1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Сумму векторов хз, хз,..., х будем обозначать с помощью одного из следующих выражений: т хе+хя+ +х = ~~х,. Числовое поле К само является векторным пространством с полем скаляров К. Множество, состоящее из единственного элемента 9, становится векторным пространством, если положить в+ 9 = в и Л в = в для любого Л Е К. Единственный элемент й этого пространства является его нулевым элементом. Пространство, определенное в этом примере, мы будем называть одноточечным.
А к с и о м ы 'Ч.1 — н.8 здесь, очевидным образом, выполняются. Сле ий и и м е — и ест анство Х". Пусть дано числовое поле К. Символ У." означает совокупность всех конечных последовательностей х = (хз,хз,...,х„) длины и, где хз, хз,..., х„суть произвольные элементы поля Ж. Числа хыхз,...,х называются компонентами или коордннатамн элемента х = (хз, хз,..., х„) множества Ж". Оп елим в множестве Ж" опе ию сложения элементов и опе ию множения элемента на и оизвольное число п ина леж ее полю й.. Суммой элементов (хз,хз,...,х„) и (уз,уя,...,у„) множества К называется я = (яз, яз,..., я„) Е К" такое, что при всяком ) = 1, 2,..., н выполняется равенство я = х + у . З 2.
Общие сведения о векторных пространствах 177 Если (хд,хг,...,х„) Е К" и Л Е К, то произведение элемента х и числа Л есть у = (уд,уг,...,у„) Е Ж" такое, что уй = Лх для всякого г' = 1,2,...,и. Предоставляем читателю проверку того, что все восемь аксиом векторного пространства для множества Х" с операциями сложения элементов и умножения на число, введенными, как описано здесь, выполняются. В случае К = К получается так называемое ведцественное векторное пространство Й'", а в случае Х = С вЂ” комплексное векторное пространство С". Элементами пространства К" являются всевозможные конечные последовательности х = (хд, хг,..., х„) из и вещественных чисел, а элементами пространства С" — всевозможные конечные последовательности г = (гд,яг,...,г„), где яд,гг,...,я — комплексные числа.
Пусть Х есть векторное пространство над полем К, хд, хг,..., х — произвольная конечная система векторов этого пространства. Всякий вектор х Е Х, который может быть представлен в виде х = Лдхд + Лгхг + " + Л„,х где Лд, Лг,...,Л вЂ” произвольные элементы множества Ж, называется линейной комбинацией векторов хд,хг,...,х .
Числа Л; при этом называют коэффициентами линейной комбинации. Говорят, что векторы хд, хг,..., х линейно независимы, если всякая их линейная комбинация Лдхд + Лгхг + + Л х, в которой хотя бы одно из чисел Л;, д = 1,2,...,т, отлично от нуля, также отлична от нуля. Иными словами, векторы хд, хг,..., х линейно независимы в том и только в том случае, если равенство Лдхд + Лгхг + + Л х = О имеет место только тогда, когда Лд = Лг = = Л = О.
Будем говорить, что векторы хд,хг,...,х пространства Х линейно зависимы, если существуют числа Лд, Лг,...,Л такие, что хотя бы одно из них не обращается в нуль и выполняется равенство: Лдхд+Лгхг+ +Л х =О. Говорят также, что размерность векторного пространства Х не меньше п, если в нем существует система из и линейно независимых векторов. Векторное пространство Х называется п-мерным, если в е р н о, что его размерность не меньше и, и н е в е р н о, что размерность Х не меньше и + 1. Число п называется размерностью векторного пространства Х.
178 Гп. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Иначе говоря, пространство Х является п-мерным, если в нем существует система из и линейно независимых векторов и невозможно указать систему из и + 1 линейно независимых векторов. Единственный элемент одноточечного пространства является его нулевым вектором. Размерность одноточечного пространства считается равной нулю. Множество Ж есть векторное пространство над полем К. Его размерность равна 1.
Предположим, что Х есть и-мерное векторное пространство над полем К. Всякая система из и линейно независимых векторов пространства Х называется базисом этого пространства. Пусть ам аз,..., а„есть какой-либо базис пространства Х. Тогда всякий вектор х Е Х может быть представлен как линейная комбинация векторов а;, 1= 1,2,...,и. Пусть х = с1а1+сзаз+ "+с.а есть такое представление вектора х.
Здесь коэффициенты С1, Сг,..., С„ определяются по векторам х и ам аз,...,а„единственным образом и называются координатами вектора х относительно донного базиса. Вы елим некото ый спе иальный базис в п ост анстве К". Пусть 1 < 1 < и. Обозначим через е; вектор в пространстве К", у которого 1-я координата равна 1, а остальные координаты равны нулю. Пусть дан вектор х = (хм хз,...,х„). Имеем: х = (хы0,...,0)+ (О,хд,...,О)+ + (0,0,...,х„) = = х1(1, О,..., 0) + хз(0, 1,..., 0) + .
+ х„(0, О,..., 1) = = х1е1 + хзез + + х„е„. Мы видим, что всякий вектор х Е 2Г может быть представлен как линейная комбинация векторов е;, 1 = 1, 2,..., и. Векторы еы ез,..., е„линейно независимы. Действительно, пусть даны числа ЛыЛз,...,Л„. Тогда, как нетрудно видеть, имеет место равенство: Л;е; = (Лы Лз,...,Л ). Отсюда видно, что линейная комбинация векторов емег,...,е„, стоящая в левой части последнего равенства, является нулевым вектором пространства% втомитольковтомслучае,если Л1= Лз= . = Л = О.
179 З 2. Общие сведения о векторных пространствах Линейны независимость векторов е;, г = 1, 2,..., и, таким образом, установлена. Система векторов ет, ез,..., е называется каноническим базисом простиранстава 1ь". Вве ем е е о но обозначение кото ое в оп е еленных сл чвлх позво- ляет о мализовать асс ж ения связанные с использованием кано- нического базиса и ост анства И". Пусты, т' — натуральные числа, лежащие между 1 и п. Полагаем: 1, еслит'=у; 6,1 —— О, если г ф у.
Выражение бтз называется символом Кроненера. Имеет место равенство: е; = (бм, озз,..., овт) Действительно, при й ф г' мы видим, что бы = О, а бп = 1. Таким образом, г'-я компонента вектора (бм, бз;,..., б т) равна 1, а остальные его компоненты равны нулю, то есть этот вектор совпадает с е;, что и требовалось доказать. Пусть дано векторное пространство Х. Множество Ъ' С Х называется подпростпранстпвом Х, если для любых х,у Е Ъ' и любых Л, р Е К вектор Лт+ ру принадлежит Ът. Всякое подпространство Ът векторного пространства Х является векторным пространством относительно операций сложения элементов и умножения на число, заданных в пространстве Х. Действительно, пусть Ъ' есть подпространство векторного пространства Х.
Из определения подпространства следует, что сумма любых двух элементов множества У всегда является элементом Ъ'. Далее, Лж Е Ъ' для всякого я Е Ъ' и любого Л Е 1К. Свойства операций сложения и умножения на число для элементов Ъ', заключенные в аксиомах "Ч'.1 — Ъ~.8, выполняются по той причине, что они выполняются в Х. 2.2. Ов ий прин иц построкиии вккториых пространств Различные векторные пространства в математическом анализе часто возникают как разного рода классы функций, определенных на некотором множестве. 180 Гл.
6. Непрерывные отображения метрических пространств Пусть Š— произвольное множество, Х вЂ” векторное пространство над полем Ж. Обозначим через У(Е,Х) совокупность всех отображений множества Е в векторное пространство Х. В У'(Е, Х) естественным образом определяются операция сложения элементов и операция умножения элемента на число. Пусть даны функции 1: Š— ~ Х и д: Š— Х. Сумма их есть функция Ь: Š— ~ Х, определенная условием: Ь(Ф) = г(Ф) + д(1) для всех ~ Е Е. Произведением функции у: Š— Х на число Л Е К называется функция д: Š— Х, определенная условием: д(Ф) = Лу(й) для всех Ф Е Е. Сумма функций г",д Е У(Е,Х) обозначается символом У + д, произведение функции у Е У(Е, Х) на число Л вЂ” символом Лу.
° Теорема 2.1. Для всякою множества Е и любого векторного пространства Х над полем К множество функций У (Е, Х) является векторным пространством над полем К. Доказательство. Проверим последовательно, что для У'(Е,Х) выполнены все а к с и о м ы векторного пространства. 1. Для любых ~,д Е У(Е,Х) для всякого Ф Е .Е имеем, очевидно: 1($)+д($) = д($)+1(Ф). Это означает, что у+д = д+ у и, следовательно, а к с и о м а з'.1 векторного пространства для У(Е,Х) выполняется. 2. Пусть даны функции У, д, Ь Е У'(Е, Х). Для всякого Ф Е Е выполняется равенство: У(~) + д(~) [+ М) = И) + [д И) + Ф) [ Это означает, что для любых у, д, Ь Е У'(Е,Х) имеет место равенство: (1+ д) + Ь = 1+ (д+ Ь), так что а к с и о м а ~.2 для совокупности функций У(Е, Х) также выполняется. 3.
Пусть д Е У'(Е,Х) есть функция, тождественно равная нулю. Для всякой функции у Е У(Е,Х) имеем: у(Ф) + д(Ф) = у(~) для всех я Е Е, то есть г" + д = ~, и, следовательно, функция д есть нулевой элемента пространства У'(Е, Х). Выполнение аксиомы з'.3 доказано.
Функцию д далее будем обозначать просто нулем. 4. Для всякой функции у Е У(Е, Х) имеем: ~(1) + [ — ~($)] = О для всех 1. Это означает, что У+( — У) = О, так что а к с и о м а '\7.4 для У(Е, Х) выполняется. 5. Зададим произвольно Л Е К и функции у: Š— + Х и д: Š— Х.
Для всякого Ф Е Е имеем: Л[~(1) + д(Ф)) = Лг"(8) + Лд(Ф). Тем самым мы получаем, что для любых у, д Е У'(Е, Х), каково бы ни было Л Е К., имеет место равенство: Л(У + д) = Л~ + Лд, то есть а к с и о м а ~7.5 выполняется для У'(Е, Х). З 2. Общие сведения о векторных пространствах 6.
Зададим произвольно Л Е К и р Е К и функцию у: Š— Х. Для всех 1 Е Е имеем: (Л + рЩ1) = Лг($) + р7'(1). Мы получаем, следовательно, что для любых Л,п Е К и 7' Е У'(Е,Х) имеет место равенство (Л+ р)7" = ЛУ+ рУ. Этим доказано, что а к с и о м а в'.б для У (Е, Х) выполняется. 7. Зададим произвольно Л б К и р Е К и функцию у: Е -+ Х.
Для всех 1 Е Е имеем: Л[иУ(1)] = (ЛиЩ1). Мы получаем, следовательно, что для любых Л, р Е К и у б У (Е, Х) имеет место равенство Л(ру) = (Лр))'. Этим доказано, что а к с и о м а 'Ч.7 для У(Е,Х) выполняется. 8. Для всякой функции у: Š— Х имеем 1 7"(1) = 7'($) для любого Ф Е Е. Это означает, что 1. г = У для всякой функции У: Е -+ Х, то есть а к с и о м а в.8 для пространства У'(Е,Х) выполняется. Таким образом, мы показали, что все восемь а к с и о м векторного пространства для множества функций У(Е, Х) выполняются, и тем самым нами установлено, что У (Е, Х) есть векторное пространство над полем К. Теорема доказана. ° и Следствие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
