то лемма доказана. ° функцию т: К вЂ” К мы будем называть простой ступенькой, если она является убывающей, и существует число 1 такое, что т(х) = 1 при х < 8 и т(х) = 0 при х > ~. ° Лемма о.2 (о приближении монотонных функций ступенчатыми).
Пусть ~о: [а,5] — К есть невозрастающая функция такая, что ~о(а) = 1, н для всех х Е [а,5] выполняются неравенства: 1 > у(х) > О. Тогда для всякого и Е 1Ч существует функция ~р„: [а, 5] -+ К такая, что 1 р„= — ') ть, где каждая из функций ть является простой ступенькой, ь=1 1 и для всех х Е [а,5] имеет место неравенство: у(х) > у„(х) > у(х) — —. Доказательство. Будем считать, что функция <р определена для всех х Е К, полагая у(х) = 1 при х < а и у(х) = 0 при х > Ь. Воспользуемся результатом леммы 5.1.
Пусть ц„есть функция, определенная равенством (5.4). Полагаем: р„(х) = о [р(х)]. 1ОО Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Так как а„есть неубывающая функция, то функция д„является невозрастающей (напомним, что по условию у(х) есть невозрастающая функция). Согласно лемме 5.1, для всех 1 Е [О, 1] имеем: $ > сг„(1) > $ — 1/и, откуда следует,что у(х) > р„(х) > у(х) — 1/и для всех х Е [а, Ь]. Наконец, из (5.4) следует, что для любого х Е [а,Ь] имеет место равенство: 1 ~р„(х) = — ~,') т;(х), г~ где т;(х) = и (у(х) — — ) для всех х Е [а, Ь]. Для з а в е р ш е н и я доказательства осталось показать, что функция т, является просгпой ступенькой при каждом 1= 1,2,...,п.
Для г = 1, 2,..., и пусть Е; есть множество тех х Е [а, Ь], для которых г р(х) > —. и' Множество Е; — н е п у с т о, так как а Е Е;. Положим: х; = зпрЕ;. Если х > х;, то х ~ Е,, и, значит, для этого х выполняется нераг г венство: у(х) < —, откуда у(х) — — < О и, следовательно, т,(х) = О. и' и Если же х < х;, то найдется х' Е Е; такое, что х < х' < х,. Так как ~р есть невозрастающая функция, то имеем: и, значит, в данном случае т;(х) = 1. Функция т, — невозрастающая. Мы получаем, что т;(х) = 1, если х < х,, и т;(х) = О, если х > х;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
