1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ф Предложение 5.1. Для всякого множества А С М имеет место равенство: ССА = А. (5.1) Действительно, пусть А' = СА. Так как А' состоит из элементов множества М,не принадлежащих А,то А'ПА=О. (5. 2) Если х Е М, то либо и Е А, либо я ф А и, значит, и Е СА = А'. Отсюда следует, что А' и А = М. (5.3) Из (5.2) следует, что А состоит из точек множества М, не принадлежащих А'. Из (5.3) вытекает, что А содержит все такие элементы множества М. Это означает, что А = СА' = С(СА) и равенство (5.1) доказано. Ф Множество А С М называется замкнутым множеством метрического пространстпва (М,р), если его дополнение СА является открытым множеством пространства (М, р). Из определения, очевидно, следует, что если множество У' С М открытое, то множество А = СУ замкнутое, так как в силу предложения 5.1 СА = С(СУ) = У, то есть множество СА — открытое.
Из определения также следует, что множество М всех точек метрического пространства (М, р) является замкнутым множеством этого пространства, так как множество СМ п у с т о и, значит, является открытым множеством. Пустое множество Я является замкнутым множеством пространства (М, р), поскольку СЯ = М есть открытое множество пространства (М, р). Следующая теорема объясняет связь понятия замкнутого множества с понятием предела последовательности.
° Теорема 5.1 (критерий замкнутости множества в метрическом пространстве). Пусть дано метрическое пространство (М, р). Для того чтобы множество А было замкнутым в этом пространстве, необходимо н достаточно, чтобы оно обладало следующим свойством: для всякой сходящейся последовательности точек пространства (М,р), все члены которой являются элементами множества А, предел этой последовательности также принадлежит множеству А. З 5. Открытые н замкнутые множества в метрических пространствах 239 Замечание. Теорема51дает иной способ определения понятия замкнутого множества в метрическом пространстве. Такое определение, однако, не может быть применено в более общих ситуациях, которые будут описаны в главе 9 второй части. Доказательство теоремы. Не о б х од и м ос т ь.
Предположим, что множество А является замкнутым. Согласно определению, это означает, что У = СА есть открытое множество пространства (М, р). Коли У = И, то А = М. В этом случае предел любой сходящейся в пространстве (М, р) последовательности точек множества А, очевидно, принадлежит множеству А. Будем считать, что У ~ йз. Пусть (х„)„ен — произвольная сходящаяся последовательность точек множества А и а= 1пп х.
н оа Возьмем произвольно точку х Е У. При каждом и Е гз имеем: (р(х„х) — р(а, х) ~ < р(х„, а). При и — оо будет р(х„, а) — ~ О, откуда следует, что р(х,х) — р(а,х) при и — ~ оо. Так как У есть открытое множество, то найдется б > О такое, что В(х,б) С У. Для всех и Е И имеем х, ~ У и, значит, для всех и Е М справедливо х ф В(х, б). Поэтому р(х, х) > б для всех и Е Ы. Отсюда, согласно теореме о предельном переходе в неравенстве (теорема 1.3 главы 2), следует, что р(а, х) > б > О. В частности, это означает, что а ф х. Точка х Е У была взята произвольно и, таким образом, мы видим, что а н е с о в и а д а е т ни с одной точкой множества У.
То есть а ф У и, значит, а Е А. В силу произвольности последовательности (х )„ен, тем самым необходимость условия теоремы д о к а з а н а. Докажем д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть множество А С М таково, что предел всякой сходящейся последовательности (х ) ен, все члены которой являются элементами множества А, также есть элемент множества А. Требуется доказать, что множество А. — замкнутое, то есть его дополнение является открытым множеством. 240 Гл.
б. Непрерывные отображения метрических пространств Пусть У = СА. Требуется доказать, что множество У вЂ” открытое, то есть всякая точка х множества У является его внутренней точкой. Возьмем произвольно точку х Е М. Предположим, что х не являет- Р 11 ся внутренней точкой У. Тогда, каково бы ни было Р Е И, шар В ~х, — ~ Р не содержится в К Значит, для всякого и Е И существует точка х такая, что 1 Р(хк, х) < —, и в то же время х„ф У, то есть х, Е А при каждом и Е И. Таким образом, если х Е М не является внутренней точкой множества У = СА, то существует последовательность (х ) ен точек множества А такая, что при каждом и Е И 1 р(х,х) < —. Имеем: р(х, х) — ~ 0 при и — + оо и, значит, х = 1пп х,.
к оэ Так как, согласно предположению, множество А — таково, что предел любой последовательности точек множества А принадлежит множеству А, то х является элементом множества А. Мы получаем, таким образом, что если х Е М не является внутренней точкой множества У = СА, то х Е А, и потому х не является элементом множества У. Отсюда вытекает, что все точки множества У являются его внутренними точками, то есть множество У открытое и, значит, множество А = СУ вЂ” замкнутое.
Достаточность условия теоремы установлена. Теорема доказана. ° Следствие. Пусть метрическое пространство М есть множество К, наделенное его естественной метрикой. Тогда всякий замкнутый промежуток [а, б] является замкнутым множеством этого пространства. Действительно, пусть (х„)„ен есть произвольная сходящаяся последовательность точек отрезка [а, б] и пусть х = 1пп х„. При каждом и имеем: а < х < б. Переходя к пределу при п — оо, получим, что а < х < б. Мы видим, что для множества А = [а,д] выполнен критерий замкнутости, содержащийся в теореме 5.1, и, значит, [а, б] есть замкнутое множество в метрическом пространстве 1к.
Следствие доказано. ~ 5. Открытые н замкнутые множества в метрнческнх пространствах 241 3 ам е чан не. П оизвольное по множество мет ического п ост- анства может не быть ни замк тым ни отк ытым множеством это- го п ост анства. Пусть, например, М = К есть множество всех вещественных чисел с его естественной метрикой. Полуинтервал Е = [О, 1) не является замкнутым множеством. 1 Действительно, пусть х„= 1 — —.
При каждом п точка х„принадлежит Е и при и — оо имеем х„— ~ 1. Но точка 1 не принадлежит Е. Таким образом, здесь не выполнен критерий замкнутости множества, содержащийся в теореме 5.1. Множество Е = [О, 1) не является также и открытым множеством в К, ибо, как нетрудно видеть, точка О множества Е не является внутренней точкой множества Е. 5.2. ОПЕРА ИИ НАП ОТКРЫТЫМИ И ЗАМКНУТЫМИ МНОЖЕСТВАМИ. ЗАМЫКАНИЕ ВНУТРЕННОСТЬ И ГРАНИ А МНОЖЕСТВА 5.2.1. Далее нам понадобится следующее общее утверждение об опера- пиях объединения и пересечения множеств. ° Лемма 5.1 (лемма о тождествах Моргана).
Пусть даны множество М и произвольное семейство (Аз)~ет подмножеств М. Тогда имеют место равенства: с(() А) = ПсА, зеТ сет (5.4) с(ПА) =ЦсА,. сет Фет (5.5) 3 а м е ч а н и е. Равенства (5.4) и (5.5) леммы 5.1 называются гаождестпвами Мореана. Доказательство леммы. Докажем равенство (5.4). Положим 0 4О П' —— П САЬ зеТ сет Предположим, что х Е СП. Это означает, что х ф П, и, следовательно, х не принадлежит ни одному из множеств Аь Стало быть, х Е САз при каждом 4 Е Т.
Отсюда вытекает, что х принадлежит пересечению множеств САЬ 242 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Итак, нами у с т а н о в л е н о, что если я Е СУ, то я Е У', и, значит, имеет место включение: СУ с У'. (5.6) Возьмем произвольно х е У'. По определению, это означает, что я является элементом каждого из множеств СА~ и, значит,х не принадлежит ни одному из множеств Ам Это означает, что я не принадлежит объединению У множеств Ам 8 Е Т, то есть я Е СУ. Итак,еслих е У',ток е СУ,и,темсамым, доказано включение: У' с СП. (5.7) Из (5.6) и (5.7) следует (5.4). Согласно предложению 5.1 (см.
выше), для всякого множества А С М справедливо равенство С(СА) = А (равенство (5.1)). Равенство (5.5) получается применением равенства (5.1) к семейству множеств (САс)сет. Для г е Т положим Ес = САо В силу доказанного, имеем: с(() я,) = вся. СЕТ Фет Применяя (5.1), получаем Д я. = с(Д ся) = с(Й,1) и справедливость равенства (5.5) леммы, таким образом, установлена.
Лемма доказана. ° 5.2.2. Зададим произвольно метрическое пространство (М,р). Все дальнейшие рассуждения относятся именно к этому пространству. Имеет место следующее утверждение. ° Теорема 5.2. Объединение любого семейства открытых множеств метрического пространства есть открытое множество. Пересечение конечного числа открытых множеств является открытым множеством.
Доказательство. Пусть (Ус)Сен есть произвольное семейство открытых множеств в метрическом пространстве (М, р), У вЂ” объединение множеств этого семейства, то есть совокупность всех точек х Е М, каждая из которых принадлежит хотя бы одному из множеств Ус.
З 5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 243 Возьмем произвольно точку х Е У. Тогда, согласно определению объединения семейства множеств, найдется б Е Б такое, что х Е Уе. Так как множество У~ — открытое, то х есть внутренняя точка множества Уе и, следовательно, существует 6 > О такое, что шар В(х, 6) содержится в У~. Так как У~ С У, то В(х, 6) С У, и, значит, х есть внутренняя точка множества У. Поскольку х е У взято произвольно, то тем самым д о к а з а н о, что множество У вЂ” открытое. Пусть (Уы Уз,..., У„) — произвольное конечное множество открытых множеств и Ъ' есть их пересечение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
