1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

З 3. Нормированные векторные пространства 199 Предположим, что и-мерный прямоугольник А является произведением отрезков Аы Аз,..., А„. Если каждый из отрезков А; является о т к р ы т ы м, то А называется п-мерным интпервалом. Если отрезки А; все з а м к н у т ы е, то будем говорить, что А есть п-мерный сегмент. Пусть даны точка а = (аг,аз,...,а ) пространства К" и число т > О. Полагаем: фа,т) = (аг — т,а~+г) х (аз — г,аг+т) х ° х (а„— г,а„+т), Я(а,т) = [а~ — т, а~ + т~[ х [аг — т, аз + т[ х х [а„— т, а„+ г[. Я(а, т) С фа, г). Если т~ и тз таковы, что О < т~ < гз, то фа, гг) С Я(а, тз).

(3.12) (3.13) В дальнейшем каждое из множеств Я(а,г) и фа,т) будем называть кубом с центром а и длиной ребра 2т, причем куб Я(а,г) далее именуется открытым, куб фа, т) — замкнутым. Пространство К~ будем отождествлять с обычной евклидовой плоскосгпью, на которой задана некоторая декартова ортоеональнан система координат. Множество Я(а, т) в пространстве К~ представляет собой обычный квадрат на плоскости, центр которого есть точка а = (аг,аз), стороны параллельны координатным осям, причем длина каждой стороны равна 2г. Т о ч н о т а к ж е, в случае и = 3 пространство Кз может быть отождествлено с обычным трехмерным евклидовым просгаранством с фиксированной декартовой ортогональной системой координат. Куб фа, г) в этой системе координат изображается обычным кубом с центром в точке, имеющей координаты (аг,аз,аз), и ребрами, параллельными осям координат, причем длина каждого ребра равна 2т.

Пусть даны точка а = (аы аз,..., а„) Е К" и число т > О. Очевидно, фа, т) представляет собой множество пространства К", состоящее из всех точек х = (хг, хз,..., х„), для которых выполняется неравенство: [х — а~т < т. Аналогичным образом фа, г) есть совокупность всех точек х = = (хы хз,..., х„) пространства К", для которых [х — а[т < т.

Очевидно, всегда имеет место включение: 200 Гл. б. Непрерывные отображения метрических пространств Действительно, пусть а = (аз, аз,...,а ) и О < т1 < тз. Возьмем произвольно точку х Е Ц(а, т1). Пусть О < т1 < тз. Тогда ~х — а~т < т1. Если )х — а'1т < т1, то )х — а~т < тз. Следовательно, если х Е Я(а,т1), то х Е Я(а, тз), и тем самым соотношение (3.13) д о к а з а н о.

Пусть а — произвольная точка пространства К" и т > Π— вещественное число. Тогда определены множества В(а,т) и В(а,т)— открытый и замкнутый ш а р ы с центром в точке а и радиусом т. Напомним, что согласно определению, данному выше, В(а, т) есть множество всех точек х Н К" таких, что ~х — а~ < т, а В(а,т) есть совокупность всех точек х Е и'", для которых выполняется неравенство: ~х — а! < т. ° Лемма 3.2. Для всякой точки а Е К" для любого т > О имеют место включения: В(а,т) С Я(а,т) С В(а,т~/и), В(а,т) С Я(а,т) С В(а,т~/и). Доказательство.

Пусть х Е В(а,т). Имеем: !х — а~т < (х — а( < т и, следовательно, х Е Я(а,т). Включение В(а,т) С Я(а,т) тем самым доказано. Пусть х Е фа,т). Тогда ~х — а~т < т. Тах ках (х — а) < с/п~х — а~т, то ~х — а! < т /и. Значит, х е В(а, т~/й) и первые два включения леммы д он а з а н ы. Доказательство утверждений леммы, относящихся н случаю, когда рассматриваются замкнутые шары и кубы, проводится аналогично, и мы предоставляем читателю рассмотрение всех связанных с этим деталей. Лемма доказана.

° 3.4. НогмА линвйного отовгАжвния 3.4.1. Зададим произвольно нормированные векторные пространства Х и У. Пусть № есть норма в пространстве Х, № — норма в Ъ'. Для 201 З 3. Нормированные векторные пространства упрощения записи, для произвольного вехтора х б Х величину №(х) в дальнейшем будем обозначать символом !х!х или, когда недоразумение невозможно, просто символом !х!.

Аналогично, норму произвольного вектора у Е У будем обозначать символом !у!х или просто !у!. Пусть дано линейное отображение: <р: Х вЂ” У. Точная верхняя граница величины !у(х)!х на совокупности всех х Е Х таких, что !х!х < 1, обозначается символом !!ф! и называется нормой линейного отображения ~р относительно норм № и № в пространствах Х и У. В соответствии с этим определением, имеем: !!~р!! = зпр !у(х) !ю хех,/в/х<1 Нормы в пространствах Х и У могут задаваться р а з н ы м и способами, и значение нормы линейного отображения зависит от выбора норм в Х и У.

В общем случае — для произвольного отображения у б а.(Х,У) величина !Щ может оказаться равной оо. Отображение р Е а,(Х, У) называется ограниченным, если его норма конечна. Совокупность всех ограниченных линейных отображений пространства Х в пространство У обозначается символом: В.С(Х, У). Отметим некото ые с в о й с т в а но мы линейного отоб ажения непос е ственно вытекаю е из ее оп е еленик. 1. Если ~р Е Ва.(Х,У), то для всякого ненулевого вектора х Е Х выполняется неравенство: М(Х)!х< !!Ф!! ! .

Пействительно,пустыр: Х вЂ” У есть линейное отображение,х ф 0 есть вектор в пространстве Х. 1 Положим: с = — х. Очевидно, ф = 1 и, значит, согласно опреде!х! лению величины !!<р!!, имеет место неравенство: М(С)! < М! Имеем: х = !х!С и, стало быть, у(х) = /х/у((). Отсюда получаем: !~р(х)! = !х!!~р(()! < !х!!!~р!!, что и требовалось доказать.

202 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств 2. Для любых двух линейных отображений у1 и ~ря пространства Х в пространство У имеет место неравенство: ]М + р211 <!М 11+ ]М 11. Действительно, положим: 1о = 121 + 1оя. Для всякого вектора х Е Х такого, что !х! < 1, имеем: 19>(х)[у = 1971(х) + 972(х)!у < !971(х)!у+ [Ф2(х)!у < !!щ1!1+ !!Ф211 ° Отсюда следует, что М] = зир 1р(х)!у < ]М111+ !аз!1, ех 1*!х<1 что и требовалось дохазать.

3. Если ~р: Х -+ У есть ограниченное линейное отображение, то для любого числа а Е К отображение ау является ограниченным. При этом выполняется неравенство: 1]ар[1 < 1а]1]ч 11. (3.14) Величина 1]ау!! неотрицательна для любого а Е 3К. Возьмем произвольно вектор х Е Х такой, что !х!х < 1. Имеем: !ау(х)!у = !а!]~п(х)]у < !а!!!ф]. Отсюда, в силу произвольности вектора х Е Х такого, что !Х] < 1, вытекает, что величина !!ау1!1 — конечна.

при этом 1]ар]1 < [а!М] 1!ф о у]1 < !Щ 1!ф!. Зададим произвольно вектор х Е Х такой, что !х! < 1. В силу утверждения 1, имеем: !ф[у(х)]! < 1]ф]!!у(х)! < !Щ !!ф]. что и требовалось доказать. 4. Пусть даны векторные пространства Х, У и Т над числовым полем Ж и пусть у: Х вЂ” У, 4: У -+ Т суть огрввиченные линейные отображения.

Тогда имеет место неравенство: 203 З 3. Нормированные векторные пространства В силу произвольности вектора х, удовлетворяющего условию ~х~ < 1, отсюда следует, что ))фо~р)( = впр )ф(р(х))) < )Щ()ф(, хехбе!<1 что и требовалось доказать. 5. Множество ВЕ(Х, У) всех ограниченных линейных отображений нормированного векторного пространства Х в нормированное векторное пространство г' является векторным пространством и ()ф) есть норма в этом пространстве.

действительно, пусть егы рг Е ВЕ(Х, У). Тогда для любых а, В Е К линейные отображения ау1 и Дуг в силу предложения 3 являются ограниченными. В силу предложения 2, отсюда вытекает ограниченность отображения а~р1 + Дгг. Таким образом, линейная комбинапия любых двух элементов множества ВЕ(Х, Ъ') принадлежит ВЕ(Х, У). Следствие теоремы 2.1 позволяет теперь заключить, что ВЕ(Х,У) есть векторное пространство. Из предложения 2 следует, что для нормы линейного отображения выполняется аксиома 1н 1.

В силу леммы 3.1, из предложения 3 вытекает, что для функции у Е Вь".(ХУ) ~ ~(у(! условие М2 выполняется. Предположим, что у Е ВЕ(Х, Ъ') таково, что Ы = О. Тогда, в силу утверждения 1, )у(х) ( < 0 для всякого ненулевого вектора х Е Х. Так как норма вектора в пространстве У вЂ” неотрицательна, то /~р(х)! = 0 для всякого х ф О. Зля х = 0 это условие, очевидно, также выполняется. Отсюда вытекает, что ~р(х) = О для всех х Е Х. Таким образом, мы получаем, что если норма линейного отображения ~в равна нулю, то данное отображение тождественно равно нулю, то есть ~р есть нулевой элемент векторного пространства Вь",(Х, "я'). Итак, нами установлено, что условие МЗ здесь также выполнено.

Утверждение 5 доказано. 3.4.2. Тепе ь об атимся к сл чаю кото ый ля нас б ет основным. Именно, рассмотрим случай, когда числовое поле К есть множество всех вещественных чисел И, а Х = К", У = К Пусть у: Ж" -+ К вЂ” произвольное линейное отображение. Его норму, определенную относительно евклидовых норм в К" и К, будем обозначать символом )~ ф!.

204 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств а Предложение 3.1. Для всякого линейного отображения х пространства й" в пространство Ж™ его норма Ы конечна. Доказательство. Действительно, пусть а1, а г,..., а — коэффициенты линейного отображения у. Это означает, что для всякого вектора х = (х1, хг,..., х„) будем иметь: (~р(х)( = ~~) х,а* < ~ (х;()а,). Отсюда, применяя к сумме с и р а в а нераеенсглео Коши Буняковского (неравенство (ЗАО)), получим: ~~> ~а,~г а=1 |~р(х) ) < ~~~ хг з=1 Мы видим, что Ы< п ~(а;)г < со 1=1 64. Понятия предела и непрерывности для отображений метрических пространств В этом параграфе определюотся понятия предела и непрерывного отображения для случая, когда речь идет об отображениях произвольных метрических пространств.

Предварительно будет описана некоторая общая кондепция предела. Существуют различные «общие концепции пределам Концепция, излагаемая здесь, не является самой общей из числа известных. Она приспособлена специ льно к случаю, когда речь идет об отображениях Предложение доказано. а Если А есть произвольная т х п-матрица, то н о р м а определяемого ею линейного отображения х Е Ж" ~-+ Ах Е И называется операторной нормой матрицы А.

В качестве упражнения читателю предлагается указать явное выражение операторной нормы матрицы через известные из курса алгебры величины, относящиеся к матрицам. 205 З 4. Понятия предела и непрерывности для отображений метрических пространств. Достоинством излагаемой концепции предела, по нашему мнению, является ее относительная простота. В то же время она вполне достаточна для решения рассматриваемых задач. Вводится понятие предела относительно опеночной функции. Устанавливаются простейшие свойства предела. Основным результатом является теорема, позволяющая устанавливать свойства предела, используя понятие предела последовательности (рассмотренное в главе 2).

Доказываются аналоги теорем о предельном переходе в неравенстве, о зажатой переменной, об операциях над пределами. Определяются понятие непрерывности и понятие предела для отображений метрических пространств. Основными результатами являются теоремы о пределе суперпозиции. Формулировки этих теорем аналогичны формулировкам теорем о пределе суперпозиции, установленным в главе 2. Другой вопрос, который рассматривается здесь, — понятие полного метрическою пространства. Точное определение читатель найдет далее. Неформально же можно сказать, что полное метрическое пространство есть такое, в котором верен критерий Коши — Больцано существования предела последовательности. В заключение специ льно рассматривается случай пространства К .

Характеристики

Список файлов книги