1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Свойство метрики, выражаемое равенством (1.2), называется ее симметричностью. Неравенство (1.3) далее будем именовать неравенством треугольника. А к с и о м а М4 называется аксиомой отделимости метрики. Рассмот им некото ые и и м е ы. Пример 1. Пусть М вЂ” множество й всех конечных вещественных чисел. Для произвольных я, у Е К положим р(я, у) = ~я — у]. Данная функция р, очевидно, удовлетворяет каждому из условий М1 — М4 и, следовательно, является метрикой на множестве К. Будем называть ее естественной метрикой множества Й.
Пример 2. Пусть М вЂ” обычная плоскость Е~ элементарной геометрии. Для произвольных точек Х Е Е~, У Е Ез положим р(Х,У) = О, если Х = У, и пусть р(Х, У) есть длина отрезка, соединяющего данные точки Х и У в случае Х ф У. Выполнение а к с но м М1, М2 и М4 в данном случае очевидно. В случае, если точки Х, У и Я не лежат на одной прямой, неравенство (1.3) в е р н о, в силу того известного факта, что длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.
Если же точки Х, 1' и Я лежат на одной прямой, то в случае, когда У принадлежит отрезку [Х2], имеем: р(Х, 2) = р(Х, У) + р(У, 2). Если У лежит вне этого отрезка, то отрезок [Х2] содержится в одном из отрезков [ХУ], [У2], откуда видно, что в этом случае р(Х, 2) < < (Х, ')+ Таким образом, аксиома МЗ в данном случае также выполняется. Данная метрика р называется естественной метрикой плоско- стиЕ .
1.1.2. Отметим некото ые и остые свойства мет ики непос ст- е из оп еления. венно сл Зададим произвольно метрическое пространство (М, р). 1. Для любых двух точек я,у метрического пространства (М, р) выполняется неравенство р(т, у) > О. 166 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Действительно, пусть х и у суть произвольные точки множества М. Полагая в (1.3) е = х, получим: О = р(х,х) < р(х,у) + р(у,х). В силу свойства симметричности метрики (аксиома М2) р(х,у) = р(у,х). Следовательно, имеем: О < 2р(х, у). Отсюда р(х, у) > О, что и требовалось доказать.
П. Для всякого конечного набора точек хо, хг,..., х„, и > 2, метрического пространства (М, р) имеет место неравенство: Р(хо,хо) < ~,Р(хь-ыхь). я=1 (1.4) Р(хо,хо+г) < Р(хо,хо)+ Р(х,х +1) В силу индукционного допущения, р(хо, х ) < ~~ р(хь ы хь). в=а Отсюда р(хо,х„+1) < ,'~ р(хя-ыхя)+р(хо,х +1) = ~~ р(хь 1,хь), что и требовалось доказать. П1. Пусть даны две произвольные пары х1, уг и хз, уз точек пространства (М, р). Тогда имеет место неравенство: ~р(хг~у1) р(хз~ уз)~ < Р(х1, х2) + р(у1>уз). (1.б) 3 а м е ч а н и е. В случае, когда метрическое пространство (М, р) есть обычная плоскость, неравенство (1.4) выражает собой тот известный факт, что длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не превосходит длину ломаной.
В соответствии с зтим, и в общем случае соотношение (1.4) мы будем называть неравенством ломаной. Неравенство (1.4) докажем индукцией по н. В случае и = 2 неравенство верно в силу аксиомы МЗ. Предположим, что для некоторого н > 2 справедливость неравенства (1.4) установлена, и пусть дана конечная последовательность из и + 1 точек хо, х1,..., х„, х„+ы Имеем: 167 З 1. Общие свойства метрических пространств 3 а м е ч а н и е.
Неравенство (1.5) в дальнейшем, учитывая очевидную геометрическую аналогию, будем именовать неравенством четырехуеоаьнииа. Воспользуемся результатом предложения 11. Применяя неравенство (1.4) к конечной последовательности точек х1, хг, уг, у1, получим: Р( 1,У1) <Р(х1 х )+Р( г,уг)+р(У»У1). Применяя (1.4) к последовательности хг, х1, У1, уг, получим: Р(хг, У2) ( Р(хг, х1) + Р(х1, У1) + Р(У1, У2). Так как р(хг, х1) = р(х1, хг), р(уг, У1) = р(У1, уг), отсюда вытекает, что Р(х1 х2) Р(У1 уг) ~ Р(х1 У1) Р(х2 У2) ~ Р(х1 хг) + Р(У1 У2) и неравенство (1.5) тем самым доказано.
1й. Для любых трех точек х, у, г пространства (М, р) имеет место неравенство: !Р(х> у) р(х, г)! ( Р(у> 2). (1.6) Неравенство (1.6) есть частный случай (1.5), получаемый, если в неравенстве (1.5) положить х1 = хг = х, у1 = у, уг = 2. Тогда р(х1,хг) = О и (1.5), очевидно, обращается в (1.6), что и требовалось доказать. Пусть даны метрические пространства (М1, р1) и (Мг, рг). Отображение 1: М1 — Мг называется изогьетрией пространств (М1, р1) и (Мг, рг), если 1 есть отображение М1 на Мг, и для любых х1 Е М1 и хг Е Мг имеет место равенство: Р2(1 (х1)>,1 (хг)) = Р1(х1, х2).
Если )': М1 — > Мг — изометрия метрических пространств (М1, р1) и (Мг, рг), то 1 есть взаимно однозначное отображение. действительно, пусть точки х1, хг Е М1 таковы, что х1 ~ хг. Тогда, в силу а к с и о м ы М4, р1(хг,хг) > О, и, значит, рг(1'(х1), 1(хг)) = р1(х1, хг) > О. Отсюда следует, что 1 (х1) Ф У(хг). Мы получаем, таким образом, что если х1 ~ хг, то ) (х1) ~,1 (хг), то есть отображение у" — взаимно однозначно. Если 1 есть изометрив пространств (М1, р1) и (Мг, рг), то обратное отображение У 1 также является изометрией этих пространств. 168 Гл. 6.
Непрерывные отображения метрических пространств Действительно, возьмем произвольно точки у1, уг Е Мг. Так как У есть отображение М1 на Мг, то найдутся точки х1, хг Е М1 такие, что Дх1) = у1 и ~(хг) = уг. Имеем: х1 = з 1(у1), хг = У 1(уг) и р1(х1) хг) = рг®х1)),~(хг)) рг(у1) уг)) то есть р1(~ '(у1),~ '(уг)) = рг(у1,уг) Это, по определению, и означает, что у 1 есть изометрия пространств (Мг,рг) и (Мыр1). Метрические пространства (М1, р1) и (Мг, рг) называются изометричными, если существует изометрия этих пространств.
Изометричные метрические пространства н е о т л и ч и м ы по тем свойствам, которые определяются метрикой. Определение изометрии не исключает случай, когда М1 = Мг = М и р1 = рг = р, то есть данные пространства с о в и а д а ю т. В этом случае изометрия пространств (М1, р1 ) и (Мг, рг) называется также изометрическим преобразованием или движением пространства (М,р). 1.2. ПРОизведение метРических пРОстРАнстВ Известны разные способы построения новых метрических пространств из уже имеющихся.
Ниже описывается один из них. Пусть даны метрические пространства (М1, р1), (Мг, рг),..., (М, р ). Пусть М есть прямое произведение множеств М1,Мг,...,М„, М = М1 х Мг х х М„. Это означает, что М есть совокупность всех конечных последовательностей х = (х1, хг,..., х„) таких, что хь б Мь при каждом к = 1,2,...,и. Для х = (х1,хг,...,х„) к М точка хь Е Мь, к = 1,2,...,п, называется й-й компонентой точки х. Пусть х = (х1, хг,..., х„) и у = (у1, уг,..., у„) — два произвольных элемента множества М. Определим для них число р(х, у), полагая р(х, у) = ~~ [рь(хь, уь)!г в=1 П о к а же м, что введенная таким образом функция р: М х М -+ И является метрикой на множестве М = М1 х Мг х х М . 169 З 1. Общие свойства метрических пространств Пусть даны произвольные элементы х = (хг,хг,...,х„) и у = = (У1,Уг,...,У„) множества М.
Если х = У, то есть хй = Уй пРи каждом й = 1,2,...,и, то рй(хй,уй) = О для любого й = 1,2,...,и, и, значит, р(х, у) = О, так что а к с и о м а М1 для функпии р выполняется. Пусть даны точки х е М и у е М, х = (х1,хг, ° °,х >)> у = = (У1,У2,...,У„). ПРи кажлом й=1,2,...,и имеем Рй(хй, Уй)=Рй(Уй,хй), откуда, очевидно, следует, что р(х,у) = р(у,х), то есть а к с и о м а М2 также верна для функции р. Пусть х = (х1,хг,...,х„) и у = (у1,уг,...,у„) — произвольные точки множества М.
При каждом й = 1,2,..., и величина (рй(хй, уй)12 неотрицательна. Если сумма конечного числа неотрицательных слагаемых равна нулю, то и каждое из этих слагаемых в отдельности равно нулю. Отсюда следует, что если р(х, у) = О, то рй(хй, уй) = О, и, следовательно, хй = уй при любом й = 1, 2,..., и, то есть точки х Е М и у Е М с о в и а д а ю т.
Мы получаем, таким образом, что если р(х, у) = О, то элементы х и у множества М совпадают, то есть а к с и о м а М4 выполняется для функции р. Осталось показать, что для функции р выполняется неравенство треугольника. Пусть х = (х1, х2,..., х»), у = (у1> у2>..., у») и г = (21, 22,..., 2») — три произвольные точки множества М. Требуется доказать, что имеет место неравенство: р(х,г) < р(х,у) + р(у,г). Положим: рй(хй, уй) = ий, рй(уй, гй) = ей, рй(хй, гй) = гой. Имеем: п(й < ий + ий, откуда н(й < (ий + пй) при всяком й = 1, 2,..., и. Суммируя полученные неравенства по й, приходим к неравенству (р(х, ))' = ~й, й < ~) (и + е )'. й=1 й=1 Применим частный случай неравенства Минковского (см. главу 4, теорему 8.7), соответствующий значению р = 2.
Получим: » Цг е 1!г е Цг [2.'(м.> ('~ < [1: 1] + [1:л) =>(*,>(+>(>, ( й=1 й=1 й=1 170 Гп. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Отсюда что и требовалось доказать. Метрическое пространство (М,р), построенное по пространствам (Мь, рь), и = 1, 2,..., и, способом, описанным вьппе, называется их декартовым произве0ением и обозначается либо выражением (М, р) = (Мы рг) х (Мз, рз) х ° х (М, р ), либо выражением: (М р) = Х(Мь,рь). к=г 1.3. ШАРЫ И СФЕРЫ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ Зададим произвольно метрическое пространство (М, р). Все дальнейшие рассуждения настоящего раздела относятся именно к этому пространству.
Пусть а есть точка пространства М, г > 0 — вещественное число. Множество точек пространства М, расстояние которых до точки а меньше г, называется открытым шаром с центром а и радиусом г и обозначается символом В(а, т). Совокупность всех точек х пространства (М, р), для которых р(х, а) в точности равно г, называется сферой с центром а и радиусом г и обозначается символом Я(а, г). Наконец, множество всех точек х данного пространства (М, р), для которых выполняется неравенство р(х, а) < г, обозначается символом В(а,г) и называется замкнутым шаром с центром а и радиусом г. Из определения, очевидно, следует, что замкнутпый шар В(а, г) получается из открытоео шара В(а, г) и р и с о е д и н е н и е м к нему всех точек сферы Я(а, г). Таким образом, имеет место равенство: В(а, г) = В(а, г) О Я(а, г).
В дальнейшем, употребляя слово «шар», мы всегда будем иметь в виду открытый шар, опуская прилагательное «открытый» каждый раз, когда это не может привести к недоразумению. Часто встречается ситуация, когда рассматриваемое метрическое пространство (М, р) является подмножеством некоторого другого метрического пространства. В этом случае открытый шар, замкнутый 171 З 1. Общие свойства метрических пространств шар и сферу в пространстве М будем обозначать, соответственно, символами: Вм(а, т), Вм(а, т), Ям(а, т). Если данное метрическое пространство М есть множество всех вещественных чисел К с его естественной метрикой, то есть М = К, а р(х, у) = [х — у» — для любых х, у Е К, то, как нетрудно видеть, отпкрытыб гаер В(а, т), в этом случае, есть просто и н т е р в а л (а — т, а+ т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
