1610912306-ffb1a7411fd242d412b1b39147e67f20 (824694), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Аналогично, множество Г С А называется замкнутым относительно множества А, если Г есть замкнутое множество метрического пространства (А,р). Сформулируем следующее простое утверждение. м Теорема 5.6. Пусть даны метрическое пространство М и множество А С М. Для того чтобы множество Ъ" С А было открытым 252 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств относительно А, необходимо и достаточно, чтобы У допускало представление: У = У П А, где сс' есть открытое множество пространства М. Аналогично, множество Р С А является замкнутым относительно множества А в том и только в том случае, если оно допускает представление: Р = Р П А, где Р есть замкнутое множество пространства М.
Доказательство. Сначала рассмотрим условия относительной открытости множества. Докажем н е о б х о д и м о с т ь этого условия. Предположим, что множество У является открытым относительно А. Тогда для всякой точки х Е А найдется число 6 > 0 такое, что шар Вя(х,6 ) в пространстве (А,р) содержится в множестве У. Согласно лемме 1.3, имеем равенство: Вя(х,6с) = В(х, 6х) П А. (Здесь и далее в обозначении шаров пространства М индекс М опускается.) Таким образом, в пространстве М определено некоторое семейство шаров: (В(х, 6,)) Пусть У есть о б ъ е д и н е н и е данного семейства. Всякий открытый шар В(у, г) в пространстве М представляет собой открытое множество. Объединение любого множества открытых множеств есть открытое множество и, значит, множество сс является открытым.
Д о к а ж е м, что У = У П А. Возьмем произвольно точку х Е У. Тогда имеем: х Е Вн(х 6 ) С В(х 6 ) С П и, стало быть, х Е У П А. Мы получаем, что У С У П А. Пусть х Е П ПА. Тогда найдется й Е У такое, что х Е В(8,6с). Так как х Е А, то, значит, х Е В(~, 6с) П А = ВА(1, 6с) Имеем: Вя(1,6с) С У и, следовательно, х Е У. Точка х Е П П А была выбрана произвольно и, значит, имеет место включение УПА С У.
Из доказанного вытекает, что з 5. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах 253 Таким образом, нами установлено, что множество, открытое относительно А, может быть представлено, как п е р е с е ч е н и е множества А с открытым множеством пространства М. Необходимость условия относительной открытости множества установлена. Теперь докажем д о с т а т о ч н о с т ь этого условия. Пусть зн .
х б А ~ х Е М есть отображение вложения множества А в метрическое пространство М. Легко проверяется, что отображение гя непрерывно. Для всякого множества Е С М имеет место равенство: ЕпА = г, ~(Е). Пусть к' = У П А, где И вЂ” открытое множество в пространстве М. Так как У есть открытое множество в М, то в силу равенства У П А = з, ~(У) отсюда, согласно теореме 5.3, следует, что И является открытым множеством в метрическом пространстве (А, р) — подпространстве М, то есть множество И является открытым относительно А, что и требовалось доказать.
Утверждение теоремы, касающееся множеств, о т к р ы т ы х относительно А, полностью д о к а з а н о. Докажем утверждение, касающееся относительной з а м к н ут о с т и множества. Сначала установим необходимость условия теоремы. Пусть Г есть множество, замкнутое относительно А. Требуется доказать, что Р допускает представление Р = Р Г~ А, где Р есть замкнутое множество в пространстве М. Множество Ъ" = А ~ Р является открытым относительно А. Имеем: Г = А ~ И. Согласно только что доказанному условию относительной открытости множества, найдется множество У, открытое в пространстве М и такое, что И = сГ П А. Пусть Р = СУ.
Множество Р— замкнутое. Имеем: СП П А = А ~ У = Г, то есть мы получаем, что Р = Р П А. Таким образом, всякое множество, замкнутое относительно множества А, является пересечением А с множеством, замкнутым в пространстве М. Необходимость условия относительной замкнутости множества установлена.
Теперь докажем д о с т а т о ч н о с т ь этого условия. Предположим, что множество Р С А допускает представление Г = А П Р, где Р есть замкнутое множество в пространстве М. Имеем: Р = г' ~(Р). Так как отображение ги непрерывно, а множество Р— замкнуто, отсюда следует, что Р есть замкнутое множество пространства (А, р), то есть А есть множество, замкнутое относительно А. Теорема доказана. И 254 Гл.
б. Непрерывные отображения метрических пространств ~6. Компактные множества в метрических пространствах Цель настоящего параграфа — описать класс множеств в произвольном метрическом пространстве, для которых верны теоремы, аналогичные теореме Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях и теореме Гейне о равномерной непрерывности непрерывной функиии.
Это — так называемые компактные множества. Здесь приводится определение компактного множества и изучаются простейшие свойства таких множеств. Устанавливаются необходимые и достаточные условия компактности множества в пространстве й .
Доказываются аналоги теоремы Вейерштрасса и теоремы Гейне для функций на компактных подмножествах произвольного метрического пространства. В качестве приложения теоремы Вейерштрасса устанавливаются некоторые свойства конечномерных нормированных векторных пространств. 6.1. Опгкдклкник и ов ик свойствА компАктных множкств Здесь мы определим и исследуем некоторый класс множеств в метрических пространствах такой, что для непрерывных отображений этих множеств верны аналоги теорем Вейерштрасса и Гейне о непрерывных функциях на отрезке. Локазательства указанных теорем существенно используют слеее с в о й с т в о замк того от езка в И. У всякой последовательности точек замкнутого отрезка существует сходящаяся подпоследовательность, причем предел этой подпоследовательности принадлежит отрезку.
Это свойство мы принимаем за основное при определении рассматриваемого здесь общего класса множеств. Палее М означает произвольное метрическое пространство. Его метрика обозначается символом р. Пусть (х ) „ен есть последовательность точек пространства М. Последовательность (уь)ьен называется подпоследовательностью последовательности (х„)„ен, если существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел (и,)вен такая, что при каждом Й Е Я выполняется равенство уь = х, . В дальнейшем выражения: «указать подпоследовательность», «построить подпоследовательность», наконец, «извлечь подпоследовательность» рассматриваются как синонимы.
'З б. Компактные множества в метрических пространствах 255 Множество А пространства М называется компактным, если из всякой последовательности (х„) ен точек множества А можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит А. Множество А в пространстве М называется предкомпактным, если у всякой последовательности (х ) ен точек множества А существует подпоследовательность, которая является фундаментальной последовательностью точек пространства М. Метрическое пространство М называется компактным, если множество всех его точек М компактно.
Это условие, очевидно, р а в н ос и л ь н о следующему: Всякая последовательность точек пространства М имеет сходящуюся подпоследовательность. Множество всех вещественных чисел К есть метрическое пространство с метрикой р, определенной равенством р(х, у) = [х — у[. Всякий отрезок [а, 5] С К является компактным множеством в этом пространстве. Действительно, отрезок [а,5] есть ограниченное множество и, значит, как это было показано ранее (см.
глава 2, З 5, теорема выбора Веберштрасса), из любой последовательности его элементов можно извлечь подпоследовательность, которая имеет предел. В силу теоремы о предельном переходе в неравенстве (см. глава 2, теорема 1.3), предел всякой такой подпоследовательности принадлежит промежутку [а, 5]. Это, в соответствии с данным выше определением, и доказывает компактность промежутка [а, д] с 1к. а Теорема 6.1. Всякое компактное множество в метрическом пространстве является замкнутым. Дохазательство. Пусть А есть компактное множество в метрическом пространстве М. Воспользуемся критерием замкнутости множества в метрическом пространстве (см.
выше, теорема 5.1). Пусть (х ) ен — произвольная сходящаяся последовательность точек множества А и а Е М есть ее предел. Д о к а ж е м, что а принадлежит А. Так как А — компактно, то, согласно определению компактного множества, последовательность (х„) ен имеет сходящуюся подпоследовательность (х„ь)ьен, предел которой принадлежит множеству А. Имеем: 1пп р(х„,а) = О и, значит, также и 1пп р(х„„а) = О, то есть а есть предел последовательности ь оо (х,„)ьен, откуда следует, что а Е А.
Сходящаяся последовательность (х ) ен точек множества А была выбрана произвольно. 256 Гл. 6. Непрерывные отображения метрических пространств Мы доказали, таким образом, что предел всякой сходящейся последовательности точек А принадлежит А. Тем самым установлено, что множество А — замкнутое. Теорема доказана. ° ° Теорема 6.2. Всякое компактное метрическое пространство является полным метрическим пространством. Доказательство. Пусть М вЂ” компактное метрическое пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
