1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Л(о) а о оо Л(х) а н оо При каждом и Е И имеем, согласно условию теоремы, 1(х„) < д(х„). Отсюда, согласно теореме о предельном переходе в неравенстве (глава 2, теорема 1.3), вытекает, что К < Ь, что и требовалось доказать. ° Следствие. функция ~: М вЂ” )й может иметь не более одного предела относительно оценочной функции. Показательство аналогично случаю, рассмотренному в главе 2. ° Лемма 4.2. Пусть Ь Е Й есть предел функции ~: М вЂ” + )й при Л(х) — О, причем Ь > — со.
Тогда для всякого К < Ь множество тех х Е М, для которых 1(х) > К, является базисным относительно оценочной функции Л. Точно так же, если Ь < оо, то для всякого К > Ь множество тех х Е М, для которых Дх) < К, является базисным относительно оценочной функции Л. Дохазательство. Рассмотрим утверждение, относящееся к случаю, когда Ь > — оо. Пусть К < Ь и пусть У есть множество тех х Е М, для которых 1(х) > К.
В случае Ь = оо, согласно определению предела, равного оо, найдется б > О такое, что если Л(х) < б, то 1'(х) > Х. Это означает, что еслиЛ(х) <б,тех ЕУ,итемсамым доказано, чтоУесть базисное множество. Пусть — со < Ь < оо и Х < Ь. Полагаем е = 10 в случае, если К = — оо.
Пусть в = Х вЂ” К, если К вЂ” конечно. Согласно определению предела, найдется б > 0 такое, что если Л(х) < б, то )Х(х) — Ц < в. 215 З 4. Понятия предела и непрерывности для отображений Если х Е М таково, что Л(х) < б, то 1(х) > Х вЂ” е > К, и, значит, х е П. Тем самым д о к аз а но, чтомножество П является базисным. Итак, нами установлена справедливость утверждения леммы, относящегося к случаю, когда Ь > К > — оо. Утверждение леммы относительно случая Ь < К < оо доказывается аналогично. Лемма доказана. ° 4.2.2.
Следующая теорема является а н ал о г о м теоремы о зажатой переменной, доказанной в главе 2 (теорема 1.5). ° Теорема 4.3 (общая теорема о зажатой переменной). Пусть дана функция 1: М вЂ” )к. Предположим, что существуют множество В С М, базисное относительно оценочной функции Л, и функции и:  — )й и е:  — ~ )й такие, что при каждом х Е В функция ) (х) лежит между и(х) и е(х). Предположим, что К Е Й является пределом каждой из функций ииеприЛ(х)- О К = Бш и(х) = 1пп е(х). Л(х)-~о,хЕЯ Л(х) О,хаа Тогда справедливо соотношение: К = 11ш Дх). Л(х)-+О Если существуют базисное множество В С М и функдия и:  — Ж такие, что для всех х Е В имеет место неравенство и(х) < 1 (х) и 1пп и(х) = оо, Л(х) О,хаа то также и 1пп у(х) = оо.
Л(х) О,хам Если существуют базисное множество В С М и функция и:  — ~ )й такие, что для всех х Е В имеет место неравенство и(х) > Дх) и 11ш и(х) = — оо, Л(х) О,хан то также и 1пп у" (х) = — оо. Л(х)-+О,хам 216 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Доказательство. Пусть (х„)„ен„— произвольны последовательность точек множества М такая, что О = 1пп Л(х ). Согласно определению базисного множества (см. выше), найдется б > О такое, что всякы точка х Е М, для которой Л(х) < б, принадлежит В.
Так как О = 1пп Л(х„), то найдется номер т Е 1Чь такой, что Л(х ) < б при каждом и > т и, значит, х Е В при каждом и > т. Последовательность (Л(х„)) ен имеет предел, равный нулю. В силу теоремы 4.1, и(х ) — К и и(х ) -+ К при и — + оо. При каждом и > т величина ((х ) содержится между и(х„) и и(х ). На основании теоремы о зажатой переменной, приведенной в главе 2, отсюда вытекает, что последовательность Щх„))„ен имеет предел, равный К. Следовательно, также и последовательность Щх„)) „ен„ имеет предел, равный К.
Так как последовательность (х„)„ен элементов множества М такая, что Л(х„) — ~ О, была выбрана произвольно, то, в силу теоремы 4.1, отсюда вытекает, что К = 1пп у(х). л(*) о,кем Теперь д о к а ж е м утверждения теоремы, относящиеся к случаю предела, равного жоо. Предположим, что для функции 1: М вЂ” )й существуют множество В С М, базисное относительно оценочной функции Л, и функция и:  — )к такие, что 1пп и(х) = оо л(а) о,хел и и(х) < ~(х) для всех х Е В. Зададим произвольно последовательность (х„) ен„точек множества М такую, что Л(х„) — О при и — оо.
Пусть б > О таково, что (Л(х) < б) =ь х Е В. Тогда найдется номер т Е 1чь такой, что Л(х ) < б при каждом и > т. При всяком и > т имеем х„Е В и, значит, 1(х„) > и(х„) для любых таких и > т. Так как 1пп и(х ) = оо, 217 З 4. Понятия предела и непрерывности для отображений то из доказанного вытекает, что 1пп У(х ) = со. В силу теоремы 4.1, из доказанного следует, что 1цп у(х) = оо. Л(х) О Аналогично рассматривается случай, когда для всех х Е В выполнены у(х) < и(х) и 1пп и(х) = -оо.
Л(х) О,хЕР Теорема доказана. ° Пусть даны функции У: М вЂ” + К и а: С вЂ” + 2, где С есть множество, базисное относительно оценочной функции Л. Будем говорить, что у(х) = о[а(х)] при Л(х) — О, если для всякого е > О можно указать 6 > О такое, что для любого х Е М, для которого Л(х) < 6, выполняется неравенство: [Дх) [ < с[а(х) [.
В частности, выражение у(х) = о(1) означает, что у(х) ~ О при Л(х) -~ О. Следствие 1. Предположим, что для функции У: М -~ К существуют множество С, базисное относительно оценочной функции Л: М вЂ” )й, и функция а: С -+ )й такие, что для всех х Е С выполняются неравенства: О < )".(х) < а(х). Если а(х) = о(1) прн Л(х) — ~ О, то также и 1(х) = о(1) при Л(х) -+ О.
Пенное утверждение вытекает из теоремы 4.3, если положить в ней и(х): — О и о(х) = а(х). %' Следствие 2 (свойство локальности предела). Пусть дана функция у: М вЂ” )к. Предположим, что существуют множество В С М., базисное относительно оценочной функции Л: М вЂ” К, и функция д:  — + )й такая, что У(х) = д(х) для всех х Е В. Если существует предел Х, = 1пц д(х), то Ь = йпз,)(х). Л1х) О,хеа Л(х)-~о,хЕМ Пля доказательства следует воспользоваться результатом теоремы 4.3, полагая в ней и = д, о = д. 218 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств 3 а м е ч а н и е. Если функция Х: М ь )й имеет предел при Л(х) — О по некоторому множеству Е, протаяженному относительно оценочной функции Л: М -+ К, то из этого, вообще говоря, н е л ь з я заключить, что существует предел Х = 1пп Х(х).
Л(я) О,хо м 4.2.3. окажем о б ю т е о е м об алгеб аических опе а иях ь юыякюк и 'Хеорема 4А (теорема об алгебраических операциях над пределами). Пусть даны функции Д: М вЂ” К, 4 = 1, 2,..., тп. Предположим, что при каждом 4 = 1, 2,..., тп существует конечный предел 1ьш Д(х) = Хь. Л(я) О Тогда сумма и произведение данных функций имеют конечные пределы при Л(х) — + О. При этом 1пп [Хь(х)+Хг(х)+ .+,ь (х)] =Ьь+Хг+ . +Х,„, л(*)-О 1пп [Уь(х)Уг(х)...У (х)] = Х,ЛХ,г ° ° Х, Л(я) О Если функция Х: М вЂ” )й имеет предел Х = 1пп Х(х) ~ О и В есть мнол(*) О 1 .
1 жество всех тех х Е М, для которых Х(х) ф О, то — = 11ш Х Л(я) О,ясн,т (Х) доказательство. Х(ля сокращения записи введем обозначения: ~=А+А+ "+У, Р=Ы "1 А = Хь +ХО+ . +Х,„, В = ХЛХг...Х Пусть (х„)„ен, есть произвольная последовательность элементов множества М такая, что Л(х„) — О при и ь со. Тогда, согласно теореме 4.1, при каждом ь' = 1, 2,..., тп справедливо соотношение: 1нп Ях„) = Хь. В силу доказанных ранее в главе 2 тпеорем О пределе суммы и произведения, отсюда следует, что существуют пределы: 1пп Я(х ) и 1пп Р(х„).
З 4. Понятия предела и непрерывности для отображений 219 При этом 1пп Я(х„) = А, )йп Р(х„) = В. П «О и «о Последовательность (х ) ен такая, что Л(х ) -+ 0 при н -+ оо, была выбрана произвольно. Значит, согласно теореме 4.1, из доказанного вытекает, что 1(ш Я(х) = А, Л(«) О 11ш Р(х) = В. Л(х) О 1 Утверждение, касающееся предела дроби —, доказывается ана- У(х) ' логичным образом. Лемма 4.2 позволяет заключить, что множество В = (х т. М ~ /(х) ~ О) является базисным. Для всякой последовательности (х )„еи точек множества В такой, что Л(х„) -+ 0 при и — + оо, имеем: 1(х ) — Ь.
Отсюда следует, что 1//(х„) — + 1/Ь при и — + со. Применяя теорему 4.1 и следствие 2 теоремы 4.3, отсюда получаем, что 1 . 1 . 1 — 1ип — = 11ш Ь Л(«) О,«ЕН ) (Х) Л(«) О,«ЕМ,) (Х) Теорема доказана. ° 4.3. ОПРЕЛЕЛЕНИЕ ПРЕ ЕЛА ЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 1пп р(ср(Ф),р) = О. «(О О Если точка р Е М удовлетворяет этому условию, то будем писать р= 1пп (о(г) «(О О и говорить, что ~р(Ф) стремится к р при и(4), стремящемся к нулю, в обозначениях: ср(Ф) — ~ р при о($) — + О. Если рассматривается оценочная у)уницця и с предельным значением со, то аналогично мы будем говорить, что р Е М есть предел (о(Ф) при о(Ф) оо, если Р1(о(г),Р) = О.
«(Ф) сю Пусть М есть метрическое пространство, р — его метрика. Предположим, что задано множество Т, на котором введена опеночная функция о, имеющая предельное значение О. Будем говорить, что точка р Е М является пределом отображения у: Т -+ М при о (4), стремящемся к О, если 220 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств П о к а ж е м, что если отображение у .
"Т вЂ” М имеет предел при а($) — О,то предел этот е д и н с т в е н н ы й. Действительно, пусть р = 1нп у(з). а(Ф) 0 Предположим, что р Е М также есть предел ср(е) при а(е) -+ О. При каждом $ Е Т имеем: Каждое из слагаемых с п р а в а стремится к нулю при а(8) — О. На основании теоремы о предельном переходе в неравенстве (теорема 4.2), отсюда получаем: Р(рр) <0+0=0 Так как, с другой стороны, р(р, р ) > О, отсюда заключаем, что р(р,р') = о, и, значит, Тем самым единственность предела при а(~) — 0 у с т а н о в л е н а. Аналогично устанавливается единственность предела в случае, когда речь идет о пределе при а(е) -+ оо.
В частном случаеТ=Иотображениеу:Т- Месть просто последовательность точек метрического пространства М. Пе е о м л я об ее оп еленке ля анного частного сл чая получим, что точка а метрического пространства М с метрикой р является пределом последовательности (х ) еи точек пространства М в том и только в том случае, если для всякого е > 0 можно указать номер й такой, что для всякого и > й выполняется неравенство: р(х„, а) < е.
Пусть дано метрическое пространство М и р — его метрика. Для произвольной точки а Е М положим: р,(х) = р(х,а). Определенная таким образом функпия р, удовлетворяет условию Е) п. 4.1.1. Это следует из того, что р(х, а) > 0 и р(а, а) = 0 для всякого х Е М. Будем называть функцию р оценочной пункцией сходимости к точке а. Пусть даны метрические пространства М с метрикой р и Х с метрикой о. 221 З 4. Понятия предела я непрерывности лля отображений Будем говорить, что отображение 1': М вЂ” + Ф н е п р е р ы в н о в точке а Е М, если ,((а) = 1пп г(х) рмна) О или,что равносильно, если 1пп О [1(х), У(а)] = О. ррьа) О Перефразируя о б щ е е определение предела применительно к данному частному случаю, получим, что отображение (': М вЂ” Х н е и р е р ы в н о в точке а Е М в том и только в том случае, если для всякого е > О можно указать б > О такое, что для любого х Е М, для которого р(х, а) < б, выполняется неравенство: р(у(х),у(а)1 < е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
