1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пусть У ( [а,Ь] — + Ж есть функция класса Р~, причем четвертая производная функции 1 ограничена. Пусть величина 9(('; а, Ь) определяется равенством (6.25). Тогда имеет место неравенство: ь | У( ) Ь-О(У;а,Ь) < 4. ~'[[У]]4 а (6.26) Формула (6.24) получается следующим образом. Лля функции у строится функция у„, определенная условиями: прн каждом а = 1, 2,..., и ограничение ("„на промежутке [хь ы хь] есть квадратный трехчлен и значения функций 1 и 1 в точках хь ы Фь и хь совпадают. Сумма 9(у; а, Ь) равна интегралу от функции у"„по промежутку [а, Ь]. Сумма в правой части равенства (6.25) называется формулой порядка и для приближенного вычислении интеграла методом Симпсона.
Метод приближенного интегрирования, получаемый таким образом, называется методом Симпсона (по фамилии автора). Сле аятео ема ает о енк точности о м лы Симп- З 6. Интегралы и суммы. Формулы численного интегрирования 125 Доказательство. Положим: 6ь — — Г(т) «Ь — -[у(ть 1) + 47(1ь) + у(хь)). (6.27) Ь 6 Очевидно, ь ! н а 1' 1) )и* — 0)У',ь) = 4 Ж <~ Щ (6.28) Ь=1 Ь=1 а В интеграле в и р а в о й части равенства (6.27) произведем замену переменной интегрирования, полагая т = яь 1+ ЬФ. Положим: о)($) = Ьу(хь 1+ М).
После очевидных преобразований, будем иметь: 1 йь" — — / )р(Ф) <й — — (р(0) + 4о)н + )р(1)) = Я(у). 1 1 о Применяя неравенство (6.21) к функции )р, получим: ~ ~а~ ))ф(4 2880 Имеем: З)1'(4) = Ь~11 (хь 1+ Ьг). Отсюда вытекает, что ~ 1п~ ~ Ьа ))У))4 2880 при каждом Ь = 1,2,...,и.
Суммируя по Ь, отсюда получаем, что имеет место неравенство: | ь у(т)ат-ОФо.й~ ( 4. )),) ))4 При приближенном вычислении интеграла методом Симпсона порядка п требуется находить значения функции в 2гь + 1 точках. В методе трапеций порядка 2п должны быть определены значения функции в тех же 2п+ 1 точках. Погрешность метода трапеций будет не больше ~з 48пе 126 Гл. 5.
Интегральное исчисление функций одной переменной 60п~ Метод Симпсона дает погрешность, по крайней мере, в раз меньшую, чем погрешность метода трапеций, где М = Йз и2 4 ~ Т. Приложения интегрального исчисления Понятие интеграла имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и других разделах науки, и здесь не представляется возможным рассказать о всех известных его приложениях. В этом параграфе приводится отдельные примеры, в которых используется понятие интеграла. В частности, поиски эффехтивных методов вычисления площади для произвольной плоской фигуры и объема тела произвольной формы в пространстве сыгралн важную роль в становлении дифференциального и интегрального исчисления.
Заключительная часть этого параграфа посвящена приложению интегрального исчисления к решению одной трудной математической задачи. Именно, мы приведем доказательство классической теоремы 11 Эрмита, согласно которой число е .= 1пп (1 + — ) трансцендентно, то в ос~ П есть оно не может быть корнем никакого полинома, коэффициенты «оторого — целые числа. Отсюда, в частности, следует, что число е иррационально. 7.1. ПЛО АЛЬ ПЛООКОЙ ФИГУРЫ Площадь плоской фигуры, так же как и объем тела в пространстве — это математичесхие понятия, которые сами по себе нуждаются в точном определении. Такое определение будет дано в главе 13 второй части книги на основе понятия кратного интеграла. Здесь мы будем опираться на наглядные представления о площади и объеме из элементарной математихи.
Покажем сначала. как вычислять пло и плоских иг некото ого спе иального в а. Пусть дана функция у: (а, д] — + И. Предположим, что у(х) ) 0 для всех х Е [а, Ц. На плоскости зададим декартову ортогональную систему координат. Если точка Р на плоскости имеет координаты (х, у), то мы будем использовать обозначение Р = (х,р). Пусть А есть точка (а, 0),  — точха (д, 0). Точки А и В лежат на оси абсцисс. Положим: М =- (о, Да)), зч' = (д, Г(д)). 127 З 7. Приложения интегрального исчисления Пусть Ь = [хмхг] — произвольный отрезок, содержащийся в [а, Ь].
Положим: Хг = (хм О), Хг = (хг, 0), Уг = (хы1(хг)) и Уг = (хг,1(хг)). Точки Уг и Уг принадлежат графику функции 1. Множество всех точек (х, у) таких, что хг < х < хг и 0 < у < 1(х), будем обозначать одним из символов: ТЦ; 0) или ТЦ; хм хг). Риа 11 Множество ТЦ';1г) представляет собой плоскую фигуру, ограниченную прямолинейными отрезками УгХы ХгХг, ХгУг и дугой УгУг г р а ф и к а функции 1 (см. рис.
11). Будем называть ТЦ; Ь) криволинейной трапецией, соответствующей отрезку 11 = [хы хг]. Здесь будет указан с и о с о б вычисления пло и к иволинейной тржеви~. Полученный результат может быть использован также и для нахождения площадей геометрических фигур, которые не являются криволинейными трапециями. Для произвольной криволинейной трапеции ТЦ; Ь) пусть Я1(Ь)— ее площадь. Тем самым в промежутке [а, Ь] определена функция отрезка Я1.
Требуемый результат мы получим как следствие некоторой общей теоремы. ° Теорема 7.1. Пусть даны ограниченная и непрерывная в основном функция 1": (а, Ь) — + К н адднтнвная функция отрезка Я в промежутке [а, Ь]. Предположим, что для всякого отрезка сг = [хы хг] С [а, Ь] вьтолнено следующее условие: если числа Нг и Нг таковы, что для всех х Е Ь выполняются неравенства -оо < Нг < 1(х) < Нг < оо, то Нг(хг — хг) < Я(Ь) < Нг(хг — хг). 128 Гл.
5. Интегральное исчисление функций Одной переменной Тогда для всякого отрезка Ь = [х2,хз] С [а,д] будем иметь: Х2 Я(Ь) = У(х) Нх. Х1 Доказательство. Пусть выполнены все предположения. Теорема будет доказана, если мы установим, во-первык, — что аддитивная функция отрезка Я непрерывна, а, во-вторых, — что исключая точки, образующие не более чем счетное множество, плотность функции отрезка Я в точке х Е [а,Ь] равна У(х). Пусть Ь < со таково, что ]Дх)~ < Ь для всех х Е [а,Ь]. Тогда, в силу условия теоремы, для всякого отрезка Ь = [х2, хз] имеют место неравенства: -42[< ~(О) < 4~[ Отсюда следует непрерывность Я.
(Здесь и далее [Ь] = хз — хд — длина отрезка сь = [х1, хз].) По условию, функпия у — непрерывна в основном. Это означает, что множество точек разрыва функции )' не более чем счетно. Пусть точка хе Е (а, Ь) такова, что функция г непрерывна в хе. Зададим произвольно е > О. По нему найдется 6 > О такое, что если [х — хе~ < 6, то ]~(х) - Пхе)[ < -' 2 Пусть А С [а, Ь] есть отрезок такой, что ] е [ < б, и хе Е сь.
Если х Е 2з, то )х — хе[ < Б, и, стало быть, для этого х выполняются неравенства: У(хе) — -' < У(х) < Пхе) + -'. 2 2 В силу условия теоремы, отсюда, очевидно, следует, что [ 21 ~ 21 и, значит, Я[ь[ — Дхо) « — е ! е 2 Так как е > Π— произвольно и для достижения последнего неравенства потребовалось лишь, чтобы отрезок 22 содержал в себе точку хе и длина его была меньше 6, то тем самым у с т а н о в л е н о, что У(хе) есть плотность функции отрезка Я в точке хе. 129 З 7.
Приложения интегрального исчисления Таким образом, Я вЂ” зто непрерывная аддитивная амуниция отрезка и в каждой точке х Е (а, Ь), в которой функция у непрерывна (то есть для всех х, исключая, может быть, некоторое не более чем счетное множество значений х), ее плотность равна у(х).
Отсюда следует, что хя Я(12) = у(х) дх. х1 Теорема доказана. ° Для произвольной криволинейной трапеции Т(у; 1."1) пусть Яу(ьь) есть ее площадь. Тем самым в промежутке [а, Ь] определена некоторая функция отрезка Яу. В сн известных из геомет ин свойств пло и имеют место сл ю- е тве ж ения. 1. Функция отрезка Яу — аддлтивна. П. Если для всех х из промежутка 1я = [х1, х2] выполняются неравенства Н1 < У(х) < Н2, где Н1 ) О и Нз < со — постоянные, то Нг~ьь[ < Яу(ьь) < Н2[ьь[ ° действительно, пусть 1ь1 и л12 — произвольные, примыкающие один к другому отрезки, лежащие в промежутке [а, Ь], гзо, есть их объединение.
Тогда Т(у; ььо) = Т(у; .О 1) 0 Т(у; У) 2). Пересечение криволинейных трапеций Т(1; ьь1) и Т(у; 1зз) есть отрезок, параллельный оси Оу. Площадь криволинейной трвлеции Т(у; 1~ о), очевидно, равна с у м м е площадей криволинейных трапеций Т(У; 1з1) и Т(у; 1з2), то есть ЯУ(ао) = ЯУ(Ж1) + БУ(~2), и тем самым справедливость утверждения 1 установлена. Предположим, что для всех х Е 12 = [х1, хз] выполняются неравенства О < Н1 < у(х) < Н2 < оо. Пусть Р1 есть множество всех точек (х, у) таких, что х Е 1з и О < у < Н1, а Р2 — множество всех точек (х, у) на плоскости, для которых х Е,в1 и О < у < Н2.
Очевидно, что Р1 и Р2 суть прямоугольники, основанием каждого из которых является отрезок 1з, причем высота прямоугольника Р1 равна Н1, а высота прямоугольника Р2 равна Н2. Имеем: Р1 С Т(у; Ь) С Р2, Гл. 5. Интегральное исчисление функций одной переменной откуда следует, что площ. Рг < площ. ТЦ;Ь) < площ. Рю Площадь прямоугольника Р1 равна Н1]Ь], площадь прямоугольника Рз равна Нз]Ь], откуда получаем неравенства: Н ]Ь] < Я~(Ь) < Н ]Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
